我在研究自己的线代学习过程

过去几个月，我一直在深入探索问题解决^[1]和阅读理解^[2]，现在我感到正被抽象迷雾所迷失，需要将想法结合实际。我碰到很多困惑，但不能确定解决它们需要量变还是质变。要是阅读策略理想，习题集合适，和合适的题目，这些困惑是不是就能消除？如果这部分已经做对了，还会剩下哪些困惑？

所以，这个月我没有继续观察学生，而是转向观察自己。我想知道，就算我用上了自己的记忆系统，掌握了「专家级」的阅读技巧，做完了所有的习题，我的学习经历中还会受到什么阻碍？我希望在学习解释性文章的过程中，能创造一种异乎寻常的轻松和自信感。之前跟学生 Alex 的合作^[1]中， Alex 的障碍主要在阅读理解、解题的脚手架的缺乏上。假设我不缺这些，那我缺什么？我的系统和策略要哪些才能支撑我的的自信感？

碰巧，我也想重新学一遍线性代数（linear algebra）。大约 17 年前，我在加州理工学院尝试学过线性代数，但限于文科背景，我几乎没能掌握数学理论。这让我如今每每研究计算机图形和机器学习论文时，我都感受到脑子不够用。线代理解得不好，限制了图形学和机器学习上的深入。我真想彻底掌握它们！

线性代数不仅涉及陈述性的知识，对我的实验来说，它正好包括所需的概念性和程序性知识。具体一点，包含：一大堆符号和专用术语，很多相关联的数学概念和大量的数学性质，处理它们时，还需要一些经典而必要的数学方法。传统记忆软件偏向为陈述性知识的设计，而问题解决和实践更强调程序性知识。尽管记忆软件偏向如此，但我一直试图将记忆软件的适用范围延伸到概念性（以及浅层的）程序性知识中。

我选的阅读材料是 Jim Hefferon 的《线性代数》这本书，一来它名声在外，二来它版权比较宽松：我知道，以后或许要以这书为基础做些实验。起步阶段，我认认真真地啃了前 35 页（就像我和 Dwarkesh 在视频里做的那样），一边读一边做了 65 张记忆卡片。我把那几节的 57 道题都做了，并对了一遍答案，检查错误或者发现新内容，这些都做了笔记。这些一共花了大概 20 个小时。

虽说我觉得对学习内容的理解还不错，但我内心的体验和「异乎寻常的轻松和自信感」完全搭不上边。我给自己构建的这个学习环境，没能给予很多关键点上的支持。不过好在，这也给我后面（对助记媒介）进一步的原型开发和探索指了不少路。

理解辅助

在担心如何深入理解或加强长期记忆前，我首先得确保做到最基本的事情 —— 能搞懂文本在说什么。

我有个习惯，那就是通过提问和精细阐述文本来加强阅读理解^[2]。这样确实让我比很多人理解得更好，但我知道，单凭这些还不够：经验表明，我仍会遗漏文本里的关键信息。

但线代这本书，我有了记忆系统和习题集的额外支持，结局可能有所不同。现在，咱们来看看这些支持是如何影响我的阅读理解。

制卡与理解辅助

如果对文本写出详尽的记忆卡片，我的阅读理解通常更加可靠。写卡让我进入一种主动的视界，我会留意任何可能重要的内容、基本不会忽略关键细节。而且，为了将这些细节转化为提取任务（指转换为记忆卡片），我通常需要以某种方式，来达成对文本最基本的理解。

这么做很不错，但我注意到一些明显的局限性。

有的内容，我不知道怎么写成卡片。学习写好卡片，如同学习写出优质的文章：你都需要摸索出一整套至细至密的策略，应对百变的情况。但我某些特定材料，我还没有（或者说尚未）找到编写记忆卡片的策略。举个例子，此书讲解方程组解集的首选形式（Preferred Form）时，展示了一个抽象的符号表示，然后通过多个对比鲜明的例子来深化讲解，目的是让读者理解为什么要这么构造解集的形式，实践中有什么用。用这种抽象符号做一些基础卡片还算简单，但这些例子里的微妙之处，以及选择这种形式的多重原因，就很不好写卡。如果我真的全身心投入并充分发挥创意，一般还是能找到解决办法的。但这会让我觉得很累，所以我就走马观花地往下读，有时甚至不自觉地就这么选择了。在这种情况下，编写卡片并没有真正检验我的阅读理解。（当然，这也意味着这些点的记忆也不会得到强化——后面再细说。）

制卡带来义务感。我当然想把作者说的话都搞懂，但我不想作者的每句话都听。当我大量依赖记忆卡片来加强理解，我经常会感觉被「卡片的密度」压得喘不过气。有时我发现很多细节我并不怎么在乎，或者这些细节会在后面由综合性的卡片得到强化。虽然，多余的卡我删掉就是了，但这多少会有点决策成本。而且，那么多「不必要的」卡片，成本要比某些非制卡的技巧高，比如自己向自己大声解释。这其中有一部分努力会有收益，但很多时候感觉像是白费劲。（译注：总觉得像是「过早制卡」的毛病）

肤浅的卡片，粗浅的理解。当文章给出一个关键定义时，仅用文中的定义稍作改写就能快速写出一张卡片，这样看似很简单。但这就是问题所在，因为很容易在没有真正理解的前提下做改写，这一点在自我解释的研究中也有体现。一般来说，仅仅是简单改写文本，效果并非最佳。有效的卡片，往依赖精练和延伸。有人可能会说：「那就写得更好一点嘛！」，但我要指出，机械的工具或者方式并不会帮我做正确的事。一不留神，就容易写出肤浅的卡片，要避免这种情况，我不仅需要保持高度自省 —— 这在学新东西时很难 —— 还需要在写卡片上多下工夫，但「值不值」这么做我不是总能确定的。

助记媒介与理解辅助

如果把制卡当做重要的阅读理解策略，那对于助记媒介^[3]，由于是他人写的，似乎会带来一些问题。这些内嵌的记忆卡片确实（无意间）起到了个基本的「理解检测」的作用。如果你对一张内嵌的卡感到莫名其妙，那多半不是忘记什么，很可能因为阅读时就太过粗略。而且这些内嵌卡片还有个间接作用：许多读者发现自己的理解这么糟后，就会开始细心阅读（正如附加问题研究所预测的那样）。

不过我们设计这个卡片界面，考虑的是记忆练习，而不是理解检测。观察一些助记媒介的用户后，我发现人们对「记忆失败」和「理解失败」之间的感受大不相同。

记忆上的失败一般是感到在挖掘一个你曾经理解但现在忘了的东西：「哦，那个虚数项又藏到哪儿去了呢？（查看答案）哎呀，在右上角呀。好，得再复习一遍。」或者：「这个我不记得了，但我也不关心能否记住它。（点击删除）」。当读者清楚地知道某东西是什么的时候，他们会更坦然地说自己并不关心它。

相比之下，理解失败会让人无所适从：「这是啥意思，我一点儿也不明白。（看答案）啊……行吧？还是不懂」。界面上有两个按钮：「记得」和「忘了」。这两个选项都挺让读者纠结的。他们明白，如果按「忘了」，只会让这个问题在学习结束时又弹出来，而读者并不想再碰它 —— 因为再弹一次还是会一头雾水，何况答案都看不明白那就不清楚记它的意义；何况下次看到后即使足以按「记得」，那只不过是机械地复读这次看到的答案，没意义。

另外一边，如果一开始就按「记得」虽然能「让卡片走开」，但这也并不能解决问题：说不定这卡片挺重要的？他们也不想以后还得再应付这问题。（译注：这是个典型的没有合适策略闭掉的开环）

如果我们特地设计一套附加问题来检测理解，我觉得最好在内容和界面设计上做点儿区别，让它跟用来做提取练习的卡片不要太像。

习题集与理解辅助

近来翻阅了一堆（认知方面的）文献后，我发现无论是这本书（还是其他大学级别的教材）中的练习题，其实都有三个不同的目的：

• 检查理解：确保你真的阅读并理解了文本。
  
  
• 促进技能习得：通过应用所学，来归纳使用模式，强化长期记忆，构建程序化的自动性（procedural automaticity）。
  （译注：教育语境里，会强调学习知识要达到「自动化」）
  
  
• 刺激展开(e)（elaboration）：促使你扩展思维，从而看到更多不易察觉的细节，激发创造力。这样不仅让你对材料有更深刻的理解，也让记忆更牢固。
  （译注：elaboration 指详细阐述、扩展概念。在教育心理学中，"elaboration" 还有一个特定的意义，指的是将新信息与已知信息联系起来的过程，这有助于深化对新信息的理解和记忆。本文会翻译为 “展开(e)”，用以和 “展开” 区分。我真是个天才）

展开e的例子：
场景：历史课堂上，老师正在教授二战的历史。

没有展开(elaboration)的情况：老师说：“1941年，日本偷袭了珍珠港。”
使用展开(elaboration)策略的情况：老师说：“1941 年，日本偷袭了珍珠港，这是一个美国的海军基地。这次袭击导致了美国舰船的大量损失，也使得许多无辜的美国士兵和平民丧生。这个事件是美国决定加入二战的关键原因，因为它使得美国民众对日本产生了强烈的反感。”

在第二个描述中，老师通过展开并提供更多的背景信息、结果和重要性，帮助学生更深入地理解这个历史事件的复杂性和重要性。通过这种方式，学生更容易记住这一事件，因为他们能够将这个事件与其背后的原因、影响和后果联系起来。

当然了，这几个目标间的比重在不同的题目中各不相同，但每一个都或多或少地涉及到检查理解。这样做的好处是，你可以通过实践——通过将材料运用起来——来检查理解。比起直接回答死记硬背的理解（和记忆）问题，这样的过程通常更能让人投入其中。特别是当这些题目本身就足够吸引人时，这一点尤为突出。

但大体上，由于习题的目标太多了，这本书里的习题集给我的理解支持没有达到我的预期。我认为，其他类似的书的习题集也有同样的问题。

失败方式很糟糕。习题不会做很正常，有时我感到被问题阻塞，但并不总清楚是因为知识点的遗漏，还是不够努力。一般情况下，如果理解上没问题，那么缺的只是苦干。这让我想要不要再加把劲。结果很容易乱搞一气不得其法。这种错误做毫无建设性，因为我根本就缺少某个关键信息。麻烦在于，身在此山中的人是不知道这点的。要弥补缺口，最常见的有效方法，是重看一遍正文里的某个解释。但没有上帝视角，我不知道应该注意哪一部分（就算有答案手册在旁）。此情此景，我只能整个章节重新遍历。这种失败的着落方式，大概是个普遍问题，因此用习题来检查理解程度并不总是那么准确。

检查不够全面。在读完一个章节后，你通常能学到某条定理成立的事实，为何成立，以及为什么它有意义。习题主要强调应用、分析和综合，所以它们通常考察的是你是否理解了某条定理成立，而对其他方面则关注较少。以书里的线性系统为例，线性系统的解可以由一个特定解，配上一组与之相关的齐次系统的解，形成的线性组合来表示。章节大部分内容在证明这个定理和它的派生含义。但没有一个习题会检查我是否理解了证明，另外，定理解释性的部分也仅仅触及皮毛。后来我自测看能不能解释这个证明的时候，才意识到我没理解一个关键步骤。尽管我已经做完了习题集。

有人可能会说，这仅是一个教材的不足——习题集应该全方位地考察你对该章节所有内容的理解。我的想法是，习题天然就该偏向于检查对一类内容的理解，而不考虑另一类，这是它的内禀属性。如果强行违背这天然的粒度，最后产生的东西可能不再是我们通常说的习题了。

哪些题目覆盖新的点？哪些是重复？有的题外观上看起来差不多，内里别出心裁，做起来感到对学过的内容不同角度出击。但有时候，相似的题目只是为了多练几遍，提高娴熟度。有时我觉得没必要再解一道线性方程组：我感觉自己已经炉火纯青了！可偏偏某些题目有点细微的差异，检查的是新的理解点。所以，我没有放过任何一道小题，但其中许多我都觉得没有必要。换个说法：这些重复性质的练习应该「分散」到未来几周里以促进长期记忆。而不是占用我检验新的理解点的时间。

答对了，但没领会精髓。有几次，题目就是这么设计的，按照书里讲的某个规律一步到位就能解出来。我虽然解出了答案，但却没抓住问题的核心。要察觉到这一点，光对答案是不够的，还得重新推敲一下解题步骤，看看跟自己有什么不同，特别是在关键的地方。

技能习得

我们学习新技能的过程中，会存在一个内化节点。一开始，我们得仔细琢磨每一个细节和步骤，经常得自言自语道：「解高斯消元，我得用这三招…」但练习多了之后，我们就学到了解体模式。不用再费脑筋去回想，变得天生就知道该怎么做：「好，这方程先除以二，再用它把另一个方程第一个项给消了……」[1]

我自己的感觉是，单靠提取练习并不能让这转折自然发生。尽管它让过程顺一点 —— 可能因为相关的陈述性知识牢牢记在了长期记忆里，减轻了工作记忆的负担 —— 而解题练习是让这个转折发生的传统方法。这招对我来说大多数时候挺管用的，但也遇上几个小挑战，感觉还有改进的空间：

应当随着时间推移一点一点刷题。我的学习模式是看一节内容、刷全部课后题。很多题目都是重复练习同一个技能，比如说：「找出含有自由变量的线性方程组的解集」。好，正是我需要的，提升我的熟练度 —— 但连续做十道同样的题目实在让人心塞。传统的教学方法是只布置课本里一部分题目来解决这个问题，但如果我需要大量练习以达到熟练呢？从情感和效用（间隔效应）来看，最好是把解题练习分散在不同的时间里，这在实际操作中颇为困难。也许你可能说，每天做一道题、再是隔天做一道、再是一周做两道 ...... 以此类推？这需要一种可编程的注意力^[4]。

我应该练多少？也许我只要做一半的题？那种「以掌握为目标」的学习方法往往有个规则，就是「连续做对五题，就可以停下来了」。这里的问题是，有一些内容在学完之后仍未达到「无需思考就能识别」的标准，当我碰到更难、依赖这个前置技能的题目时，我可能就会卡住。因为内化不够，技能用起来仍然需要大量的认知负荷，而且原因并不一定清楚。就好像「可汗学院告诉我，我已经掌握了所有前置知识！」*1，但真正用起来，却还是手忙脚乱。关于程序性知识的文献可能已经找到了一些有用的答案，但我还没有深入地阅读这个主题。例如，我猜测时间压力*3（例如 Number Munchers？*2）会揭示出更为明显的差异。

*译注：1、在用户完成某些学习模块或课程并通过相应的测试或练习后，平台可能会给出反馈，表示用户已经掌握了某些内容。2、一种数学游戏。3、Andrew Huberman 博客里说，以一定节奏和时间压力学习会加强神经可塑性

如何练习证明题？本书包含了大量证明题。当然，证明题没那么机械化：你并不是在学习执行某种一致的操作。某种程度上说，证明是为了促使你更深入地理解（这一点我们会在下一节中讨论）。但这些证明题，也是在学习对特定的模式的识别、熟练利用数学对象的特定属性。那么，当我未能识别出其中的模式，或者未能看到如何利用这个属性时，我应该怎么做呢？我可以阅读答案，并记下我遗漏的洞见 —— 甚至为此写下一个卡片。但下一步怎么加强练习呢？怎么保证我下次能认出这个套路？证明题跟一般题目不同，没法轻易出一个题目去考察同一个属性（译注：用 GPT 让它出题呀）。

深化理解

我不只是想知道材料在说什么，更想搞懂它意味着什么、为什么它很重要。我希望能把这些新东西和我的先验经验联系起来，将来还能创造性地用上。总之，我想把这些内容彻底内化，形成一个丰富整合和详细展开 e 的认知表征（原文：I want to internalize a richly integrated and elaborated representation of the material.）。

编写记忆卡片对此有所帮助：写卡的过程让我举例子、去推断文本未明言的部分、去思考可能的推论，还能想清楚为啥自己会在意某个细节点。这些都是比较「专家」的卡片编写方法，大部分用记忆软件的人不太会体验到这一点。助记媒介的读者通过写卡片也不见得能有这种收获，但如果作者设计出能引导他们这么想的卡片，那他们也必能收获同样的益处。

这本线性代数书的习题就给了我这种启发，很多题目明显是为了让你更深入地思考正文里的细节。有个简单的例子：「在 3.6 引理的证明中，如果没有 0=0 这样的方程会怎样？」尽管我有写卡片的习惯，但当我读这个证明的时候，我就是没想到这一层。

但大部分习题其实是围绕着解题练习来提高你的技能。与其说我想要单纯的记忆支持，不如说我更希望能回答更多促使我去展开 e 和推理的问题。每次复习时解一两道，持续几周。理想情况下，这些问题能逐渐提高我运用知识的广度（译注：即提高知识迁移的距离）。

记住我所学的知识

付出这么多汗水，我当然希望能长久记住我学到的东西。我的记忆练习当然能起到一定作用。但在这里，还有几个饶有兴趣的议题，一些是我们在《灵活的记忆实践产生流畅的理解》^[5]一文中首次探讨的。

高质量的习题能在多大程度上替代有针对性的提取练习呢？我的很多卡片都是为了让我回想某个具体的信息点，（比如：什么是「奇异性」的定义？）。但如果我解了一个依赖此定义的题*，那我其实也是在从长期记忆里提取这个信息，这也有助于加固记忆 —— 甚至可能因为进一步的展开 e 而更为牢固。解题可能不会让人觉得枯燥，或没意思，但代价是费时费力。这之间该如何取舍？哪些知识更适合隔离练习，哪些更适合整合到综合性的题目中？我的回答会随着熟悉程度有所不同吗？（*译注：此处可以和 Andy 在前文「我应该练多少？」里的内容结合看。）

卡片簇应该在时间轴上分散。以矩阵的「奇异性」这一概念为例，我当然应该知道它的定义。但除此之外，我还应能：根据定义说出相应的术语；给一个实例后，能判断是否满足「奇异性」；如果知道一个矩阵是「非奇异」的，应能推断出与它相关的线性系统的解有多少种可能性；回答一些特别强调「奇异矩阵必须是方阵」的问题等等。问题在于，当我一口气回答好几个这样的问题后，后续问题我就不必再从深层记忆里去摸索答案，因为前面问题的一部分答案还停留在我的短期记忆里*。我觉得更高明的做法是，在多次的复习中，把这些密切相关的问题分散开来。可能要让卡片的问答影响相关卡片的复习安排。传统的记忆软件主要为事实性知识服务，而上述这些是概念性知识记忆软件与之不同的关键环节。（*译注：集中复习的大问题）

有些卡片需要变体。我偏好那些包含实例的问题，比如给一个矩阵然后问「这个矩阵是不是奇异的？」，你肯定不想每次都看到同一个矩阵，那样就变成死记硬背了。关键是熟悉判定流程，这种问题很适合来点的例子，或者至少从几个预设的题库里挑一挑，就像《量子力学简明教程》里所用的「应用卡」那样。

如何将问题解决能力整合到复习环节中？在完成这些题目集后，我深感自己已经可以将所学用到各种场景下了。如何通过重复练习以保持状态？一种方法就是在复习中穿插类似的问题，但这些问题确实会影响我通常的复习模式：我在手机上复习，而题目需要专门准备纸笔，花费更多的时间。也许我得每周专门腾出一两个时间段，做些高复杂的练习？另外，为了试验，我也能把这些问题改编成「心算」的形式，不用纸笔也能解决。这个策略能普遍应用吗？这些「减配」过的问题，足够维持我所学的技能吗？

如何处理解题过程中萌发的新见解？这书里最有意思的一些题目，似乎是为了让我在解题过程中产生一些特定的见解，这些见解大多只可意会不可言传，多半涉及到符号或者抽象概念中微妙的联系或强调。但我明确感到这是极有价值的学习。怎么确保我能牢记这一经验呢？要编写关于这些见解的卡片，我总感到伤脑筋。

如何处理知识的证明？坦白讲，关于证明我还真没有一套行之有效的知识体系。我真正想要的不仅是知道那个证明，更重要的是深入了解其关键步骤和洞见，这样才能应用到其他相关的命题上。比如，书里给出了一个证明，说改变线性方程的顺序不会影响解的集合。借此思路，我也证明了高斯消元中的缩放和组合操作是坚实的。但怎么做才能永保这种理解？我对应该写什么样的卡片，或者怎么写，感到不是很确定[2]。现在距离我第一次学它已经过去两周了，我自测了一下，虽然费了点劲，但最复杂的证明我还是能复现出来。

编写卡片很耗时。我在这几节里花了 20 小时，其中至少有两小时是在写这些卡片上。 10% 的「制卡税」相对于能增强理解和记忆算不得什么。但这个过程比单纯看书或者解题都费神，感觉至少占了我三分之一的精力，有时候甚至是一半。（译注：woz：渐进！渐进！但渐进似乎不能解决问题）

高屋建瓴地总结几个点

抛开细节不谈，如果我有根魔法棒，我想要实现的愿望包括：

• 一种「迅速检测我有没有理解这一段」的小交互。也许简单的问题能促使我梳理一下关键点，不至于让复习变得乏味。在明白了文章的意图之后，解决问题和提取练习就会更加得心应手。
  
  
• 一种简便方法，让我能把以技能习得为导向的复习，散布到不同复习时间上。
  
  
• 在我的复习练习中，逐步加入 2-3 倍量综合性、拓展性 (展开 e ) 的问题。
  
  
• 将我的复习环节从单纯的固定的提取练习，转向非固定的解题练习，后者在某种程度上应该能包含前者。
  
  
• 解题过程中会出现洞见的萌芽，如何捕捉、加强这些萌芽呢？我希望能更好地理解这个过程。
  
  
• 最后，尽量不用亲自编写记忆卡片。

如果我能如愿以偿，我想我会感到更加接近「异乎寻常的轻松和自信感」。预计接下来的几周，我会着手制作一些这方面的原型。

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感谢 Gary Bernhardt、Elliott Jin 和 Russel Simmons 在这些主题上的有益讨论。

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[1] 欲了解这个过程的更多细节，可以参考 John R. Anderson 的《学习与记忆》一书的第九章。

[2] Michael Nielsen 的文章《如何用间隔重复深入理解数学》^[6]给了我不少启发，但我现在还不能完全把这些见解联系起来。

Thoughts Memo 汉化组译制
感谢主要译者偶然奇怪~ ☆、GPT-4，校对 Jarrett Ye
原文：Studying myself studying linear algebra | Patreon
作者：Andy Matuschak

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