| 关于 Math Academy
> 为什么选择 Math Academy 而不是自学教科书或免费在线资源？
Math Academy 的核心价值在于它能最大化每位学生的学习效率。尽管有足够学习动力的学生可以通过自学教科书或免费在线资源来学习数学，但这些方法往往存在多种效率低下的问题：
- 缺乏精细的认知脚手架。学生会定期遇到无法理解的逻辑跳跃。解决这些困惑并理解背后的逻辑推理往往需要花费大量时间（如果学生最终能够理解的话）。
- 不跟踪学生知识掌握程度并实施精熟学习（即不确保学生在学习新内容前已掌握必要的前置知识）。学生会感到自己的知识水平与新内容之间存在明显差距，这会导致更多困惑和时间浪费，因为他们要尝试弄清自己缺少哪些前置知识以及如何学习它们。通常，学生无法准确识别所有缺失的前置知识，因此即使能部分理解新内容，也无法完全掌握。
- 没有间隔复习机制。学生会很快对所学内容生疏。这不仅导致学习结束时遗忘大部分内容，而且在整个学习过程中，他们也会不断忘记学习新内容所需的前置知识。
- 无法适应学生的个体学习水平。学生往往在做不恰当数量的练习上浪费大量时间。有时，学生能迅速掌握某个知识点，却做了远超必要的练习；另一些时候，他们在某个难点上苦苦挣扎，却又没有获得足够的练习来真正掌握它。
- 让「精通」的标准变得模糊不清。学生很难判断自己何时已经充分掌握一个主题可以继续前进。即使出于善意，学生也常常误以为自己已经充分理解了某个知识点，而实际上并非如此——除非有专家评估他们的掌握程度，否则他们难以认识到这一点。另一方面，学生也可能走向另一个极端，陷入完美主义的泥潭，在某个细微之处没有完全理解时，在同一个主题上徒劳地耗费数天时间，而实际上继续前进、通过构建更高层次的知识来巩固理解才是更加高效的学习方式。
我们可以继续列举本书前文中讨论过的无数其他问题，但关键在于：所有这些低效因素都在学习过程中引入了不必要的阻力，降低了学生投入时间和精力所能获得的学习进度。
Math Academy 致力于消除这些学习障碍，最大限度地提高学生的学习效率。这就是我们的核心主张：诚然，你可以在其他地方学习数学，但在 Math Academy 学习会高效得多。
值得注意的是，效率之所以重要，不仅是因为学生能更快取得进步，还因为他们不那么容易半途而废。通常，当人们感到学习数学的效率相对于生活中的其他机会太低时，就会选择下车，停止数学学习。在任何活动中，一旦进步与付出的比值太低，人们就会失去兴趣，转而专注于那些能获得更高回报率的领域。高效的学习方式能让这个进步与付出的比值维持在尽可能高的水平，从而让学生尽可能长时间地坚持在数学学习的道路上。
> 为什么 Math Academy 不是免费的？
Math Academy 收费是因为构建这样的平台需要投入大量时间和精力。此外，它必须采用一种定价模式，确保公司的财务健康不依赖于拥有庞大的用户基础。
Math Academy 致力于使用最有效的训练方法，但大多数人对自己的学习并不那么认真投入。最高效率的学习感觉就像是与私人教练一起进行的大汗淋漓、筋疲力尽的锻炼，每周需要在几个学习环节中投入至少数小时的时间。
当一家教育公司依赖于庞大的学习者群体，而其中大多数人并不够认真，无法投入如此高强度和频率的学习时，公司就不得不采用低效的学习策略，以免赶走不够投入的学生。这类公司必须让学生相信，尽管他们几乎没有付出努力，但依然学到了东西。（例如，可以通过挑选每个主题中最简单的案例，或者允许学生即使在基础知识掌握不牢的情况下也能继续前进来实现这一点。）与这些公司不同，Math Academy 专注于为那些愿意认真投入的学生优化真正的学习——而不仅仅是学习的表面感受。
当然，我们同时也致力于让数学才能的培养变得更加普及。正如在第一章中所讨论的：在 Math Academy 问世前，如果学生想要用一对一指导来替代传统学校教育，获得一位专业教练根据其个人需求量身定制并不断调整的数学才能培养方案，他们只能寻求私人家教服务，而这通常每小时至少需要支付 50 美元。若按照学生在学年期间本就会投入的学习时间来计算（保守估计为每个工作日 1 小时），全年的才能培养费用将达到 $50 × 5 天/周 × 52 周/年 = 每年 13,000 美元。
Math Academy 将这一费用降至每年 499 美元（便宜了 26 倍），这大大提高了数学才能培养的普及性。虽然这仍然无法惠及所有人，有些人可能仍因价格而望而却步，但提供一个价格低 26 倍的选择，是我们朝着让数学才能培养变得更加普及这一目标迈出的重要一步。
> Math Academy 上的练习和内容来自哪里？它们都是内部制作的还是从其他材料中提取的？
我们所有的内容和练习均为内部原创，是由一支数学专家团队经过多年精心研发的。我们会进行课程对比研究以确保内容的全面性，但 Math Academy 上的每一项内容都是由专业人员精心设计的原创作品。
为什么要手动而非算法生成问题？除了基础算术外，数学问题蕴含如此多的维度和微妙之处，若要算法生成，就需要为每种题型专门开发算法，这比直接下定决心手动创建一个规模足够的题库要耗时得多。另外，所谓「规模足够」的题库其实不必真的很庞大：由于 Math Academy 的学生学习效率极高，在高度细分的课程体系中只需进行最少量但有效的练习，我们实际上不需要每种题型都有海量题目来避免学生重复做题。每个知识点大约 20 道题就绰绰有余了。（一门标准课程通常包含约 500-1,000 个知识点，需要约 10,000-20,000 题的题库规模。）
此外，我们知识图谱中的所有信息——包括数以万计的前置条件链接、解题时间估算以及包含关系（即在学习高级主题时，包含其中的基础技能应获得多少「学分」）——这些都是由专业人士精心设计和构建的。
如果这听起来工作量大得不可思议，那么，嗯……确实如此，这也让你理解为什么这类系统如此难以构建。即使不考虑所有先进技术，仅所需的内容量就足以支撑一家成熟的出版公司。软件方面同理：即使没有核心内容基础，所需的软件开发规模也足以构成一家成熟科技公司的根基。甚至软件中的独立组件——内容管理系统、学生界面、专家系统（即在幕后决定学生学习路径的人工智能系统）——每一个都可以独立成为一家完整公司的基础。
| 有充分理由不存在的功能
> 我不太想完成 Math Academy 为我安排的学习任务。我更想学习其他主题。为什么我不能自己选择任务？
Math Academy 的核心价值主张是最大化学生的学习效率。这是我们的首要优先事项。当学生注册使用 Math Academy 时，我们向他们承诺，他们的学习体验将会尽可能高效。学生将在投入学习的时间内掌握最大量的数学知识。
为了兑现这一承诺，我们必须运用许多复杂的算法来分析学生的知识结构并为其选择合适的任务。整个系统都是围绕这一理念而构建的。
我们确实有一些构想，希望开发能让学生对自己的学习内容拥有更多自主决定权的功能，但这需要谨慎推进，因为我们必须避免让学生做出可能降低学习效率的决策。我们考虑的方法与其说是「随时选择任何你想学的主题」，不如说是「告诉我们你的具体学习目标，我们会为你规划达成该目标的最高效路径」。当然，这些构想目前还不够成熟，但这正是我们正在思考和努力推进的方向。
> 为什么我不能编辑我的知识画像？
学习者往往会大幅高估自己的知识水平，然后当学习内容推进过快、解释不够充分或过于困难时，他们会归咎于教学方式，而实际问题在于他们对基础知识的掌握不足。为了构建准确的知识画像，系统必须通过学生解决问题的实际表现来进行推断，而非依赖学生的自我评估。
> 为什么你们不提前告知测验会涵盖哪些主题？学生如果事先知道测验内容，肯定会表现更好。
测验的核心目的是获得一个真实信号，了解学生是否能在没有事先提示的情况下解决问题。学生在有提示的情况下当然会表现更好，但那就不再是对他们独立解决问题能力的真实评估了。
如果学生只有在被提醒如何解题后才能解决问题，那么他们实际上并不具备独立解决该问题的能力。（这就像在健身房里，他们只有在教练辅助下才能举起重物。）
而如果他们本可以不需提示就解决问题，那么给予提示反而会剥夺他们原本可以增强记忆保留的练习机会。（这就像教练不必要地介入帮助一个本可以自己完成举重的人，反而降低了他们能独立承受的重量。）
> 这些习题感觉很枯燥，而且我总是犯一些低级错误。你们能否设置一个选项，区分那些需要练习来应对考试的学生和那些只想学习概念的学生？
我们教授数学的方式，就像在培养一名有抱负的职业运动员、音乐家，或任何希望将技能发挥到极致的人。这不是娱乐式教育，不是课外拓展，也不是「数学鉴赏」课程。我们期望学生真正掌握教材内容，建立对数学的强大把控能力，就如同音乐家掌握自己的乐器那样。如果这不是你期望从数学学习中获得的，那么 Math Academy 可能不适合你。
但如果精通确实是你学习数学的目标，那么重要的是要认识到，攀登数学这样的技能阶梯不仅仅关乎概念理解。它同样关乎可靠执行——频繁的低级错误表明你需要更多练习。
为什么？因为如果你不解决低层次技能中的低级错误，最终你会遇到瓶颈：无论多么努力，由于基础技能中低级错误概率的叠加，你无法可靠地执行高级技能。想想体操：如果你「几乎」能完成一个后空翻，这很好……但同时，你还没有准备好尝试任何包含后空翻的组合动作。即使只是一个小错误阻碍了你完成后空翻，你仍然必须纠正它。（这还是最乐观的情况——有时，低级错误实际上表明你存在更深层次的概念误解，而只有当你被要求纠正这些错误时，你才意识到这些误解的存在。）
> 为什么在诊断测试以外的任务中没有「我不知道」按钮？
当学生在课程学习过程中遇到困难时，他们始终可以也应该回到前面的已解答示例，仔细跟随步骤，找出自己首次阅读时遗漏的内容。如果学生在复习或多步骤练习中遇到困难，他们应当回到相应课程的参考模式。学生解决问题所需的信息应该始终在那里。
例如，复习题是从与课程中完全相同的题库中抽取的。因此，学生收到的任何复习题都会与课程中已解答示例所涵盖的某类题型相对应。（需要说明的是：复习题会从同一题库中选择一个不同的问题——学生不会收到与他们在课程中已回答过的完全相同的复习题。）
学生不应该被要求运用支持课程中未涵盖的技能，所以我们不希望传达相反的信息（而这正是添加「我不知道」按钮会传达的）。
话虽如此，的确学生在测验期间不应查阅参考材料，那么为什么测验中没有「我不知道」按钮呢？这是我们在首次实施测验时就考虑过的问题——但通过与大量学生共事的经验，我们发现如果提供「我不知道」按钮，许多学生会滥用它。
- 这种情况可能是有意为之，例如，抵触学习的学生（尤其是那些被要求在学校使用系统但心态与学习过程不完全契合的孩子们）会简单地点击「我不知道」来逃避学习任务。当我们首次在学校课堂中部署自动化系统时，曾有一段时间系统遭到了抵触学习的学生们的各种「攻击」，他们试图钻系统的空子（或者制造混乱，借此迷惑父母以逃避学习任务）。我们花费了大量精力修补这些漏洞，每当我们对系统进行调整时，我们都会警惕任何可能被利用的途径（因为只要存在漏洞，就一定会被利用，而且这种行为会迅速蔓延）。
- 或者，这种情况也可能是无意为之，例如，缺乏自信的学习者可能低估自己的能力而过早放弃。当辅导老师与学生一起解决问题时，常常会遇到这样的情况：学生声称不知道如何解决问题，但当老师要求学生尽力猜测时，这个「猜测」竟然是正确的——当老师事后询问学生的思考过程时，才发现学生其实知道如何解决问题，只是缺乏信心，不愿冒险给出错误答案。
虽然这可能看似微小的调整，但移除「我不知道」按钮是保护许多学生免受自我阻碍行为影响的关键措施。理论上，这类保护措施本不应该必要，但实际上，一个有效运作的学习系统的重要组成部分是它必须能够应对各种源于学习和强化训练过程中人类情感体验而产生的意外行为。通常，这些情感体验可能相当强烈，如果系统提供了选择，可能导致人们做出短视决定，最终妨碍他们的教育进步。
> 为什么 Math Academy 不使用大型语言模型（LLMs）与学生进行对话交流？
许多（未能成功地）尝试将 AI 应用于教育领域的人过分关注「解释」环节，而忽视了对学习过程的支架搭建、引导和全程管理。
人们很容易陷入开发解释型 AI 的无谓追逐中。你可能会痴迷于 AI 与学生进行对话交流的概念，随后迷失在技术复杂性的迷宫中。你或许解决了足够的问题来打造一个令人印象深刻的演示，但在现实学习环境中，距离真正的自主学习依然遥不可及。
事实上，对话功能并非必需。我们只需将解释内容预先编写成适量的信息块，在恰当时机呈现给学生。我们通过让学生解决实际问题来形成完整的反馈闭环，这本就是他们必须完成的任务。（他们的「反馈」直接体现在答案是否正确上。）
诚然，采用硬编码方式来预设解释内容，过程难免显得枯燥，工作量也相当可观，而且其惊艳效果远不如那些能够从零开始自动生成回应的人工智能——但这无疑是一个务实的解决方案，它让我们能够腾出手来，转而专注于人工智能系统中其他同等重要的组成部分（实际上，本书的全部内容都在探讨这些）。下面仅列举其中几个例子：
- 在提供最低有效剂量的解释后，AI 需要转向主动问题解决环节。学生应从简单案例入手，逐步攀升难度阶梯，涵盖所有他们在未来评估中预期能够解决的情况。
- 评估应当频繁且覆盖广泛，学生应根据其错误答案接收个性化的补习内容。
- 学生应以个性化的、基于掌握程度的方式推进课程学习，仅当他们（作为个体，而非仅作为群体的一部分）证明已掌握前置知识时，才能接触新主题。
- 学生在掌握某个知识点后，应当采用间隔重复进行定期复习，这是一种系统化的复习方法，能够帮助学习者将已学内容长久地保存在记忆中。
- 当学生遇到困难时，系统不应降低成功的门槛（比如直接给出提示）。相反，应该着力强化学生的薄弱环节，使他们能在下次尝试时独立且完全地达到要求。
> 如果我卡住了，有没有地方可以寻求帮助或获取更详细的解释？
我们不提供人工辅导服务。不过，我们已经通过多年的量化分析和优化，不断完善那些学习者曾经感到困难的内容。已有数千名学习者成功完成我们的课程，数据显示学生平均有 95% 的几率在首次尝试时通过课程，99% 的几率在第二次尝试时通过。
此外，在极少数情况下，如果学习者确实卡住并在同一位置连续两次未能通过课程，系统会自动引导他们复习与困难点最相关的前置知识，然后再让学生重新挑战该课程。
上一章：
常见问题解答：诊断评估与课程体系下一章：
术语表Thoughts Memo 汉化组译制
感谢主要译者 gemini-2.5-pro-exp，校对 Jarrett Ye
原文：The Math Academy Way: Using the Power of Science to Supercharge Student Learning