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艾宾浩斯记忆曲线有无数学模型？

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问题描述

不同复习次数会影响记忆程度随时间演化，能否用随机过程+隐变量来近似描写，能不能给出插值表达式、估计误差？

比如，设置一个与复习次数、间隔有关的时间演化算符，将复习视为微扰（物理做法hh），给出一个随机Schrodinger方程？

你要的理论：（我只是机翻+润色）

叶峻峣：05 1988：记忆的两个组成成分

摘录：

Murakowski 的证明

这里有一份由 Murakowski 提交的证明：

在早期的研究中已经发现，配对联想学习中的最佳重复间隔，理解为需要最小重复次数才能无限期地保持恒定的知识保持水平(例如95%)的间隔，可以用以下公式大致表示(Wozniak 和 Gorzelanczyk，1994)：

这里：

上述公式是使用计算机优化过程为人类受试者找到的，该计算机优化过程使用主动回忆丢弃技术来监督单词对的自定步速学习过程。[...]

如下所示，被广泛研究的记忆强度(或突触增强)不足以解释最佳重复间隔的规律：[...]

  1. 我们想要确定存储记忆痕迹所涉及的(分子)变量集，这些变量足以说明最佳重复间隔。首先，让我们假设这些变量在学习中的两个相关性，它们受制于公式(1)及(2)所表示的最佳间距：
    1. r - 从当前时刻到当前最佳间隔结束的剩余时间(最佳间隔是指保留率在结束时降至先前定义的水平的间隔，例如 95%)。
    2. s - 当前最佳间隔的长度。
  2. 仅在第 i 次重复开始时， r=0 ，而 s_i>s_{i-1}>0 ( s_i 表示正好在第 i 次重复开始时的 s)。这表明没有函数 g_1 使得 s=g_1(R) ，即 s 不能只是 r 的函数。
  3. 在重复间隔期间， r(t_1)<>r(t_2) 当 r(t_1)<>r(t_2) ( t 表示时间， r(t) 表示时刻 t)。另一方面， s(t_1)=s(t_2) ( s(t) 表示此时的 s)。这表明不存在函数 g_2 使得 r=g_2(s) ，否则我们将有： r(t_1)=g_2(s(t_1))=g_2(s(t_2))=r(t_2)，这导致了一个矛盾。r 不能仅是 s 的函数。
  4. 在步骤 2 和 3 中，我们已经证明了 r 和 s 是独立的，因为没有函数 g_1 和 g_2 使得 r=g_2(s) 或 r=g_2(s)。这显然不意味着没有参数 x 和函数 y_s 和 y_r 使得 s=y_s(x) 和 r=y_r(x)。
  5. 可以看出，r 和 s 足以计算最佳重复间隔(参见方程式(1)及(2))。让我们首先假设以下两个函数 f_r 和 f_s 在 s 涉及记忆存储i的系统中是已知的： r_i=f_r(s_i) 和 s_i=f_s(s_{i-1}) 。在我们的例子中，这些函数具有平凡的形式 f_r：r_i=s_i 和 f_s：s_i=s_{i-1}*C_2 (其中 C_2 是公式(2)中的常量。在这种情况下，变量 r 和 s 足以在任何时刻 t 以最佳重复间隔表示记忆。以下是重复间隔算法，它表明这是正确的：
    1. 假设变量 r_i 和 s_i 描述第 i 次重复后的记忆状态
    2. 时间流逝 r_i
    3. 开始重复
    4. 让函数 f_s 用于从 s_i 计算新值 s_{i+1}
    5. 让函数 f_r 用于从 s_{i+1} 计算新值 r_{i+1}
    6. i:=i+1
    7. 回到 2

上述推理表明，变量 r 和 s 形成了计算最佳重复间隔所需的足够的自变量集合。显然，使用形式为 r''=Tr(r') 和 s''=Ts(s') 的一组变换函数，可以设想可以描述记忆系统状态的变量对 r-s 的无穷族。一个困难的选择仍然是选择这样一对 r-s，它将最方便地与突触水平上发生的分子现象相对应。

在涉及 r-s 对变量的记忆系统中，作者提出了以下术语和解释：变量 R(可提取性)确定在给定时刻可以调用给定记忆轨迹的概率，而变量 S(记忆的稳定性)确定由于遗忘而导致的可提取性下降的速率，从而确定最佳重复间隔中的重复间隔的长度。

假设可提取性以负指数下降，并将稳定性解释为可提取性衰减常数的倒数，我们可以方便地使用以下公式(t 表示时间)来表示 R 和 S 之间的关系：

(3) R=e^{-t/S}

从推理的步骤 1-5 中使用的 r-s 对到建议的解释 R-S 的变换函数如下(假设最佳重复间隔的定义为产生知识保持的间隔 K=0.95)：

(4) S=-s/\ln(K)

(5) R=e^{-(s-r)/S}

因此，第 i 次重复后的稳定性( S_i )与确定由公式(1)和(2)定义的最佳重复间隔的常数 C_1 和 C_2 之间的关系可以写成：

(6) S_i=-(C_1*C_2^{i-1})/\ln(K)

最后，在最佳重复间隔中的可提取性可以表示为：

(7) R_i(t)=\exp^{(t\ln(K)/(C_1C_2^{i-1}))}

这里：

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