问题描述
钱学森说人就算再笨还能学不会微积分吗，钱老，我觉得自己像猴子了，我真不是故意的。
当然可以，要用发展的眼光看问题。想想在牛顿之前，多少智力超群的天才，也不会微积分。而现在能够掌握微积分的人已经比 400 年前高出了多少个数量级。
智力正常但没学会微积分，通常是因为：
- 缺乏基础知识
- 做了无效练习
- 缺乏学习动力
前两点都可以通过技术解决，最后一点虽然依赖于学生的能动性，但如果能够在前两点上做好足够的支持，所需的动力门槛也会下降，能让更多人学习更高级的数学。而且根据自我决定理论，减少对学生的控制，赋予他们更多自主权，可以有效提升他们的内在动机。
以下内容摘自 @Thoughts Memo 汉化组的译文《第七章 个体差异：学习过程中的迷思与现实》
| 艰难并不意味着无能
迷思：如果你在数学课上表现得很糟糕，这就意味着你无法学会这个等级的数学。
现实：如果你在数学课上表现得很糟糕，并不一定意味着你无法学会这个等级的数学。可能有多种原因导致你的艰难。虽然每个人的数学潜力确实有其上限，但我们所遇到的瓶颈往往并不代表我们真正的、如 Hofstadter 所描述的那种「抽象天花板」。各种因素可能会人为地降低我们的天花板，比如基础知识缺失、练习习惯不佳、无法或不愿意进行额外练习，或缺乏动力。
> 艰难可能源于基础知识的缺失
随着年龄的增长，人们会积累生物损伤，最终达到一个临界点，引发一连串的健康问题。学生在学习数学时也会出现类似的情况。
学生在数学学习中会积累弱点和知识缺口——即便成绩是 B+ 或 A-，也意味着课程中有些内容学生并未完全理解，更不用说掌握。此外，如果学生所学课程不够全面，未涵盖一些在高阶课程中被视为前置知识的主题，也会导致知识缺口。一旦学生积累了足够多的知识缺口（顺便说一句，一个缺口会引发更多缺口），那么除非采取适当的补救措施来填补这些缺口，否则学生将面临持续的困难。
Math Academy 自动采取措施来识别并修正每个学生的知识缺口。然而，若在自适应、自动化学习系统之外进行补救，则极为困难。在课堂环境中几乎不可能实现——因为教师没有足够的时间来逐一了解每个学生，找出他们具体缺失的基础知识。虽然有经验的导师可以进行补救，但通常需要长时间的多次辅导，以持续防止新的知识缺口的形成，这对大多数家庭来说费用过于昂贵。
学生通常在积累了大量知识缺口后就停止选修数学课程。通常的情况是，学生尝试按步骤模仿操作，而没有真正理解其中的原理，因为他们无法直观地领会所教授的新内容。不久之后，他们发现自己无法解决任何需要批判性思维或多步骤的问题。
这类似于职业运动员通常不是因为年纪太大而退役，而是因为积累了太多伤病。正如 Indiana Jones 所说：「不是年龄的问题，而是磨损。」或者如数学作家兼漫画家 Ben Orlin 幽默地描述的那样，这是「破沙发定律」：一个小小的缺失，随着时间的推移，会导致整个沙发变形，最终无法使用。
学生几乎可以肯定会在传统课堂中积累这些缺失。只有那些最有天赋和动力的学生才有能力和意愿自己识别并「自我修复」这些知识缺口。
- 在传统课堂上，学生常常在基础知识上遇到困难，但仍被要求完成更高难度的作业，这导致他们在没有真正理解内容的情况下「勉强应付」。
- 学生也不复习之前几年学过的内容，甚至通常不复习当前课程的内容，除非是在准备考试时。这导致他们很快遗忘所学知识，如果这些主题将来再次出现，他们需要从头开始重新学习。
- 传统课程通常也不够全面！教师在学年结束前常常时间不足，跳过教材中的部分章节，这种情况并不少见。
然而，Math Academy 解决了这些问题，确保学生不会出现知识漏洞。
- 通过实行精熟学习，我们确保学生在掌握必要的前置知识之前，不会被要求学习更高级的主题。这样，学生始终能够充分吸收新学到的概念。
- 我们还采用间隔重复，这是一种系统的复习方式，通过在适当的时间间隔内复习已学内容，以保持知识的记忆。这样，学生不会遗忘所学内容。
- 我们的课程内容全面。在设计课程时，我们参考所有主要教材，以确保涵盖其所有内容。任何在某版本课程中可能出现的主题，你都能在我们的系统中找到。
即便学生带着知识漏洞进入 Math Academy，我们也会自动采取措施进行检测和修补。我们的诊断考试不仅评估课程内容，还评估低年级基础知识，以识别并填补每位学生的基础知识缺口。
> 艰难可能源于无效的练习
正如我们在总结学习科学时所解释的，有效的学习就像与私人教练一起锻炼。它应以刻意练习为核心，这是一种主动学习方式，通过重复和逐步改进，特别选择个性化的训练活动来提高特定表现。
我们将在后续章节中更深入地探讨主动学习和刻意练习，但以下是一些关键要点：
- 有效的学习是主动的，而非被动的。试图通过被动观看视频、听讲座、读书或重读笔记来学习并不有效。
- 刻意练习需要反复练习超出个人能力范围的技能。然而，这通常更费力且不那么愉快，可能会误导非专业人士在他们的舒适区内进行练习。
- 有趣、协作且非重复的课堂活动（如小组讨论和自由形式/非结构化的项目或探索学习）有时可以提高学生的动机，缓解与刻意练习相关的不适感——但它们只是刻意练习的补充，而非替代。
- 刻意练习必须是持续例行的一部分。刻意练习的力量来自于长时间内逐步改进的累积效应。它不是一种像考前突击那样的「灵丹妙药」。
在 Math Academy，学生们通过解决新主题和最需要复习的主题的问题（并获得反馈）来进行刻意练习。我们将主动问题解决与教学交替进行，以便学生在使用信息积极解决问题并获得反馈之前，获取最低有效剂量的信息。
> 艰难可能源于练习不足
艰难可能是因为需要比其他学生更多的练习（或者，课堂进度可能太快）。这本身不一定是个严重问题，因为通常可以通过增加练习来解决。然而，如果与以下因素结合，可能会引发问题：
- 教学材料缺乏足够的认知脚手架。
- 练习题数量有限。
- 考试题目与作业题目差异较大。
- 额外练习的需求超过了你愿意为学习投入的努力。
Math Academy 解决了这些问题，除了最后一个：
- 我们内容的认知脚手架比其他地方的细化程度高约十倍。
- 如果学生在任务中遇到困难，我们会提供更多问题——即更多的学习和展示学习的机会。
- 我们有快速且频繁的小测验，问题与课程中学习的内容相似（但不完全相同）。
- 我们甚至为每位学生在每个主题上量身定制间隔重复的速度，以确保学生获得足够的复习来长期保留信息。
> 艰难可能源于缺乏动力
具有良好动机的学生通常受以下一个或多个因素驱动：
- 他们对学习内容有内在的兴趣。有些学生真正热爱数学，能在各种数学思想的结合中看到美，并因此获得新的视角。
- 学习内容与他们的未来目标高度相关。例如，一个有志成为火箭科学家的人可能不喜欢数学，但因为数学在将火箭送入太空方面的实用性而有动力去学习。同样，一个有志成为医生的人可能不喜欢数学，但在申请医学院时需要证明其具备基本的数学知识。即使是没有具体未来目标的学生，也可能希望保持潜在的职业机会，而这些机会可能因为数学学得不够而关闭。
- 他们喜欢参加数学竞赛和科学展览。有些学生对数学持中立态度，但发现自己擅长数学，并且喜欢学习更高级的数学以在考试和科学展览中获得竞争优势。
- 他们的父母通过有意义的外在奖励激励他们。有时，学生可能不属于上述任何类别，但他们的父母（通常是正确的）希望他们充分利用在校期间学习数学的机会。对于一些学生，这可能意味着学习生活所需的基础数学；对于其他学生，这可能意味着学习更高级的数学以打开各种职业机会。如果一个学生对其他活动如阅读小说、玩电子游戏，甚至只是出去吃甜点非常感兴趣，提供外在奖励以激励他们在数学学习中达到目标，通常可以提供足够的动力，以防止他们在学习过程中「退出」。
如果一个学生没有受到上述任何激励因素的驱动，他们可能会因为对学习内容缺乏兴趣而「退出」或感觉学习过程过于艰难。
| 类比寿命
本节的核心观点是：你的数学潜力虽有上限，但很可能超出你的想象。如果这个概念仍然不够清晰，不妨用人类寿命来作个类比。
你的生活方式会影响你的寿命，但即使你过着极其健康的生活，也不能保证你能活到超级百岁（110 岁以上）。极少数人能活到那个年纪，但即便你做对了所有事情，可能也不是你。然而，仍然可以肯定的是，如果你健康生活，你的寿命会比过着不健康生活时大大延长。
体育运动同样如此。即使你比其他人更长时间地进行有效练习，也不能保证你会成为名人堂运动员。然而，可以肯定的是，通过有效练习或投入更多时间，你会在所选运动中变得更加熟练。很可能，你会比自己或其他人认为的更为出色。
数学也不例外。即便你将一生投入到有效学习中，也不能保证你会成为世界级数学家。但通过认真努力地进行有效学习，你将学到更多数学，并打开更多职业机会的大门。