善用初中时光，成就非凡可能

只要教学方法得当，普通的优等生完全可以在初中阶段就掌握全部高中数学以及微积分。他们无需是天才，甚至不必在学业上花费更多时间，只需高效利用时间。然而，很少有人明白这一点，更不了解当学生提前掌握高等数学后，会开启怎样一番机遇。学习之路并未在微积分止步，那只是一个早期的里程碑，是通往核心大学数学的「基本门槛」，而正是这些更高阶的数学，才赋予了学生们完成杰出项目的能力。

在 K-12 教育体系的平庸之中，最糟糕的一环莫过于 6-8 年级的数学教学。

通常情况下，孩子们在小学（K-5）学习算术，然后在接下来的整整三年里原地踏步，学不到太多新知识，直到 9 年级才开始接触代数 I。

如果善加利用这三年时光，你完全可以让许多孩子在此期间学完整个高中数学课程，并在 8 年级结束时通过 AP 微积分 BC 考试，并且无需为此投入任何额外时间。

什么？这怎么可能？你估计这样的学生占比多少？仅限于前 10%？1%？还是 0.01%？

只要教学方法得当，排名前 10% 的学生就能在初中阶段掌握全部高中数学和微积分。他们就是普通的优等生，无需是天才，甚至不必在学业上花费更多时间，只需高效地利用时间。

我知道这听起来可能令人难以置信，但这正是我们在最初的学校项目中取得的成就。这是全美进度最快的数学项目，已有大量新闻报道予以关注，还有许多来自核心团队的第一手信息，包括一份 2014-2020 年大事记（从创始人 Sandy 和 Jason 的视角）、一份 2019-2023 年大事记^[1]（从我的视角，重点阐述了教学实践以及如何将算法融入系统，实现全自动化），以及我在 Anna Stokke 的播客《Chalk and Talk》第 42 期中分享的另一份 2014-2020 年回顾（下文摘录了相关片段）：

「我们来谈谈八年级学生参加 AP 微积分 BC 考试的故事。项目最初是由 Jason 和 Sandy Roberts 夫妇创办的一个非营利性学校计划。他们的一个孩子 Colby 当时在四年级的数学竞赛队，夫妇俩正是这个队的教练。他们的孩子和朋友们都对数学充满热情，完成了标准的四年级竞赛内容后，热情丝毫未减，不想就此止步。他们常问 Jason 和 Sandy 的一个问题是：『数学的最高境界是什么？』
Jason 和 Sandy 只好回答：『数学的殿堂非常高深，但对你们而言，可以暂时把它理解为微积分，因为那是高中优等生毕业班才会学习的课程。』孩子们听了自然会追问：『那我们什么时候能学？现在可以吗？明天就行不行？』他们简直迫不及待。
于是，Jason 和 Sandy 开始教这些孩子高等数学，一直持续到五年级。他们学完了大部分高中数学，已经达到了可以学习微积分的水平。后来，水到渠成，这个兴趣小组发展成一个正式的学校项目，不再是偶尔的拔尖班，而是每天都会上的 Math Academy 课程，并在随后几年里迎来了新的学生。
最终，我们的模式是这样的：六年级时，我们招收算术基础扎实的学生。他们可能知道变量是什么，但还不太会解方程。我们会在接下来的两年，也就是六、七年级，循序渐进地引导他们学完所有高中数学内容：初级代数、代数 I、几何、代数 II 和预备微积分。到了八年级，他们便为学习微积分做好了充分准备。
接着，他们会参加 AP 微积分 BC 考试。我们项目的大多数八年级考生都通过了考试，其中大部分还取得了 5 分的满分。
有几点需要说明：这些学生并非从全国天才选拔中脱颖而出的。
学生的选拔标准是，在通常于五年级下学期（二、三月）举行的全学区中学数学分班考试中，成绩达到或超过 90 百分位。这份试卷基于七年级的数学技能，门槛不低，但其目的并非为了鉴别数学天赋。
项目所在的帕萨迪纳联合学区，约有三分之二的学生有资格享受联邦免费或减价午餐计划，约 44% 的 K-12 学生就读于私立学校，远高于加州 11% 的平均水平。
所以，这并非一个天赋异禀的学生群体，也不是筛选出的全国顶尖学生。你完全可以把他们想象成任何一所普通学校里，优等班的那些孩子。他们的潜力远比现状所能达到的要高得多。
起初，Jason 和 Sandy 全靠手动教学，就已经取得了非常好的成绩。但当学生们开始使用 Math Academy 系统后，成绩更上一层楼。Jason 厌倦了学生们『我忘了做作业』或『我忘了带铅笔』之类的借口，于是他开发了一个系统，为学生布置线上题目，他们只需在家登录即可完成。
系统会自动批改作业，追踪每个学生的学习数据、班级的答题准确率以及各个知识点的掌握情况。久而久之，这个系统承担了越来越多的教学任务。
2019 年夏天，Jason 邀请我加入，目标是把这个系统打造成一个能为学生自动选择学习任务的全自动化平台。我们构建并不断完善这个自动化任务选择算法。到 2020 年疫情来袭时，如何在线上保持手动教学的效率成了一个巨大挑战。
我们的答案是：『我们那个尚不成熟的任务选择算法，不如趁这个夏天把它完善并全面部署，让整个学校项目都用上。』我们说到做到。正是因为将学生转移到这个系统上，我们的 AP 微积分 BC 成绩才实现了飙升。」

好的，就算很多孩子能在高中前学完微积分，意义何在？他们在高中还有什么可学的？

我在那期播客中曾简要提及：

「九到十二年级，他们会学习大量大学本科水平的数学。我们有博士级的数学教师来指导他们，课程包括线性代数、多变量微积分、概率统计、实分析、抽象代数等。
在学习这些内容的同时，他们也常常会进行一些独立的数学项目研究。至于学生的最终成就，现在评价还为时尚早，第一批学生目前也才读大三，尚未步入职场。
但我们已经听到了许多令人振奋的消息。一个孩子在本科阶段就在攻读加速硕士学位；有些孩子被麻省理工和加州理工录取；还有一个现在高四的学生，他在高二暑假就在加州理工实习，高三期间更是在那里参与了一个研究项目。几周前他告诉我，他作为一名高中生，在一家正规期刊上独立发表了一篇论文。看他的作者单位很有意思：帕萨迪纳高中与加州理工学院。」

在这里，我将展开详述。

很少有人明白，当学生提前掌握高等数学后，会开启怎样一番机遇。学习之路并未在微积分止步，那只是一个早期的里程碑，是通往核心大学数学的「基本门槛」，而正是这些更高阶的数学，才赋予了学生们完成杰出项目的能力。

例如，我们的一位前学生 Matteo，凭借他出类拔萃的数学和编程能力，在高中时期就开展了高水平研究，「发现了 150 万个前所未知的太空天体，并拓展了一项 NASA 任务的潜力」（这并非夸张，而是直接引自加州理工的官网）。他还以独立作者的身份在《天文学杂志》上发表了他的研究成果，并赢得了去年「再生元科学天才奖」的一等奖（奖金 25 万美元）。而这一切仅仅是个开始——我迫不及待地想看到他的兴趣、技能、创造力和勤奋将带领他在大学乃至更远的未来走向何方。

但有一点至关重要：这样的故事不会发生在按部就班、遵循标准课程的学生身上，即便是那些进度领先一两年的学生也不行。

如果你想从事顶尖的大学水平定量研究，你就必须具备顶尖的大学水平定量技能。这既是研究工作的需要，也是吸引高质量导师指导你、确保你方向正确的关键。要想提前取得非凡的成就，就必须提前具备非凡的能力。

Matteo 和 Math Academy 的其他学生：

• 在 6、7 年级学完了全部高中数学（初级代数 / 代数 I / 几何 / 代数 II / 预备微积分）；
• 在 8 年级学完了 AP 微积分 BC；
• 在 9 年级掌握了大量多变量微积分 / 线性代数 / 微分方程。

凭借如此坚实而全面的数学基础，他们升入 10 年级时，已经为进行高难度的定量编程做好了准备。

因此，除了继续在纯数学领域深造（实分析、抽象代数等），我们还为这些学生开设了一套定量计算机科学课程^[2]。我们循序渐进地引导他们，到 12 年级时，他们已经能够完成硕士甚至博士级别的课程作业（例如，在人工智能领域复现学术论文，并用 Python 从零开始构建所有模型）。我们将这个项目称为 Eurisko。

Matteo 在 10 年级时加入了 Eurisko 项目的最后一年，他非常努力，在短短一年内完成了原计划需要两到三年才能完成的绝大部分作业。（在我搬迁后，由于学区内无人具备教授该课程的专业知识，Eurisko 项目便结束了。）

那年夏天，他参加了加州理工的一个研究实习和导师计划。这个计划原本只是一个为期六周的短期研究体验，但他凭借出色的能力和强大的动力，取得了惊人的成就，并在项目结束后得以留下，最终产出了一系列重要的研究成果。

这正是我们设立 Eurisko 项目的初衷——让学生们掌握足以抓住数学或编程领域机遇的技能，并以此为起点，开启一连串的良机。能够亲眼见证这些连锁反应的发生，感觉真是太棒了。

而最令人兴奋的是，我们正逐步将这种模式规模化。我们将从手动培养数学和编程人才中获得的所有经验，融入我们的在线系统，使其能惠及全世界。

我们已经建立了一个从四年级贯穿至本科核心数学课程的培养体系，并正努力向两端延伸，最终目标是涵盖从最基础的算术到整个数学本科专业、Eurisko 项目乃至更广阔的领域。我期待听到更多这样激动人心的故事。

后续问答

问：他取得这些成就固然很好，但真的有必要这么早吗？让他享受几年童年时光，有什么不对吗？

答：对有些孩子来说，这就是他们享受童年的方式。有些孩子天生就热衷于在年少时追求严肃的兴趣。我本人也是如此。这种内驱力虽不常见，但绝非绝无仅有。

问：帕萨迪纳虽然有低收入家庭，但那里也有全美顶尖的加州理工学院。这些孩子的父母是加州理工的教授吗？

答：我亲自教了这些班级三年，没有一个学生的家长是加州理工的教授——他们通常会把孩子送去私立学校。我的大多数学生的家长从事的都是很普通且与定量分析无关的工作。

有时，家长的数学知识匮乏到会问我这样的问题：「我朋友的孩子在学校练习算术，但我孩子在您班上学的内容好像不一样。我问他的时候，他算术似乎没问题，但他练习得足够吗？」——这位家长不明白，他孩子的代数题本身就建立在算术之上，并提供了大量的隐式练习。我不得不向他解释数学知识是层层递进的。他原以为算术和代数是完全独立的，就像语文课上读不同的小说，或历史课上学不同的国家一样。

问：你这么说，就好像你根本不了解初中生一样。

答：我亲自教过这些学生中的许多人。作为一名全年无休、全职的公立学校教师，我教了整整三年。我曾亲临一线，在教学现场的核心地带，一边管理课堂，一边开发软件。

是的，你必须时刻督促他们，在保持专注高效和允许他们调皮捣蛋之间找到平衡；你必须坚守对作业质量的底线；你必须在学生努力与否时，及时与家长沟通。

但是，只要你把学生引导到一个高效的学习环境中，并在他们偏离轨道时及时拉他们一把，他们所能取得的成就，将远超你的想象。

问：理论上听起来不错，但实践中根本行不通，至少达不到你所说的程度。预备微积分？或许可以。微积分？绝无可能，别说前 10% 了，就连最顶尖的 5% 都做不到。他们的心智成熟度还不够。

答：我说的不是假设，而是已经发生的事实。排名前 10% 的学生，通过初中阶段持续的高质量教学（在 Math Academy 系统上进行精熟学习、间隔重复、高频次的广域覆盖测验等），从 6 年级学习初级代数开始，在 6、7 年级学完整个高中数学，然后在 8 年级参加 AP 微积分 BC 考试，结果是：绝大多数都通过了，并且通过者中大部分都取得了 5 分的满分。

问：如果家长不必为了孩子在公立学校的学习机会而抗争，那就好了。我儿子在高二时学了微积分，但这需要我们在学区层面进行大量的争取。

答：完全同意。我高中时也有过同样的经历。仅仅为了能进入比最高级别优等班还高一级的班级，就费了九牛二虎之力。

当时，在我不停地「骚扰」数学系主任后，他把高一年级的笔记和作业借给了我——很可能是想让我知难而退。但我当时以为他只是给了我一本练习册，于是无论在校内外都随身携带，每天花大概 10 小时去做。几天后他找到我，本想训斥我并告诉我「我需要把它拿回来，好为班上下周的作业复印！」，结果发现我已经做了一半。

我在册子上写满了演算过程和答案，他不得不全部擦掉。也正因如此，他才意识到我的学习动力有多强，并且相信我能应付得了那样的学习强度。

问：学校当然应该尽可能满足所有学生的需求，但那是不可能的。

答：那曾经是不可能的，在教学效果受限于教师个人精力瓶颈的时代。

但今天，我们拥有技术，能够将自适应、个性化教学中的大量重复工作自动化。

我在那期播客中详细阐述过，摘录如下：

「让我先从布鲁姆（Bloom）如何尝试解决这个问题说起。他不仅提出了问题，还设计了一整套研究方案来试图解决它。
我们的方法在某些方面与他相似，但在关键之处截然不同。
他曾希望，通过结合各种有据可循的学习策略，可以复制真人导师的教学效果。这听起来是个好主意，对吧？你采用一种有效的方法，应用到学生身上，然后再叠加另一种——无论是教学法、学习环境还是其他方面。你不断地将这些有科学依据的技术叠加起来，期望最终能达到『两个标准差效应』——或者至少无限接近。你试图最大限度地提升学习成果。
但布鲁姆的方法有一个问题：他将研究范围局限在了那些可以手动实施的策略上，而这些策略未必能发挥其全部潜力。例如，他研究的策略之一是『精熟学习』，即确保学生在学习更高级内容前，已经完全掌握了先修知识。
在布鲁姆的『两个标准差难题』解决方案中，『精熟学习』是为整个班级设计的，而非针对单个学生。对于整个班级，你只能做到近似。这并非不好——教师在班级层面应用『精熟学习』确实能提升学习效果——但远不如为每个知识图谱各不相同的学生量身定制来得有效。
这便是他方法中的致命缺陷。我并非说它完全无效，而是说它未能完全复制真人辅导的效果。他的探索最终未能成功，因为它受到了人类教学劳动力的限制。
在当时，这是一个合理的局限，因为计算机技术远未成熟，设备昂贵，学校能有一台电脑已属幸运。但今天，情况已截然不同。
近十年来，Math Academy 的挑战——实际上也是我们的使命和存在的全部意义——就是接过这支火炬，重新探索解决方案。我们利用技术，将个性化学习策略的实施推向极致，从而克服了人类教学劳动力的限制。
我们起初在一个公立学区，通过手动教学，尽可能地应用个性化学习技术，这与布鲁姆的方法相似。
关键的区别在于，我们逐步建立了一个在线系统，将部分工作自动化，并使其比手动操作更高效，从而解放了我们。我们会在一线尽力教学，深入理解问题，一旦想清楚如何构建解决方案，就将其交给计算机程序去执行——无论是在知识图谱上实现『精熟学习』、『间隔重复』还是其他技术。然后，我们再回到手动教学中，思考：『下一步该做什么？还有哪些环节需要自动化？』
通过这个过程，我们最终创造了一台效果惊人的教学机器。例如，我们的学生早在八年级就已通过 AP 微积分 BC 考试。」

Thoughts Memo 汉化组译制
感谢主要译者 gemini-2.5-pro，校对 Jarrett Ye
原文：What Happens when Middle School is Put to Good Use - Justin Skycak
作者 Justin Skycak (@justinskycak)
发表于 2025 年 10 月 15 日

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