记忆就是对知识的掌握
抱歉，七月，我觉得我们俩实在是八字不合。不是我的问题；是你的问题。你实在是太热了，让我难以招架……或者说太潮湿了。
总之，现在是八月了，我又重振旗鼓了。奉上一篇书评。
The Math Academy Way
我通读了由 Justin Skycak (他的推特) 撰写的 The Math Academy Way[1]的公开草稿版，他是在线数学学习项目 Math Academy 的创始人。我已经不是学生了，目前也还没为人父母，但我平时会接触许多从事替代性教育的人，于是这篇文章就出现在了我的信息流里。
Math Academy 的本职工作是教数学，但《The Math Academy Way》却阐释了可以迁移到其他领域的学习原理与方法，这就是为什么我要读它，也是为什么你可能会喜欢它的原因。在列举数学以外的例子时，这本书（或者说论文？）频繁地使用了体育天赋培养的类比，这里还有一条推特帖子，展示了如何将该方法中的知识图谱部分应用于学习绘画。
书里有大量能帮你「学会如何学习」的信息，但在我看来，《The Math Academy Way》中最核心的部分是它对「自动化（automaticity）」的探讨。如果你认同 Skycak 关于自动化的观点，那么你自然就会对「记忆」产生一种积极的看法。本文的第一部分将解释什么是自动化，以及为什么它在总体上是件好事，而不仅仅局限于数学。接着，我会写第二个关键话题：知识图谱，以及你该如何将它应用到你自己的学习项目中去。最后，我会附上书中一些可以应用于你任何研究领域的杂项小贴士。
书中有部分内容涵盖了学校教育特有的话题，比如分数膨胀。因为这些与我无关，所以我就在本文中略过不提了，但如果你是一位与世隔绝、消息闭塞的教育工作者，你可能也会想读读那些部分。
自动化与记忆
Skycak 将自动化定义为「无需投入有意识的努力即可执行低级技能的能力。自动化是必不可少的，因为它能释放有限的工作记忆。」我们都记得小时候问老师为什么要背乘法口诀表。如果你每次算 6 * 7 都要从头推导一遍，这会耗费你大量的工作记忆，而这些记忆本该留给更复杂的运算。只要你把它倒背如流了，你所有的脑力就能用来学习新知识。实际上，这也是为什么记忆是一件好事的原因之一。
关于阅读的题外话
近年来，自然拼读法（Phonics）受到了极大的关注。你可能听说过关于学校教育方式的争议报道：许多学校使用「整体认读（whole word）」/「全语言教学法（whole language）」来教孩子阅读，而不是使用基于自然拼读法的课程。自然拼读法（教孩子字母的发音，并指导他们拼读出单词）似乎比「整体认读」课程（跳过拼读，直接指导孩子利用上下文线索一眼认出单词，从而达到见词即读的目的）或「全语言教学法」（在没有直接指导的情况下让孩子接触大量合适的书籍，让他们像学说话一样通过沉浸式接触来学会阅读）更为有效。
在一套《迪克和简》系列童书里，其理念并不是让孩子把单词拼读出来。其理念是让他们一遍又一遍地看到相同的单词并把它们记下来——把单词就像图片一样存储在脑海中。
如今，自然拼读法在某些圈子里既流行又时髦（恕我直言，这本就是理所应当的）。然而，那些拥护整体认读或全语言教学法的人确实也发现了一个真相：熟练的成年读者在阅读时，并不会把每一个词都拼读出来；他们是见词即读的。他们能自动识别出单词。
当你要大声读出一个通过阅读学来的词时，这就容易闹出笑话。我小时候读《哈利·波特》系列小说时，我并没有把「poltergeist（捣蛋鬼）」拼读出来，但我确实把它记到了我的词汇库里。我认得这个词，也明白「皮皮鬼（Peeves the Poltergeist）」是个喜欢恶作剧的幽灵，但当我想在句子里说出这个词时，我搞不清楚它到底是由哪些字母组成的，也不知道字母的顺序，因此我无法把它大声读出来。那些拥护整体认读/全语言教学法的人有一点说对了：认识一个词和拼写一个词确实是两项截然不同的技能。
但它们是相互关联的技能。当你掌握了自然拼读并使其达到自动化后，见词即读的能力就会在这一基础之上建立起来。熟练的读者能够一眼认出单词，所以他们的工作记忆可以全部倾注于理解文本。你可以想象一下，如果你还得耗费大量的脑力去辨认单词，那么理解一篇复杂文本的意思会有多困难。让我们来模拟一下在阅读中缺乏这种自动化会是什么感觉：请阅读下面这句话（从右往左印的）并回答一个关于它的问题（从左往右的翻译见脚注）：
.esav eht nekorb t'ndah maiL taht yas t'ndid airaM[1]
问题：我们能确定利亚姆（Liam）有没有打破花瓶吗？
这并不是一个很复杂的句子，只是包含了一个嵌套从句而已，但要弄懂它的意思是不是很费劲？
你能读出这句话，但它并不像正常阅读那样是自动化的。如果作为先决条件的阅读技能未能实现自动化，导致你大部分的脑力都花在了对单词的解码上，那你用于理解句子含义的脑力就会大打折扣。你还必须把你解码出的每一个部分死死保存在记忆里，因为你无法在屏幕上看到它时立刻心领神会。带着如此薄弱的基础，要想发挥创造力去写点什么，简直比登天还难。
说回数学
见词即读就是自动化在阅读上的应用，这就好比只要你背熟了乘法口诀表，面对简单的乘法题时你根本不需要进行任何心算就能直接得出答案一样。这就是你为什么要背乘法口诀表的原因。是的，你确实可以逐个字母地去解码一句从右往左写的句子。是的，你确实可以通过先算 7 * 5=35，再加个 6，进个 1……来重新推导 7 * 6 的结果，但如果没有自动化，你永远也读不懂查尔斯·狄更斯，永远也学不会微积分。
当我在学三角函数时，老师让我们背各种三角恒等式。但我从来不背。
我当时觉得：「我对三角函数有着极深的理解，所以如果遇到像 sin(-θ) 这样的情况，我可以在脑海里想象出那个三角形，然后自己领悟出它等于 -sinθ。考试的时候我会当场从头把这些恒等式重新推导出来。」但现实根本就不是这么回事。这就好比在阅读时现去逐个字母地解码一个句子。这需要消耗大量的记忆和脑力，如果你不把恒等式烂熟于心，你根本就无法在题目中敏锐地捕捉到这些模式。每次碰到要靠二倍角公式这种「技巧」才能解出来的题时，我总觉得这太不公平了。在考试中，我那种纯粹的、不沾染记忆的清高知识，似乎根本就不够用[2]。
记忆就是对知识的掌握。
「你不需要去背，因为你随时可以通过谷歌检索到整个人类知识库。」但是，你盖不起一栋只有潜在砖块的房子。如今超市里你能买到的食材比历史上任何人都多，但你只能用你家里现成的食材做饭。如果你没有储备必需的知识，你就无法发挥创造力、进行综合分析或触类旁通。回想一下当你在书里一眼认出一个梗（引用）时那种甜蜜的满足感吧；如果你对被引用的文本并不熟悉且不烂熟于心，你是无法产生那种思维连接的。
我真希望当年的老师能像 Skycak 这样把「自动化」的道理给我讲透，去赞美「记忆」，而不是对其嗤之以鼻。
知识图谱
《The Math Academy Way》引入了另一个非常实用的概念：知识图谱。这是一个非常直观的道理：一个人必须掌握了底层的必需技能，才能执行更复杂的技能；如果对必需技能缺乏自动化和自信，复杂的操作就会让人感到极其挫败；而如果缺失了这些必需技能，复杂的操作就根本无从谈起。Math Academy 绘制了一张图谱，清晰地展现了哪些数学技能是其他技能的根基。例如，为了学习计算异分母分数的减法，你必须首先能够熟练计算同分母分数的加法。
知识图谱的示例
当然，如果你能证明自己完全可以计算异分母分数的减法，我们就能默认你也一定能计算同分母分数的加法。这种逻辑可以从小到上面图表里展示的那种知识步子，一直向上放大到宏观层面，比如可以说：学习微积分必须要求具备扎实的代数能力。
Math Academy 某门课程的知识图谱
《The Math Academy Way》的教学理念是：当学生首次接触一项技能时，为他们提供拆解得极细的脚手架；而在他们练习时，再逐渐将其拆除，促使学生更多地依靠自己独立完成，并迫使他们调动记忆。如果一个学生无法得出正确答案，[要么是他做题太粗心，要么]就是他没有掌握必需的前置技能。 Math Academy 的软件清楚地知道构成每一类题型的所有基础技能，从而能精准定位问题所在，并针对那部分薄弱环节进行复习巩固。
正是在下面这个关于有抱负的肖像画家的例子中，我们看到了这种方法的广泛适用价值：
由 chatGPT 生成的油画肖像知识图谱摘录...
「所以我终于顿悟了：要想画好油画肖像，一个人必须首先懂肖像画，还要懂油画颜料；哇，真是个天才！感谢你写了这篇书评！」但请反过来思考一下：如果你的画看起来很糟糕，可能是因为色彩很糟糕，或者是因为人物形体很糟糕。如果你的色彩很糟糕，可能是因为你不懂色相，或者你不懂明度。拥有详细的知识图谱，能为你提供一个不断进步时供你攀爬的技能脚手架，还能在遇到瓶颈需要排查问题时，为你提供一张向后追溯的地图。
作为一项练习，你可以花点时间为你自己想学的东西梳理出一张知识图谱。这就好比电子游戏里的技能树，只不过它是用在现实生活中的！
- 如果我想成为一名能不断进球的职业足球运动员，我必须具备良好的跑位、射门、触球和速度。而射门和速度都需要良好的盘带能力。盘带和触球又需要良好的控球能力。依此类推。
- 如果我在吃力地理解一篇希腊语文本，原因可能是那些概念太深奥我看不懂，但也可能是我在阅读上缺乏自动化能力，因为我根本不懂语法；又或者我连见词即读都做不到，因为我连字母长什么样都不认识。
- 如果我想在马戏团里表演马背杂技，我得先学会在马背上倒立。为了在马背上倒立，我必须先能在平地上倒立，所以我得先试着练练前臂倒立……而且我还得学会骑马，而骑马本身又有一套完全独立的技能树。
意大利马术运动员 Anna Cavallaro，图片来自 维基共享资源 (wikimedia commons)
人们通过在 YouTube 上刷视频来假装学习，已经浪费了数以百万计的人工时。如果你能自己勾勒出一张知识图谱，你就能为自己绘制出一张通往真正能力的路线图。基于脚手架的学习方法，会根据你目前的能力水平，将你宝贵的练习时间聚焦在难度适宜的具体技能上，并能有效帮你评估自己的进步。
你可以借鉴的方法
书中还散落着许多其他的智慧结晶：
- 间隔重复——或者更准确地说，间隔回忆——是复习某项知识最有效的方法。如果你只在一大段漫长的时间里集中学习一次，你的知识遗忘得会非常快。单纯地重读笔记并不会强迫你调动回忆，因此效率极低。（实际上， Math Academy 似乎压根就不赞成学生做笔记。）相比之下，测试能在没有任何辅助护栏的情况下，强迫你运用知识从而进行回忆；所以，请频繁地进行自我测试，除非你彻底卡壳了，否则千万别依赖笔记之类的记忆辅助工具。
- 「考试焦虑」或者任何以「考试发挥严重不如平时练习」为借口的说辞，基本上都是为了掩饰你压根没真正掌握测试内容的苍白借口。就算这种焦虑真有那么一丁点影响，你也应该在平时的练习中频繁地模拟考试的真实环境和形式。
- 一对一的指导绝对是最高效的。在普通的教室里，老师根本搞不清谁懂了什么、谁没懂什么；于是，那些前置基础不牢的学生被无情抛弃，而那些已经可以进阶的学生却被生生拖了后腿。老师也无法根据间隔重复的最佳周期，为每个特定的学生量身定制特定概念的练习题。 Math Academy 通过软件解决了这个问题；而你则可以通过 Anki、知识图谱和自我测试来做到这一点。
- 对于初学者来说，带有微小递进步骤的直接指导，远比项目式学习或启发式探索学习要有效得多；但当你成为专家时，情况就完全反过来了：一旦你具备了足以发挥创造力的底子，就应当果断拆掉脚手架。
- 学习是需要付出艰苦努力的；如果你的练习过于轻松，那它大概率没什么效果。那些让学生觉得吃力的教学方法往往是最有效的，而那些让学生乐在其中的方法往往效率最低。
- 「学习风格（Learning styles）」纯属伪科学，希望你早就知道这一点。有些人确实比别人聪明，但现阶段的[数学]教学水平实在是太差了，学生们根本连摸到自己天赋天花板的边缘都摸不到。认真点对待你自己天赋的培养吧，别那么敷衍了。
结论
Math Academy 作为一款数学学习软件，似乎非常棒。我高中时尝试过一些在线数学学习平台，体验简直糟糕透顶。那些本来就无聊、进度拖沓且缺乏一对一互动的公立学校数学课，搬到线上后变得更加折磨人。每月 49 美元/学生（截至 2025 年夏季的价格）的订阅费，对于一套能带你从分数加减法一路杀到线性代数的系统来说，简直是超值之选。真希望 20 年前就有这种神仙产品问世。如果说《The Math Academy Way》是为了吸引家长和成年学习者去购买 Math Academy 而写的一篇软文，那我必须承认我买账了。等我过几年有了孩子，我一定会回来重新审视它的。祝愿他们的公司大获成功。
而在本书向读者普及教育学一般原理（这方面与我更息息相关）的层面上，我认为它写得非常出色。正如我希望我已经说清楚的那样：那些对学好数学管用的方法，对学习任何东西都管用。这本书篇幅不长，内容密度适中，图表详实，并附有大量文献引用（如果你在乎学术严谨度的话）。书里的建议实操性极强。我读这本书花的时间，可以说是物超所值。
脚注
[1] 「玛丽亚并没有说利亚姆没有打破花瓶。」
[2] 我不想给读者留下错误的印象；尽管我对三角恒等式的记忆烂得一塌糊涂，但我高中所有的数学课都拿了 A，我参加的两门 AP 数学考试也都拿了 5 分满分。但我确实极其厌恶数学课，而且在我的职业生涯中，我也从来没用过任何超出代数范畴的数学知识。
Thoughts Memo 汉化组译制
感谢主要译者gemini-3.1-pro，校对 Jarrett Ye
原文：Book Review: The Math Academy Way - by ijfen
2025 年 8 月 14 日