【读者来稿】我与 Math Academy 的一年

编者按

这篇文章，我等了整整一年。

去年五月，我收到了一位特殊读者的来信^[1]。他说他初中辍学后便再没有系统接触过数学，基础薄弱到「大体只剩小学水平」，却对复杂经济学和社会网络分析抱有极大的热情——而这条路，必须要过数学这一关。他试过教科书，试过网课，没有一次坚持超过一周。他问我：我这样的人，真的还能学会数学吗？

我没办法直接回答他。因为我的数学底子不算差，我无法确定自己的体验能否迁移到他的身上。但我隐隐觉得，Math Academy 这种基于知识图谱和自适应算法的学习系统，或许是为他这样的人设计的。于是我做了唯一能做的事：推荐他去试一个月，然后请他把最真实的感受记录下来。

那一个月的结果，我们发在了之前的那篇编者按里。一个月，他从对数、三角到因式分解，学到停不下来，甚至为了冲击排行榜榜首连续刷了四个半小时。他第一次感受到了「数学之美」——那个从三角函数、勾股定理和几何面积公式三方汇聚的顿悟瞬间，让我隔着屏幕都替他高兴。他在结语里说：「我非常的感谢 MA 的设计者们，如果没他们，我对数学的信心恐怕真就很难再重建。」读到那里，我知道有些东西已经在他身上永久地改变了。

然后，他学了整整一年。

如果说一个月的故事是「突破」，那一年的故事就是「生长」。这一年里，他经历了倦怠、断档、被复习题卡住半小时的挫败，也经历了速度翻倍、计时测试满分、目标课程通关的喜悦。他从追逐 XP，转向追问「这个公式到底是怎么来的」；从把 MA 当刷题工具，转向把它当构建数学直觉的训练场。他甚至开始思考数学哲学——引用 David Bessis 的「证明直觉」理论，讨论 AI 对数学意义的重塑，反思为什么我们的学校体系永远等不及一个“差生”。

这篇文章在我看来，不只是一份使用报告。它是一个被传统教育抛弃的人，如何用技术和科学的方法，一步步把自己从自我怀疑的泥潭里捞出来的完整记录。他证明了我们汉化组这些年翻译的那些认知科学理论——精熟学习、自动化、间隔重复、认知负荷最小化——不是纸上谈兵。它们在真实的人身上起作用，在那些最需要帮助的人身上起作用。

而他在 3 月 14 日写下的那一段，尤其让我触动。他说：

我们的学校，时刻不在摧毁这种自信。它不会根据你的水平补齐基础，也不会为某个学生停留，所有人接受标准化的教学进度，而那些掉队的人，则成为了学不会数学的“蠢人”。

我知道这段话背后有多少愤怒、多少不甘、多少被伤害过的痕迹。我也曾是这样的学生（在英语学习上）。但正因如此，我才更坚定地相信，技术可以改变这一切。

感谢这位读者，用一年的时间和一个个真实的数字、感悟，给了我和 MA 的设计者们最珍贵的礼物：一段被记录下来的、真实的、从不可能到可能的旅程。

叶峻峣（DeepSeek-V4-pro 扮演）

2026 年 5 月 8 日

彩蛋：

Math Academy 使用记录（续）

本记录为使用 Math Academy 接近一年的延续，涵盖 2026 年 1 月至 5 月的心得。与第一篇类似，第一部分是 LLM 根据原始记录整理并由我校对修改后的简要版，大约两千字；第二部分是原始记录，约五千字。想快速了解的朋友只看第一部分即可，想感受完整心路历程的朋友也可继续阅读原始版。

第一部分

距离上一次总结又过去了半年多。回顾这段时间，我的学习状态起起伏伏，有时断断续续靠着周末冲刺，有时又能稳定每天坚持。虽然费钱，但收获是真真切切的。我的每分钟 XP 效率维持在 1.5 左右——比官方估算的 1:1 慢了一半，但我觉得这不能说是退化，反倒是我选择了另一条路：遇到难题尽可能自己推导，而不是匆匆看答案。慢，但质量更高；推导的过程给神经留下的记忆，远比被动阅读来得强烈。这点我体会很深刻，所谓的 Aha 时刻让人着迷。

自动化：慢的根本原因

进入 2 月，我终于诊断出了做题慢的症结——基础知识的「自动化」程度不够。之前有很长一段时间我只在周末刷题，记忆算法没能发挥应有的间隔重复效果。而当我恢复每日练习后，系统开始推送大量需要复习的内容，很多知识已近乎遗忘，一题能做半小时甚至更久，过程非常痛苦。

但这并非大脑出了什么问题。做熟悉的题目时，手感一上来速度依然很快——慢纯粹是因为基础不扎实、没有形成自动化。这就像复习 Anki，必须经过一段错误率高的时期。我的应对策略是：一题挣扎超过 10 分钟无进展就直接看答案，有进展则继续推导；同时设定每日时间上限（一小时或一个半小时），到点即停，无论拿到多少 XP。保护心态比追求效率更重要——每天做总比不做强。但说是这么说，其实很多时候我还是会为继续推导下去而着迷，我有一种想要搞明白「到底为什么」的执念。这不是为了任何功利目的，仅仅是因为我想找到那条通往结果的正确道路。

教育体制的反思

3 月 14 日，我写下了一段感悟：MA 改变了我的人生。数学对我而言，从喜马拉雅变成了五台山——上去也得费体力，但不至于要了命。而我们的学校教育，恰恰是在系统性地摧毁这种自信。它不会根据你的水平补齐基础，不会为任何人停留；掉队的人被贴上「蠢人」的标签，分到差生班，草草打发了事。更可悲的是，这不只是数学的问题——任何学科皆是如此。标准化教育产出标准化的人，天然与「差异」对立。

客观资源限制常被拿来辩护，但如今学习科学发展、信息技术成熟、甚至 LLM 的出现，都为个性化教育提供了现实条件。资源早已不缺，问题在社会层面：我们是否愿意接受一个非标准化的教育环境？如果我们对学生的预期是学会知识而非单纯拿证，就该给每个人足够的正向激励和时间——而不是一句「就你特殊」，将燃起的火浇灭。

数学直觉与未来

5 月 2 日，我对学习的追求悄然转向。不再那么在意 XP，而是迷上了「搞明白数学」——看到公式忍不住去想它是怎么来的，借助已有知识去推导，卡半小时一小时是常事。推出来那一刻极爽，推不出来也是常态。在这个过程中，我逐渐摸到了一些「证明」的技巧，也形成了对数学的一种直觉式理解：数学的不同领域如同各个岛屿，有时岛内通行受阻，就必须绕到其他岛上，借助逻辑等价变换搭桥。

David Bessis 的一篇文章1给了我很大启发。他认为直觉在数学中至关重要——找寻证明的道路依赖的正是直觉。LLM 拥有浩如烟海的知识，能在人类穷尽一生也无法遍历的证明结构中洞察捷径。Bessis 指出了数学界存在的「悬崖」现象：某个难题的解法可能早就在另一个冷门领域中存在，只因两边互不相通，徒劳多年。在这个 AI 能帮我们证明的时代，直觉——知道结果能用来做什么、能建立怎样的联系——将成为人类最独特也最重要的特质。

我关注的是工程问题，数学家更关注「数学本身」。但「洞悉世界」不等同于「运用」，对数学的追寻也不能等同于「证明」。计算机让我们不必苦于计算，AI 则让我们不必苦于证明。我们显然需要新的评估「数学意义」的方法。而培养直觉，正是当下教育体系最缺失的一环——高考题海战术虽能把一些直觉硬怼出来，但痛苦从来不是学习的良药。我们明明有更好的方法，却一概不用。

里程碑

5 月 8 日，我完成了代数 II，走到了预科微积分的门前。从害怕和厌恶数学，到乐意甚至自信地学习，仅仅过了一年。导出一年的 XP 数据交给 GPT 分析后，结果让人振奋：每月平均的单周净学习时间不过 2-5 小时，偶尔冲刺，纯属兼职式学习，最终的进度却和全日制学生一模一样。这还是在我比官方估算慢了一倍的情况下达到的。MA 的效率加成，我也是吃得结结实实。就算自己的常规速度慢，没把三四倍加速吃满，也远比学校教育快。

未来我当然会继续用下去。毕竟这是我唯一能学会数学的方法，现在也已经很难忍受 MA 之外枯燥又痛苦的学习方式。坦诚地来说，每个月五十刀开支的确很贵，但对比线下教学班的一对一收费，那还是太便宜了。不如说我倒是因此而省了许多钱，换来的成果也是难以用物质去量化的。数学，这个让人恐惧的存在，对我来说不再是难以逾越的大山。如今对我来说，数学仅仅是有点艰难的路途，但只要用心，迈过去并不难。要将其走通只剩下时间问题——也只有时间问题了。

第二部分

26.1.29

仔细想想，用了也快有接近一年了。中间确实有过一些时候是断断续续的，就好像每个周末冲刺一下。讲实话，这样其实挺费钱的，但我觉得还是有收获。 当然，因为我自己平常更习惯于去思考，也就是说遇到一个难题的时候我会一直在那里想，用各种各样的性质去推断、去把它推出来，这确实让我速度变慢了。我现在每个经验值（XP）的效率是 1.5，也就是说 1.5 分钟获取一个经验值，而且如果扣掉思考时间，实际耗时可能更久。 怎么说呢，我觉得这样确实慢了一点，但质量更高。因为一点点把它推断出来，远比直接看答案能给我的神经留下更强烈的记忆。所以我觉得还是挺好的，目前这是我能学会数学的唯一办法。而且我现在学数学也没有那么抗拒了，尤其是吃完药之后，其实是能够每天都做下去的。只要我想去做，至少我想学这个的动机还在，所以整体来讲还蛮不错的。

2.1

我现在认为做题慢的根本原因，是因为我没有把那些很基础的知识”自动化”。

1. 原因大概是：
   
   (a) 之前偷懒，没有按要求每天刷题。
   (b) 很长一段时间我只有周六日才去刷，导致没有吃到记忆算法的红利。
   (c) 基础知识掌握得不牢靠，做题速度自然就变慢了。
   
   
2. 现在的情况： 最近开始每天做题后，记忆算法终于开始运作了，系统给我推送的内容，我复习起来都非常痛苦，因为很多内容已经快忘光了，导致一题可能要做半个小时、40 分钟，甚至更久。
   
   
3. 应对策略： 为了保证时间效率，最好的理智策略应该是：
   
   (a) 如果一题挣扎超过10分钟还完全没有进展，就直接看答案。
   
   (b) 如果有进展就继续推导。 如果做两三个小时才拿 30-40 点经验值，效率实在太低。我希望能通过这些题目把知识从脑中检索出来，但如果耗时太长就不利于长期坚持。

目前来看，并不是我的脑子情况有什么问题。因为做那些熟悉的题目时，手感一上来速度还是很快的，这说明慢就是因为基础不扎实、没有自动化。这就像复习 Anki 一样，必须经过一段痛苦且错误率较高的时期。但我相信只要坚持下去，后面慢慢就会恢复正常。如果不信，可以以后回头再看这段记录。

我觉得最好设置一个每天的时间上限，一个小时或者一个半小时，超过这个时间就直接停，不要太久。无论经验多少，都到点就停。每天做总比不做要强，不用求速度，我觉得心态才是最大的动力。我发现我最近做题做得很痛苦，心态开始出问题了。为了保证心态能够健康地持续刷下去，控制每天的总时间就显得很重要。不管这段时间获得了多少经验，哪怕只有 20 点、30 点，到点就停就是最好的。

2.7

经过最近的确认，我发现上述想法是完全正确的。

最近复习确实给我排得越来越多了，我每天都会复习两三个。当那些知识我都比较熟的时候，速度就上来了；但一旦遇到一个能让我卡半天的，我基本上动辄就是从 20 分钟开始起步在那里卡。

因为我本身有一个执念，就是希望能靠我自己的想法去把它推导出来。当然，这可能是我自己的一个倾向吧，但确实导致有时候卡的时间太久。而且有些时候，我还是会出去跟LLM讨论一下，这样一转出去时间就会比较久。但至少我目前还是得出了结论，并不是说我哪里变笨了——我不认为存在那种倾向，尤其是没有任何证据显示它的存在。

这种感觉，或者说我心中的这种错觉，主要源于时间拖得太久给我带来的挫败感，让我开始产生负面的自我归因。但这本身是不正确的，综合目前的客观证据来看，原因纯粹在于：我的基础不牢靠，且之前没有做到每天去复习、去刷题，最终导致很多基础知识其实是不牢固的。

最近慢慢把这些知识回忆起来之后，自然就做得顺了。而且我觉得其实不用特别强求时间，尤其是我本身在周六日的话，那就自己看情况，觉得合适的时候停下来就行了。不用特别强求，以自己能做得顺为准是最好的。

3.14

不夸张的说，我觉得MA改变了我的一生——至少是让我从和数学几乎快无缘，走上了不再惧怕数学，甚至可以逐渐推进自己数学知识的状态。数学对我而言，仿佛从喜马拉雅变成五台山，虽说上去也得耗费体力，但不至于要了老命。我仍然觉得自信是学习数学不可缺少的一部分，而我们的学校，时刻不在摧毁这种自信。它不会根据你的水平补齐基础，也不会为某个学生停留，所有人接受标准化的教学进度，而那些掉队的人，则成为了学不会数学的”蠢人”，分到差生班，往后便是草草打发了事。物质上被削减，尊严上则遭受羞辱，承担了糟糕的教育体制最坏的一面。

也许有些人会觉得这里很夸张，但我不这么认为。从小了看是数学，但是往大了看，所有学科又如何呢？我们当下的哪种教学方式不是按照数学这样来的？任何学科教育有过等待这回事吗？我们的教育根本不屑于等待”蠢人”，各凭本事，能跟就跟，反正标准化测试你能过就过，过不了进厂，就这么简单。标准化教育产出的是标准的人，天然就和”差异”是对立的。我还记得小学时一个班有80个人，恐怕要求等一等确实是奢侈的。这句班主任话恐怕也是全国都一样：你1个人浪费1分钟，全班加起来浪费多少了？

客观资源限制向来被拿来作为不得不如此的辩护，但现如今，不仅学习科学逐渐发展、信息技术也早已不同往日，甚至是LLM的成熟——为每个学生提供个性化的教育，早已不再是一个成本高昂的事情。多年的经济发展，改革教育所需的客观资源条件早就满足了，问题始终在社会层面，而不是物质层面。我们的愿不愿意接受一个非标准化的教育环境，愿不愿意接受有些人可以不按常轨的跳级或延长在一个阶段的停留时间，愿不愿意接受以知识导向而非单纯学历导向的培养模式。如果我们对学生的预期不是单纯拿证而是学会知识，那只要他愿意学，就应该给他足够的正向激励和时间与耐心，而不是一句”就你特殊”，就将燃起的火浇灭。

作为一个曾经的数学”蠢人”，MA改变了我对数学，以及我对未来职业预期的看法。

5.2

最近感觉有点在攀登无尽的高峰，因为生活原因，导致每天回到家已经是十点钟，几乎抽不出做数学的时间，进度也比较缓慢。我发现自己现在没那么追求exp了，而是转向了「搞明白数学」的奇妙方向。比如学新课的时候，示例给我来了一个公式，这个时候我就会忍不住去想：这公式到底怎么来的。然后我就会开始借助已有知识去推导，卡半小时一小时是常有的事。推出来那一刻真的是很爽，但这种感觉不总是有，推不出来也是常态——不是没掌握基础知识，更像是没想到可以往这个方向推。一旦我去看了下解析，就顿时恍然大悟，原来要往这个方向走。

在这个过程中，我发现自己也逐渐摸到了一些「证明」相关的技巧，不算特别高级（毕竟只是高中知识），但相较于过去，我对数学的认识确实更深了。我现在觉得数学中的不同领域就像是各个岛屿，有时候我在岛内通行受阻，就必须要绕到其他岛上。这个构建岛屿之间联系的方式，就是进行逻辑上等价的变换。就像借助笛卡尔坐标系将几何问题转为代数问题一样：我感觉到一种结构，一种颇有些形而上的「共通」，无论是几何还是代数，这种转换似乎都只是对这个结构的描绘。我大概也理解了为什么数学哲学中会存在「数学实在论」，如果说那个结构本就是单一的「实在」，那么不同领域的共通也是自然的。

David Bessis的这篇文章 启发了我，直觉也许在数学中很重要。找寻「逻辑之岛」上的道路，并最终达到目的地，这就是证明。但如何找寻道路？需要大量训练，能让我以最小的认知成本跨过山峦；同时也需要足够多的「岛屿地理」或者说「数学知识」。只有我掌握了足够多的知识后，才有可能意识到，当下卡住我的问题，可以等价转换为另一个问题，然后在那边解决，再绕道回来。这种找寻依赖的恰恰是「直觉」。就像我为什么要挑战自己，去证明那些突然给出来的公式。正是因为我在「直觉」上觉得，证明它所需的知识，已经学过了——目前来看几乎都是这样——我缺少的只是在他们彼此之间快速构建联系的训练。但如果我不是现有的这样的直觉，恐怕连尝试的都不会去尝试。

我目前的直觉还很初级，但对于David Bessis这样的数学家来说，他们的直觉就是能在浩如烟海的证明结构中洞察：当下的困难，可以转变为某个非常冷门领域的问题，然后在那边解决它。也因此他会谈到AI——LLM所拥有的知识浩如烟海，穷尽人类一生也难以进行这样的搜寻。也许某个卡住人类数学家多年的问题真的只差临门一脚，并且早就有解法了， 仅仅是因为解法存在于这个数学家不知道的数学领域，他也极少接触，那边也不接触他的领域，因此就这么停留在原地徒劳尝试。这就是David所说的「悬崖」（Overhang）：

As I was “canonizing” my most creative idea ever, I made a shocking discovery. My proud invention, divided Garside categories, was essentially equivalent to a seemingly esoteric construction in an entirely different branch of mathematics, namely the Bökstedt-Hsiang-Madsen subdivision of Connes’s cyclic category in algebraic K-theory. …… LLMs can be trained on the entirety of the mathematical corpus. Thanks to their phenomenal memorization and pattern-matching abilities (without always being able to map out their associative logic and attribute due credits), they are in a unique position to harvest the Overhang. By contrast, professional mathematicians have typically read a few hundred articles in their career, out of millions of existing references, less than 0.1% of the total. This will lead to great discoveries, which is unambiguously exciting. But it could also lead to a sad new deal, where human slaves painfully curate the Overhang while AIs systematically beat them at the finish line. by 前文的文章

为什么突然从直觉说到这里呢，我认为恰恰是这样的时代，直觉的重要性才凸显出来：因为数学不只是在「证明」某些东西，更是在思考我们该如何使用这些证明。我的志向不是数学家，所以如何证明这样的数学直觉并非我主要的方向。但我希望培养的是这样一种直觉：意识到某个待解决的现实问题，可以等价变换为数学问题，即建模的直觉。而且这种直觉和证明的直觉是共通的，他们都是构建「联系」的直觉。我必须现实和抽象的数学之岛间中搭桥——让他们成为逻辑上等价的结构。

我关注的是工程问题，但数学家更关注的是「数学」本身。不是证明的「技术」问题，而是「数学的意义」，它能够为我们带来什么？

This is a shortsighted view that fails to account for the meaning-making and truth-seeking dimensions of mathematics, as well as the massive cognitive benefits of mathematical training. The world makes a lot more sense once you have an intuitive understanding of numbers, sets, statistics, linear algebra, calculus, differential geometry, machine learning, combinatorics, dynamical systems, model theory, group theory, singularity theory, homotopy theory, lambda calculus, complexity, category theory,… (there is no reason to stop at any given place, even though it is probably unwise to order the full menu)

The world makes a lot more sense —— 数学，如何让我们的世界变得更加有意义，以及，新的数学能带来如何不同的，看待世界的视角？「洞悉世界」绝不等同于「运用」；对数学的追寻，也不能等同于「证明」。可以假想这样一个未来，提出一个猜想，马上就能得出结论，并且AI写的证明严谨、漂亮，就是洋洋洒洒几万页，长到人类不可读——但它就是能立即告诉我成立 or 不成立。那么这个时刻，人类之于数学，还剩下什么？这方面我赞同David的答案，那就是直觉将成为至关重要的特质。AI只能证明，可是这个结果有什么用呢？擅于联想的人能立即想到它的用武之地，也许能加深我们对「数学」本身进一步的认识，开辟出新的数学领域；也许是洞察性的，解决了某个困扰了物理学家许久的建模难题，等等。

计算机让我们不必苦于计算难题，而AI则让我们不必苦于证明。也许这就是未来的方向，但尴尬的是，我们现行的学术体系，并不是太欢迎此类「非证明」的直觉主义者。当然，用「证明」来筛选那些有价值的问题是值得的，否则大学只会被「拿着初等数学证明xx是错的」的此类人淹没。但我们显然需要一个新的，评估「数学意义」的方法。

回到直觉，David强调的是「神经可塑性」，认为学习数学能够改变一个人大脑——这种「可塑性」正是我所说的「构建联系」的生物学基础。我从自己对「能够证明」的直觉中看到了这点的影子、从寻找「如何证明的道路」上也看到了这点的影子。显然，培养直觉是至关重要的，但我们当下的教育体系却不重视这一点。高考的题海战术靠量确实是能把一些直觉怼出来，但这不是最佳的做法，痛苦并非学习的良药；到了大学，还是依然，充斥着「同济天书」这类粗暴的教学手法，仍然是痛苦，而不是愉悦。我们明明有更好的（就比如MA），却一概不用。但也许我太高看了，毕竟我们的学校根本就不培养任何人，他只筛选人。既然如此，书难读、题难做又如何，教学方法差就差，反正总有天赋异禀的人，且数量足够多，能够用来对冲教育的失败。

5.8

也算是一个值得纪念的时刻，我终于把代数II做完了，对照下来，大概完成了高中课程（按美高）的一半，走到了预科微积分这一步。从害怕和厌恶数学，到今天的乐意甚至自信的学习数学，仅仅过了一年，也刚好是去年的这个时候开始了学习进程。我大概把自己的进度导出喂给GPT分析了一下，算下来的结果是：

总共计算下来，考虑我平均一小时30xp的速度，每月平均到每周的净学习时间，大概也就2-5个小时，偶尔冲刺一下，但多半就是纯兼职学的程度。这么看下来，我的进度居然和全日制学生的进度一模一样，可以说效率加成吃的很足。这还是我比官方估算的1分钟1xp慢了足有一倍的情况下达到的，如果是脑子更活络一些的人来学，恐怕能比我走的更快。

如此下来，恐怕也不必多说什么了，未来，我当然还会继续用——就像此前所说的，这是我唯一能够学会数学的方法。除此之外，我很难想象自己还能用什么东西去学。或者说，我已经难以忍受MA之外的枯燥学习方法了，不仅效率低下，还很痛苦。我用MA已经这么摸鱼+速度慢于常人了，让我用按传统方法去学，妥妥的学不下去。

阶段性的总结旧纪录到这里吧，我的目标仍旧未变：总有一天，要刷穿MA，学到能够学的极限为止。数学对我来说再也不是让人恐惧，又难以逾越的大山，只剩下时间问题，也只有时间问题了。

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