常见问题解答：学生行为

| 使用纸和笔

> Math Academy 的学生应该在课程中做笔记吗？

记笔记实际上是不必要的。我们的间隔重复系统会负责复习工作，而在极少数你确实忘记了某些内容的情况下，你随时可以回到先前的课程，以「参考模式」复习那些可能已经遗忘的知识点。

更进一步说，我们实际上反对记笔记。要将信息转存到长期记忆中，你需要在没有任何辅助的情况下练习提取这些信息——但当你拥有详尽的笔记时，你很容易不断依赖这些笔记，而不是尝试从记忆中调取信息。结果，笔记反而成了一种依赖，让你陷入遗忘的恶性循环。这一道理同样适用于所有形式的参考资料。

当然，如果你在竭尽全力后仍无法回忆起某些内容，查阅参考资料是可以的，但这应该只作为最后的手段。即便如此，也不要边看参考资料边解决问题——只需快速浏览一次，然后尝试在不再查看的情况下解决问题。

话虽如此，我们想区分「记笔记」和「纸上倾听」这两个概念。虽然我们不建议为以后使用而抄录信息，但我们认为在接收新知识时，记下关键信息点以保持专注并建立知识间联系是完全可以的。「纸上倾听」对所有学生来说并非必要或有益，但有些人发现这有助于他们进行「主动倾听」，从而加深对所学内容的理解。

然而，再次强调，实践「纸上倾听」的学生必须始终警惕避免以下陷阱：

• 陷阱 1： 简单抄录，或更广泛地说，减慢接收新信息的速度而没有真正深化对该信息的处理。
  
  
  
• 陷阱 2： 依赖笔记解决问题，或更广泛地说，将参考资料作为拐杖，逃避或减少进行适当记忆提取练习的努力。

> 学生应该什么时候在脑中解决问题，什么时候在纸上写出解题过程？

我们建议，从技术角度来看最准确的通用规则是：当满足以下条件时，你可以在脑中解决问题（或问题的某个组成部分）：

1. 你能够在大脑中可靠地完成这个任务，几乎不费力，而且
2. 感觉像是你只在头脑中保持一件事——如同你在处理一个完整、紧密的信息「块」，而非必须在大脑中「杂耍式」地同时协调多个信息组件。

以下是这背后的科学原理。

在认知科学中，尤其是「认知负荷理论」范畴内，已经确证你的工作记忆在保持新信息方面容量有限——当你将工作记忆推到接近这一极限时，你犯错的可能性会增加，完成训练任务的可能性会减少，这就阻碍了你的学习。

降低认知负荷是目标——不仅仅是「一个」目标，而是「那个」目标，是结构化教育的核心所在。提供的教学支架越多，学生的认知负荷就越低，阻碍学生获取课程所涵盖知识的认知「摩擦」也就越少。

在纸上解决问题的道理也是一样的：目标是降低认知负荷。通过在纸上记录中间步骤，你可以暂时从工作记忆中卸载信息，为新信息腾出空间，然后在需要时通过查看纸张快速重新加载原始信息。

（从某种意义上说，纸张充当了一个人工长期记忆库，你可以在那里存储尚未编入大脑长期记忆的新信息。大脑需要大量时间和努力才能将信息编码到自身的长期记忆中，而在纸上记录信息使你能够绕过这些生物限制。）

不对称的权衡

需要明确的是，这里确实存在一个隐藏的权衡。如果你过度使用认知脚手架，或者在纸上记录超出必要的内容，这无疑会增加你完成课程或解决问题所需的时间。如果你的认知负荷已经很低，那么进一步降低它并没有任何好处——这只会创造更多消耗时间的机械性工作。

然而，这种权衡是不对称的：

• 如果你使用的认知脚手架不足，或者在纸上记录的内容太少，导致超出了你的工作记忆容量，你就会撞上一堵无法逾越的墙。你将无法完成任务，学习进度会彻底停滞。即使只是「接近」满负荷状态，你的错误率也会急剧上升，阻碍学习效果。
  
  
  
• 另一方面，如果你使用了超出需要的认知脚手架，或在纸上记录了过多内容，虽然从技术上讲这不是最优选择，但通常影响不大。在纸上多写了一两行其实不必要的步骤？没什么大不了的，只是让你多花了几秒钟解决问题而已。你确实可以通过不记录这些步骤来节省几秒钟，但这也会使你危险地接近在头脑中保持过多信息而犯错。就像管理银行账户一样，保留一些缓冲并非坏事。

由于这种权衡如此不对称，最好谨慎行事，宁可记录得比实际需要多一点。当有疑问时，把它写下来。

培养良好习惯

除了避免处于不对称权衡的不利一方外，你应该倾向于谨慎行事（即写下过多而非过少内容）的另一个原因是，你需要为未来建立良好的习惯。

随着你在数学领域不断攀升，技术复杂度逐渐提高，相应地，所需的认知努力也会增加。即使你在学习低阶数学时能够完全靠心算解决问题，但这种方法不可能无限期地持续下去。你终将达到一个临界点，在那里你无法在不超出工作记忆容量的情况下进行心算，而在那时，继续取得进步的唯一方法就是利用纸笔作为工具来减轻你的认知负担。

然而，你越长时间不使用纸笔，这种习惯就会越加根深蒂固，日后要改变它就越发困难。因此，即使不是绝对必要，养成至少记录部分解题过程的习惯也是明智之举。如果不这样做，你可能会在过长时间内坚持完全靠心算的习惯，远超过你实际需要开始书面记录的时间点——这会逐渐侵蚀你的表现和进步，最终让你面临一个「清算日」，届时你的整个数学前途都将面临危机。

我们见过许多聪明的学生在基础数学阶段一帆风顺，完全拒绝记录任何解题步骤，却在进入中级或高级数学时陷入困境，仅仅因为他们顽固地继续拒绝书写自己的解题过程。

| 对参考材料的依赖

> 在测验中，如果我记不住某个「事实」（例如，一个定义或定理）但我记得如何使用它来解决问题，我应该查阅它吗？

我们建议在测验期间不要依赖任何外部材料，因为这会导致系统误以为你在没有借助任何参考资料的情况下正确回答了问题。在你描述的情况下，你本应从测验后的后续复习中获益，重新学习这些概念——但如果系统认为你无需查看参考资料就能回答问题，你将无法获得这种学习支持。

话虽如此，我们确实建议，即使你对答案没有把握，也要尽可能地做出最佳猜测。如果你对某些信息记忆模糊，即使信心不高，你仍有可能成功回忆起这些信息。（不过请注意：即使你恰好答对了，也一定要事后查看解答，以进一步巩固记忆。）

更广泛来说，我们（一般人）通常不善于判断自己对某事的了解程度，尤其是对于最近学习且信心不足的内容。Math Academy 系统正是基于这样的理念设计的：学生应该尽力尝试解决问题，而系统会在学生尝试失败后提供相应的纠正措施。

> 如果学生尽最大努力参考辅助教学资料后，仍不确定如何解决问题，应该怎么办？

如果学生认真阅读了辅助教学内容，并尝试逐步解决问题，在纸上写下每一步，并在遇到困难时参考相应的例题，那么这种情况几乎不会发生。

然而，如果确实遇到这种情况，且学生在某一步骤上花费 5 分钟仍未取得进展（尽管已回顾了关键前置知识并检查了课程前面部分可能遗漏的信息），那么最有效的做法是提交一个「最佳猜测」，然后在问题评分后仔细研究解答（无论猜测是否正确）。学生不应该在完全理解原题之前继续下一个问题，而是应该跟随解答在纸上自己完成解题过程，确保理解每一步的原理。

如果学生发现教学辅助内容中有可以改进解释的地方，我们鼓励他们提交反馈标记，说明他们认为应该作出哪些改进。我们一直根据学生反馈不断完善内容，尽管经过多年打磨，内容已经非常扎实，但我们始终在寻找进一步提升的方法。

上一章：

下一章：

Thoughts Memo 汉化组译制
感谢主要译者 gemini-2.5-pro-exp，校对 Jarrett Ye
原文：The Math Academy Way: Using the Power of Science to Supercharge Student Learning

← 返回目录