问题描述
原因太多了，首先明确一点：数学是一个高度体系化的学科，高级主题/概念严格依赖于低级主题/概念。如果基础知识没有掌握好，是无法学习更深的数学的。
而传统学校教育有一个重大缺陷：按年龄分组，所有学生都以相同的进度学习相同的课程。但学生的知识背景往往差异巨大，即使是同一年级的学生，也可能存在很大一部分学生难以理解当前年级的内容或已经掌握了这些内容。
这导致很多学生被迫在课堂上学习那些他们尚未掌握前置知识的内容。这不仅对他们的数学学习是无效的，还导致他们因为无法理解内容而对数学产生厌恶。由于基础不牢、无法理解，这些学生只能通过死记硬背在学校学习数学知识。这就好比在浮沙之上筑高台，记住的知识非常脆弱，往往一触即碎。
然后恶性循环就开始了：前置知识中出现缺口 -> 无法理解当前学习的知识 -> 引发更多缺口
当知识缺口越来越多，学生就越来越感到吃力，最终开始觉得，自己永远学不好数学，从而放弃数学。
除了这个原因以外，学不好数学还可能是因为无效的练习过多、有效的练习不足、缺乏学习数学的动力等等。
以下内容节选自 @Thoughts Memo 汉化组的译文《第七章 个体差异：学习过程中的迷思与现实》
迷思：如果你在数学课上表现得很糟糕，这就意味着你无法学会这个等级的数学。
现实：如果你在数学课上表现得很糟糕，并不一定意味着你无法学会这个等级的数学。可能有多种原因导致你的艰难。虽然每个人的数学潜力确实有其上限，但我们所遇到的瓶颈往往并不代表我们真正的、如Hofstadter 所描述的那种「抽象天花板」。各种因素可能会人为地降低我们的天花板，比如基础知识缺失、练习习惯不佳、无法或不愿意进行额外练习，或缺乏动力。
艰难可能源于基础知识的缺失
随着年龄的增长，人们会积累生物损伤，最终达到一个临界点，引发一连串的健康问题。学生在学习数学时也会出现类似的情况。
学生在数学学习中会积累弱点和知识缺口——即便成绩是 B+ 或 A-，也意味着课程中有些内容学生并未完全理解，更不用说掌握。此外，如果学生所学课程不够全面，未涵盖一些在高阶课程中被视为先验知识的主题，也会导致知识缺口。一旦学生积累了足够多的知识缺口（顺便说一句，一个缺口会引发更多缺口），那么除非采取适当的补救措施来填补这些缺口，否则学生将面临持续的困难。
……教师没有足够的时间来逐一了解每个学生，找出他们具体缺失的基础知识。虽然有经验的导师可以进行补救，但通常需要长时间的多次辅导，以持续防止新的知识缺口的形成，这对大多数家庭来说费用过于昂贵。
学生通常在积累了大量知识缺口后就停止选修数学课程。通常的情况是，学生尝试按步骤模仿操作，而没有真正理解其中的原理，因为他们无法直观地领会所教授的新内容。不久之后，他们发现自己无法解决任何需要批判性思维或多步骤的问题。
这类似于职业运动员通常不是因为年纪太大而退役，而是因为积累了太多伤病。正如 Indiana Jones 所说：「不是年龄的问题，而是磨损。」或者如数学作家兼漫画家 Ben Orlin 幽默地描述的那样，这是「破沙发定律」：一个小小的缺失，随着时间的推移，会导致整个沙发变形，最终无法使用。
学生几乎可以肯定会在传统课堂中积累这些缺失。只有那些最有天赋和动力的学生才有能力和意愿自己识别并「自我修复」这些知识缺口。
- 在传统课堂上，学生常常在基础知识上遇到困难，但仍被要求完成更高难度的作业，这导致他们在没有真正理解内容的情况下「勉强应付」。
- 学生也不复习之前几年学过的内容，甚至通常不复习当前课程的内容，除非是在准备考试时。这导致他们很快遗忘所学知识，如果这些主题将来再次出现，他们需要从头开始重新学习。
- 传统课程通常也不够全面！教师在学年结束前常常时间不足，跳过教材中的部分章节，这种情况并不少见。
艰难可能源于无效的练习
正如我们在总结学习科学时所解释的，有效的学习就像与私人教练一起锻炼。它应以刻意练习为核心，这是一种主动学习方式，通过重复和逐步改进，特别选择个性化的训练活动来提高特定表现。
我们将在后续章节中更深入地探讨主动学习和刻意练习，但以下是一些关键要点：
- 有效的学习是主动的，而非被动的。试图通过被动观看视频、听讲座、读书或重读笔记来学习并不有效。
- 刻意练习需要反复练习超出个人能力范围的技能。然而，这通常更费力且不那么愉快，可能会误导非专业人士
在他们的舒适区内进行练习。
- 有趣、协作且非重复的课堂活动（如小组讨论和自由形式/非结构化的项目或探索学习）有时可以提高学生的动机，缓解与刻意练习相关的不适感——但它们只是刻意练习的补充，而非替代。
- 刻意练习必须是持续例行的一部分。刻意练习的力量来自于长时间内逐步改进的累积效应。它不是一种像考前突击那样的「灵丹妙药」。
艰难可能源于练习不足
艰难可能是因为需要比其他学生更多的练习（或者，课堂进度可能太快）。这本身不一定是个严重问题，因为通常可以通过增加练习来解决。然而，如果与以下因素结合，可能会引发问题：
- 教学材料缺乏足够的认知支架。
- 练习题数量有限。
- 考试题目与作业题目差异较大。
- 额外练习的需求超过了你愿意为学习投入的努力。
艰难可能源于缺乏动力
具有良好动机的学生通常受以下一个或多个因素驱动：
- 他们对学习内容有内在的兴趣。有些学生真正热爱数学，能在各种数学思想的结合中看到美，并因此获得新的视角。
- 学习内容与他们的未来目标高度相关。例如，一个有志成为火箭科学家的人可能不喜欢数学，但因为数学在将火箭送入太空方面的实用性而有动力去学习。同样，一个有志成为医生的人可能不喜欢数学，但在申请医学院时需要证明其具备基本的数学知识。即使是没有具体未来目标的学生，也可能希望保持潜在的职业机会，而这些机会可能因为数学学得不够而关闭。
- 他们喜欢参加数学竞赛和科学展览。有些学生对数学持中立态度，但发现自己擅长数学，并且喜欢学习更高级的数学以在考试和科学展览中获得竞争优势。
- 他们的父母通过有意义的外在奖励激励他们。有时，学生可能不属于上述任何类别，但他们的父母（通常是正确的）希望他们充分利用在校期间学习数学的机会。对于一些学生，这可能意味着学习生活所需的基础数学；对于其他学生，这可能意味着学习更高级的数学以打开各种职业机会。如果一个学生对其他活动如阅读小说、玩电子游戏，甚至只是出去吃甜点非常感兴趣，提供外在奖励以激励他们在数学学习中达到目标，通常可以提供足够的动力，以防止他们在学习过程中「退出」。
如果一个学生没有受到上述任何激励因素的驱动，他们可能会因为对学习内容缺乏兴趣而「退出」或感觉学习过程过于艰难。
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