第八章 有效练习的迷思与现实

⠀⠀⠀摘要：最有效的学习技巧需要学生花费极大的认知精力，而这些技巧和专业场景下专家的行为并不一样。对于学生的学习效果来说，直接指导不可或缺，无指导教学和小组项目通常都是低效的。测试、重复、计算等需要花费精力的过程对于有效学习学习非常必要，学生之间的竞争通常是有用的。

有效练习无需效仿职业活动

迷思：有效的练习方法需要模仿专家在职业工作场景中的行为

现实：认知心理学中有一个广为人知的现象，对专家学习效果最好的教学方法，对新手而言学习效果最差，反之亦然。这被称为专业知识逆转效应（由 Sweller et al. 2003 提出）：

⠀⠀⠀「新手并不是缩小版的专家，所以对专家而言效果很好的做法（例如探索式学习、问题导向式学习［即通过小组合作解决开放式问题］、提问式学习）对新手来说效果并不好，甚至会起反作用（反之亦然）。」

此外，在职业化工作场景中，员工参与活动是为了最大化群体的产出，这与最大化个人学习效果不仅存在本质区别，甚至在目标取向上背道而驰。

| 直接指导是必要的

> 定义与重要性

诚然，许多高技能专业人士将大量时间用于解决开放性问题，并在这一过程中发现新知识——这与通过直接指导获取知识的方式截然不同。但新手不应效仿这种做法。专业知识逆转效应表明：新手（即学生）通过直接指导才能实现最高效的学习。

直接指导的优越性显而易见。以培养国际象棋大师或钢琴家为例：教练绝不会对学员说「自己去尝试摸索，慢慢就会领悟」，而是会明确示范具体技法，在练习过程中持续提供矫正反馈。Kirschner 和 Hendrick 明确指出（2024，68 页）：

⠀⠀⠀「专家在掌握某项技法或原理后，可自主提出问题并解决；而新手则需要通过结构化路径——例如提供解题范例——运用相同原理解决问题。」

该结论得到数十年研究的强力佐证。著名心理学家 Richard Clark, Paul Kirschner 和 John Sweller 总结道（2012）：

⠀⠀⠀「数十年的研究明确显示：对新手（涵盖几乎所有学生群体）而言，完整明确的直接指导远优于碎片化的部分引导。因此在传授新知识与技能时，教师应提供包含系统练习与即时反馈的明确指导，而非要求学生自行探索学习内容。

⠀⠀⠀……

⠀⠀⠀自 60 年代以来，我们已积累大量关于有效教学的实验证据：对照实验几乎一致表明，当接触新信息时，必须向学习者明确展示所有相关信息，包括具体操作内容与方法步骤。令人费解的是，许多标榜学术研究的教育者，在培训新教师时仍无视这些证据，继续推崇最低限度的指导。

⠀⠀⠀历经半个世纪对最低限度指导教学的推崇后，研究显示：除顶尖专家型学员外，尚无任何严谨研究支持该教学法的普适性。来自对照实验（即『黄金标准』研究）的证据几乎一致表明，对初阶至中阶学习者而言，完整明确的系统指导远优于零散或最低限度的指导。这些发现及相关理论证明，教师应当提供清晰明确的教学指导，而非仅辅助学生自行探索知识。」

> 无指导教学有伪科学的历史

Clark、Kirschner 和 Sweller（2012）解释道，无指导教学法屡遭证伪却经久不衰，其秘诀在于每次被推翻后便改头换面以新形态出现：

⠀⠀⠀「加州大学圣塔芭芭拉分校认知科学家 Richard Mayer 系统分析了 50 至 80 年代末的研究证据，这些研究对比了纯粹发现式学习（即无指导的基于问题教学法）与有指导教学的效果。他指出：自 50 年代中期以来，每当实证研究充分证明当时盛行的无指导法无效后，类似方法便会改换名称卷土重来，循环往复。

⠀⠀⠀每一代无指导法的倡导者似乎都选择性忽视其方法论缺乏验证的前期证据。这种模式催生了发现式学习→体验式学习→问题导向式与探究式学习→直至近年建构主义教学法的演变链条。」

正如 Kirschner、Sweller 和 Clark（2006）在别处阐述的，这些无指导教学通常建立在模仿专家行为模式的基础之上：

⠀⠀⠀「名称各异但教学本质雷同的方法体现在科学教育中：将学生置于探究式学习情境，要求其通过模仿专业研究者的调查活动，去重新发现科学领域基本且广为人知的原理（Van Joolingen, de Jong, Lazonder, Savelsbergh, & Manlove, 2005）。」

他们进一步指出：当前盛行的建构主义教学法虽披着科学的外衣，实则缺乏科学根基：

⠀⠀⠀「回到 Mayer 的文献综述，许多教育者将『建构主义』（即关于人类如何学习和认知世界的理论）与如何具体指导混为一谈。

⠀⠀⠀在认知科学领域，建构主义是一种被广泛接受的学习理论。它主张学习者必须通过主动的认知加工过程，构建对世界的心理表征。许多教育工作者（尤其是教育学院的教育学教授）坚持认为学生必须「自主建构」知识，并假定促进这种建构的最佳方式，是让学生在缺乏教师明确指导的情况下自行探索新知识或解决新问题。

⠀⠀⠀遗憾的是，这种假设虽广为流传却是错误的。Mayer 称之为『建构主义教学谬误』……学习确实需要知识的主动建构，但拒绝向学生提供必要信息并不会促进这一过程。」

Mayer（2004）在其批判性综述中进一步指出：

⠀⠀⠀「简而言之，研究表明『建构主义 = 动手实践』这一等式将导致教育灾难。

⠀⠀⠀……

⠀⠀⠀纯粹的发现式学习如同屡屡从坟墓中爬出的僵尸，至今仍不乏拥护者。

⠀⠀⠀……

⠀⠀⠀这种教学法在 20 世纪 60、70、80 年代均告失败。三振出局后，我们毫无理由会相信它在今日能奏效。

⠀⠀⠀……

⠀⠀⠀本文探讨的核心问题并非建构主义是否有益于教育，而是那些被归因于建构主义的教育理念是否合理。就发现式学习而言，这些理念显然站不住脚。

⠀⠀⠀……

⠀⠀⠀教育界关于发现式学习的论战反复上演，但研究证据始终支持有指导的教学方法。」

此类观点在学界引起广泛共鸣。正如著名心理学家 John Anderson、Lynne Reder 和 Herbert Simon（1998）所言：

⠀⠀⠀「认知心理学界已达成共识：人类并非被动记录经验，而是借助既有知识与经验解读新信息。……但如果像激进建构主义者所主张的那样，断言学生必须在无明确指导的情况下自主发现知识，则是对该理论的误读。」

⠀⠀⠀「激进建构主义强调发现式学习、复杂情境学习与社会化学习，然而对教育成果的系统性评估抱有根深蒂固的不信任。……其狂热追随者表现出的反科学偏见一旦占据主流，将彻底扼杀教育进步的希望。

⠀⠀⠀支持发现式学习的实质性证据极其匮乏，且其学习效果往往低于其他教学方法。即使发现式学习能成功帮助学生建构目标知识体系，这一过程也会耗费巨量的时间成本，如果通过指导教学传授该知识体系（其巩固练习同样具有主动性），这些时间本可用于强化训练。由于有效学习通常始于知识体系的明确建立，当自主探索过程陷入冗长或失败时，学习动机的普遍衰退便不可避免。正如 D. P. Ausubel 在 1968 年对发现式学习研究的总结：

⠀⠀⠀『实际检视那些宣称支持发现式学习的研究文献，便会发现其中几乎不存在有效证据。各种发现式教学的支持者，似乎通过某种学术闭环相互佐证，即把彼此的观点断言当作证据循环引用，甚至将模棱两可或明显负面的研究结果强行泛化。』」

> 无指导教学在逻辑与科学层面皆无法自洽

Anderson、Reder 与 Simon（1998）进一步指出：直接教学的反对者本质上否定系统性练习的价值，这种立场显然站不住脚：

⠀⠀⠀「有些人认为直接指导会导致知识的『程式化』，阻碍对知识的理解：

⠀⠀⠀『我对学生行为模式的期待越明确，他们就越可能机械模仿形式而忽视实质，即用表象操作替代真正的理解。』

⠀⠀⠀这种观点的延伸认为过度练习同样会损害理解力。建构主义文献中充斥着对练习的批判（称其为『训练即扼杀』，仿佛这个标签本身就是实证结论）。声称练习有害的观点，完全违背了过去20年的研究成果。

⠀⠀⠀所有科学研究和实践经验都证明，真正的专业能力只能通过大量实践获得。否定练习的核心作用，等于剥夺学生构建能力的基石……『机械训练扼杀创造力』的批评中唯一合理的是：学习过程需要认知投入。」

同样的，主要从复杂情境中的学习存在两个关键缺陷：

⠀⠀⠀「首先，对于在复杂任务的很多组成部分中尚有困难的学习者而言，处理复杂任务所需的认知负荷很容易超出其承受能力。其次，如果学生已经掌握了大部分（复杂任务中的）组成部分，他们将会耗费大量时间重复已掌握的部分，而只能练习很少一部分需要练习的地方。

⠀⠀⠀心理学的大量研究表明：当某项子技能在整体任务中具有独立性或准独立性时，采用分解训练通常会取得更好效果。……虽然在完整情境中定期综合运用各项技能对维持学习动机、掌握实践策略至关重要，但这并不能成为将完整任务训练作为主要学习机制的理由。」

Clark、Kirschner 与 Sweller（2012）基于相关研究进一步解释：直接指导的优越性不仅得到海量实验证据支持，其有效性更与现代认知科学对工作记忆与长期记忆机制的理解深度契合：

⠀⠀⠀「这两个事实，即工作记忆在处理新信息时非常有限，而在处理存储于长期记忆中的体系化信息时却没有限制，解释了为什么局部或最小化指导教学通常对新手往往收效甚微，但可能对专家型学习者有效。当面对待解决问题时，新手唯一的资源就是他们极为有限的工作记忆，而专家型学习者则同时具有工作记忆及长期记忆中存储的所有相关知识和技能。」

正如 Sweller、Clark 和 Kirschner（2010）在别处阐述的：

⠀⠀⠀「当前所谓的『改革』课程体系，既无视缺失的支持性数据，又完全误解了解决问题在认知中的功能定位。照这个逻辑，我们不是在教授数学，而是教授某种解决问题的通用模板，这样数学内容的重要性就可以降低。依此推论，我们可以教学生通用的问题解决策略，从而培养出擅于创新解题的优秀数学家，即使脱离具体的数学知识也无妨。

⠀⠀⠀我们确信该论点全然忽略了数学学习的实证研究证据。虽然某些数学家可能在缺乏系统教学指导的情况下，通过无明确指导的自主探索习得解题能力，但这绝不是学习数学最具效能、最有效率的路径。

⠀⠀⠀……

⠀⠀⠀长期记忆作为人类认知架构的核心组件，其功能并非存储零散孤立的信息碎片，而是通过高度整合的信息复合体建构问题解决能力。这种能力具有鲜明的领域特定性，而不具备跨领域的通用特征。在特定专业领域中，专家级问题解决者已在长期记忆内构建并储存海量认知图式（schemas），使其能够依据解题策略对该领域问题系统归类。

⠀⠀⠀简而言之，研究指出，唯有让未来的数学家储备大量特定领域的解题图式，才能培养出真正高效的问题解决者。数学解题能力的养成，需要系统掌握众多针对具体问题的解题策略。那些宣称可以脱离具体情境学习的所谓「万能解题法」，在现实中根本不存在。

⠀⠀⠀……

⠀⠀⠀显然，虽然支持在数学领域中教授通用的问题解决策略缺乏实证证据，但关于「工作样例效应」（worked-example effect）的有效性却证据充分。大量随机对照实验均验证了这一效应。（如 Schwonke 等，2009；Sweller & Cooper，1985）。对于数学初学者而言，压倒性的证据表明：相较于自主解决同类问题，系统研究工作样例更能显著提升学习成效。

⠀⠀⠀工作样例学习作为直接教学的核心实践，在所有学科领域都具有关键的教学价值，尤其适用于多数学生存在认知障碍且对社会发展至关重要的领域。数学正是同时具备这两个特质的典型学科。如果在数学教育中实施最低限度指导教学，必然导致学习成效的严重不足（Kirschner、Sweller 与 Clark，2006）。」

> 无指导教学引发实践危机

Clark、Kirschner 和 Sweller（2012）通过课堂观察研究，清晰描绘了未采用直接教学的课堂实况：

⠀⠀⠀「在真实课堂中采用各类最低限度指导教学时，会产生系统性教学失效。

⠀⠀⠀首先，往往只有天赋超群且预习充分的学生能完成知识探索。

⠀⠀⠀其次，多数学生会陷入挫败当中，有的产生注意剥离现象，有的机械复制优等生的解题行为，但无论哪种情况，学生都未能实现真正的知识发现。

⠀⠀⠀第三，存在错误概念固化风险：部分学生误将错误解法视为正确认知，这种错误心理表征会严重阻碍后续学习迁移与问题解决。实证表明，即使教师展示正确答案后，学生长时记忆提取仍倾向于维持其最初构建的错误方案，而非接受修正后的正确知识。

⠀⠀⠀第四，即使在极低概率场景下，教师成功设计出全体学生能完成的项目或问题，最低限度指导教学仍显著劣于直接指导的教学效果。通过教师 25 分钟示范讲解与课堂讨论，辅以 15 分钟矫正性反馈的独立练习即可达成的教学目标，如果采用最低指导度的项目式或问题解决教学法，往往需要消耗多倍课时方能实现同等学习效果。」

这些教学病理现象已获得大量研究支持：

⠀⠀⠀「Hardiman、Pollatsek 与 Weil（1986）以及 Brown 与 Campione（1994）发现，当科学课堂采用纯发现式教学方法且缺乏反馈时，学习者普遍陷入认知迷失与情绪耗竭状态，这种认知冲突反而会让他们形成错误理解。Carlson、Lundy 与 Schneider（1992）以及 Schauble（1990）的研究表明，在这种学习过程中，学生很容易走弯路，导致无指导的自主探索效率非常低。」

特别需要注意的是，这些问题严重时反而会影响学习：

⠀⠀⠀「无指导教学不仅效果差，更危险的是，当学生形成了错误理解或者只学到零散的知识时，可能比不学还糟糕。」

尽管存在这些弊端，在无指导学习环境中收获最少的学生，却往往更青睐这种方式，只因它带来的认知负荷较轻：

⠀⠀⠀「……当学习者可以在同一门课程中选择『高指导』或『低指导』学习模式时，选择低指导模式的低水平学习者，即便学得更差，却仍然表现出明显的偏好。这表明，指导教学通过提供任务导向型学习策略，能有效支持低水平学习者的认知发展。然而，这类策略要求学习者进行外显的、需要意志维持的认知投入，因此尽管能促进学习，却往往遭到学习者的抵触。」

当然，经验丰富的高效能教师对这些弊端心知肚明，他们（理所当然地）直接否决任何推行无指导教学的建议：

⠀⠀⠀「……许多资深教育工作者往往排斥采用这类方法，因其迫使学习者去做很可能无效的认知投入。因此，最优秀的教师要么无视这些建议，要么最多只是表面应付（e.g.,Aulls，2002）。」

Mayer（2004）对此对此一针见血地指出：

⠀⠀⠀「……心理学的核心使命，是要把教育改革从模糊低效的教育理念中拉出来，这些理念常打着各类建构主义旗号，转向基于人类学习机制的理论研究，这种研究既精准又富有成效。」

最后，正如 Kirschner、Sweller 和 Clark（2006 ）总结的那样，即使学生真的在无指导环境下学到了东西，掌握的程度也远不如有老师系统指导时来得深入。

⠀⠀⠀「Moreno（2004 ）得出结论，有越来越多的研究表明，比起自主探索，学生在老师系统指导下能学得更扎实。Chall（2000 ）、McKeough、Lupart 和 Marini（1995 ）、Schauble（1990 ），以及 Singley 和 Anderson（1989 ）的研究都得出了相同结论。

⠀⠀⠀Klahr 和 Nigam（2004）在一项关键研究中做了双重验证，既对比了发现式学习和直接指导教学的效果，还检验了两种方式下知识掌握深度的差异。他们特别关注通过发现学习的学生是否更擅长知识迁移。结果明确无误，接受系统指导（包含详细范例）的学生，学习效果远超自主探索组，而少数通过发现学习成功的学生，其知识掌握质量也并未显现优势。」

Kirschner 和 Hendrick（2024, p.76）对此总结道：

⠀⠀⠀「……如果你想要学生学会解决问题，他们必须首先掌握相关领域的事实性知识和操作技能。如果你想培养他们的沟通、讨论、写作或其他任何所谓的『21 世纪技能』，这个原则也同样适用。如果对某个领域一无所知，也不懂具体方法步骤，怎么可能展开有效讨论、写出有深度的文章，或是进行有意义的辩论？」

| 众人拾柴火焰高……合作学习，效果上却要打折扣

职场中的专业人士采用团队协作，是因为复杂项目往往需要多个领域的顶尖人才能共同完成，有些工作量一个人一辈子都做不完，涉及的专业技能更非个人所能全面掌握。这时候就需要组建团队，每个成员专精特定领域，通过合理分工，在有限时间内完成任务。

专业场景下的分工合作是为了最大化团队的产出。这种策略乍一看很适合应用到课堂。全班高效产出等于每个学生都学得好？事实截然相反，课堂分工会稀释学习效果，也就意味着最小化每个学生的学习效果。

为了最大化每个学生的学习效果，必须确保他们亲自参与每个学习环节。分工合作则完全是这种做法的对立面，每个学生只钻研自己负责的部分。对于其他内容，他们只是走马观花，甚至完全跳过。理想情况下，每个学生只学到了零碎的知识。最差的情况则演变成一个学生做完了所有功课，而其他组员什么也没学到。

Anderson, Reder, & Simon (1998) 总结道：

⠀⠀⠀「激进建构主义者推荐了单人完成的学习任务，现在却转向了小组学习。……虽然人在职场，需要锻炼社交能力，但不是所有工作所需的技能都需要通过与人社交来掌握……把复杂任务拆解成独立模块，分别训练更为可取，因为可以降低认知负担，从而腾出更多脑力用于深入学习。

⠀⠀⠀……

⠀⠀⠀美国国家研究委员会（NRC）人类绩效提升专家组在评估报告中指出，……『成功证明合作学习优于个体学习』的研究相对较少，反而已经发现了一些由合作学习引起的不良影响，包括『搭便车』（free rider）、『傻瓜效应』（sucker，即降低努力以避免被搭便车）、『地位差异』（status differential，即能力较低的团队成员失去社会地位并降低努力）以及『结伙效应』（ganging up，即引导团队努力绕过任务的预期目标）[Salomon & Globerson, 1989]。

⠀⠀⠀NRC 关于合作学习的评估报告指出，尽管大量研究显示合作学习与传统教学法在效果上并无显著差异，但令人担忧的是，大量教师的指导性文章往往刻意弱化该教学法的实施难点，将其渲染成包治百病的教育良方。实践中，合作学习常被滥用，既缺乏结构化教学设计，也缺少教学脚本……据报告，一些学生采取的做法是跨课程分工，小组成员在某个课程中完全承担了某项目的所有工作，而另一成员则负责不同课程的任务。显然，这不是合作学习的预期成果，但如果缺乏对学习情境的周密实施和教学设计，这种情况必然会出现。」

诚然，趣味性、协作性的小组活动在提升学生学习动机、缓解高强度刻意练习带来的心理压力上具有一定的价值。然而，这类活动本身并不能直接提升学业表现，其作用更类似于「润滑剂」，通过降低刻意练习过程中的心理阻力，间接促进学习进程。刻意练习才可以直接提升学习表现。

有效学习需要努力

| 轻松学习是不可能的

迷思：存在轻松又有效的练习方法。

现实：才能培养要付出努力——不是浅尝辄止的努力，而是持之以恒的大量投入。在才能培养研究领域，这早已是明确的共识。你能想象让运动教练将你培养成明星运动员，但训练时无需流汗、毫不费力吗？

学习科学领域存在一个普遍共识：有效学习就像在私人教练的指导下锻炼一样。有效学习应该围绕刻意练习。刻意练习是主动练习，选择特定训练活动，通过重复和不断完善来提升某方面的能力。这些训练活动完全是为了突破极限，提升表现，因此需要付出更多认知努力，且愉悦感较低。

遗憾的是，许多类型的训练方法虽然效果不佳，但不需要多少努力，因此对最用心、勤奋的学生来说，它们也可能显得很有吸引力，因为它们会营造一种能力错觉（Karpicke, Butler, & Roediger, 2009；在早期研究中也被称为理解错觉，例如 Bjork & Bjork, 2023）。比如阅读笔记、重读课程材料和高亮文本。一篇研究各种练习方法的综述指出，这样不费力的方法在促进学习、保留知识和应用知识上效用最低(Dunlosky et al., 2013)：

另一方面，两种效果最好的方法——测试练习和间隔练习——都非常费力。测试练习的效果来自花费力气回索信息，而间隔练习效果好是因为把练习间隔开之后就会遗忘（因此后续的练习变得更费力）。Brown, Roediger 和 McDaniel 总结道：

⠀⠀⠀「间隔练习会让你感觉效率不高，原因在于遗忘已经开始发生，你必须更费力地回忆那些概念。它会让你觉得你没有掌握这些内容。然而，那一刻你可能没意识到，这种额外的努力实际上能更加有效的学习。」

正如 Kang（2016）描述的，这两种要付出较大努力的方法结合使用时，效果会更好（当然，要付出更多的努力）：

⠀⠀⠀「自我测试或间隔练习都能为学习带来很大的优势。但比这更好的是，可以结合两种策略，从而增加效果：回顾之前学过的材料可以通过自我测试来完成（通常伴随纠正反馈），而不是重复阅读。」

需要明确的是，这并非主张应该完全抛弃被动阅读或重复阅读。在开展刻意练习前，熟悉教学材料是有用的。如果在努力练习时遇到困难，回看学习材料也是有用的。但是，真正的学习只产生于勤奋的训练当中。

熟悉教学材料如同运动前的热身：热身本身并不会增强力量或耐力，却能帮助在正式训练中实现最佳表现并预防损伤。无论培养何种技能，提升表现始终是一个需要主动投入的过程。

正如 Qadir & Imran (2018) 的总结，学习的关键在于制造合意困难：

⠀⠀⠀「虽然我们本能地不喜欢困难，因而试图避开它们，但许多（并非全部）困难对学习有积极影响。知名认知心理学家 Bob Bjork 创造了术语『合意困难』，用来形容那些对学习有着积极作用的学习困难。

⠀⠀⠀……

⠀⠀⠀学习——即需要长期记忆和迁移概念的实际学习过程——需要付出努力……研究表明，尽管间隔重复和穿插练习使提取信息变得更困难，导致人们感觉学习效果不佳，但实际上这种学习更为深入，并且让回忆在未来变得更容易。」

| 反对努力练习即反对才能培养

迷思：测试、重复、计算和竞争会妨碍学习。

现实：在才能培养领域，没人会不明白这些方法的重要性 。你能想象去跟一位体育教练说，诸如选拔赛、重复性技术训练、高强度体能训练、根据队内对抗赛及对外竞技比赛表现分配上场时间等常规培养手段，会不利于体育人才的培养吗？

> 测试和重复是有必要的

我们在之前破除迷思时已经讨论过，测试练习和间隔练习（也被称为间隔重复）是两种最高效的练习方法。我们也讨论了刻意练习的重要性，这种方法通过精心设计的个性化训练活动，结合重复训练和逐步的改进，有针对性地提升学生在特定方面的能力。研究表明，这种训练方式正是造成个体表现差异的关键原因，即使对于天赋出众的顶尖人才也不例外。

理性讨论中，没有人能否认，不通过测试和重复训练，就不可能实现学习效果的最大化。如果有人试图反驳这点，那么他们其实就是反对学习效果最大化这一前提。这本身无可厚非——毕竟许多人更希望教育过程能优先满足趣味性和娱乐性，与此同时仅以低标准浅尝辄止一些表层的基础技能，但这和才能培养是完全背道而驰的。

此外，像数学这样具有层级性的学科，每一项高阶技能都需要以复杂的方式运用诸多较为简单的技能，回避测试与重复训练会导致学习的过程困难重重。要学习一项复杂技能，学生首先必须熟练掌握那些较为简单的组成技能，而要轻松自如地运用这项复杂技能，学生必须对这些简单的组成技能运用自如。如果学生对每一项技能都无法达到熟练掌握并最终实现运用自如的程度，那么他们在学习那些以这些简单技能为组成部分的高阶技能时，注定会困难重重。测试与重复训练是最能直接帮助学生实现熟练掌握并最终达到运用自如程度的两种学习策略。（需要明确的是，重复训练并非是让学生在已经掌握某项技能之后还进行过度练习，而是在让学生继续学习更高级的技能之前，给予他们足够的练习，使其达到熟练掌握的程度。）

> 计算是有必要的

为什么学习数学必须练习计算，以下是几点理由。

1. 没有计算，我们很容易对各种符号、过程、想法的具体含义感到陌生。有了计算，有了具体的数字，学习者才能明白这些概念的含义。其实抽象概念的意义就是整合统一具体例子。例题之于数学就像经历之于人生。
   
   
2. 投不了篮的人，再能夸夸其谈篮球战略，能算是打得好篮球吗？不。同样，能娓娓道来数学概念但不会计算的人，也不算真正掌握数学。
   
   
3. 没有掌握各部分的技能，是无法获得对一门学科的完整理解的。如果有人不能投篮，他怎么能理解不同投篮方式的难度，如何比赛才能投好篮？数学也是同理。
   
   
4. 计算往往有助于概念性的理解。数学到处都是没有上手算过就没办法理解的概念。（一个很清晰的例子就是二次方程的判别式：如果学生使用二次方程公式计算过二次方程的根，他很快就能理解，b^2-4ac 这个被称为判别式的式子，能够控制解的个数。）

有些数学资料对计算不够重视，以至于只能给课程注水简化，精挑细选简单问题，避免考察学生太多基础技能。对学生来说还挺不错，因为他们学完感觉自己也学得挺深，但他们其实只是半瓶水晃荡。

如果学生只是对数学感兴趣，想稍微了解一点而不愿投入太多时间精力，那么这种简化的课程可能还可以接受——但如果学生认真想学好数学，并以此作为职业发展的基础，那么这种「稀释版」的课程显然无法满足他们。这就是 Math Academy 的用武之地：我们教授数学的方式，就像培训职业运动员或音乐家，或任何想把技能提升到最高水平的人一样。 我们的课程经过精心设计，可以媲美世界顶尖大学类似的课程及最受欢迎的教材。

计算和低级错误

计算练习的反对者有时会宣称，计算不必要，而且为粗心错误给学生设置练习，会拖慢学习过程。然而，考虑到数学中的技能层级，「差不多」能完成某个技能是不够好的。如果一个体操运动员「差不多」能完成后空翻，那么这个进展不错，但与此同时，他们还做不了含有后空翻的组合动作。尽管阻碍体操运动员后空翻的可能是个粗心错误，他们还是必须纠正这个错误，才能前进到更高级的动作。

推而广之，如果不让学生纠正低层次技能的粗心错误，他们最终会碰壁，无论多么努力，他们也没办法可靠地执行高级技能，因为高级技能的每个组成部分都有概率出错，累积起来就不可忽视了。

另外，许多学生在面对错误时习惯性地将其归咎于「粗心大意」，但实际上他们的错误说明了他们有更深层次的概念理解问题。有时候他们没有恶意（他们真的觉得他们是粗心），而有时则不尽然（比如，他们试图钻空子拿到不该拿的分），无论如何，这个问题都需要避免。

> 竞争有益，也是总也无法避免的

虽然竞争并不是学习中不可或缺的一环，但设置合理的话，竞争对于学习也并非全无益处，并且很多时候也会促使学习者为追求成就感而完成更多更好的练习。比如，有了周排行榜，很多 Math Academy 的学生会形成稳定的练习节奏。

当然，这并不意味着每个学生都只有与人竞争才能学得好。有些学生选择不参与 Math Academy 的周排行榜，当然是没问题的。同样地，并不是所有形式的竞争都有利于学习。关键是设置规则合理的竞争。设置不合理的竞争很容易导致灾难性的后果（比如只有分数最高的学生能取得 A 的成绩，而其他人都是不及格）。

即便如此，如果学生立志要在某个领域达到职业化水准，竞争就是不可避免的现实。在才能培养中，任何真正想在体育竞技、乐器演奏等领域有所建树的人都清楚：他们要非常刻苦，并与同样拼命的竞争者争夺有限的上升通道。数学领域同样遵循这一规律。数学和类似学科的教授职位本就那么多，而学术界之外，需要运用高级数学知识解决复杂问题的工作岗位同样机会有限。

需要强调的是，尽管人人厌弃竞争，但竞争的目的是积极的：通常来说，竞争是将关键职责交付给最具能力的人，并激励这些人不断努力、不断提升。厌弃竞争的往往是那些不理解这个过程的人——比如有人将个人职业兴趣与社会价值贡献混为一谈，有人直到临近关键节点才开始培养技能，而此时他们会面对一个残酷的现实，其他人已经将他远远甩在后面了。

> 为什么这个迷思在教育里经久不衰（但在才能培养里并非如此）

这一迷思在教育实践中为何经久不衰，而在才能培养领域却不存在认知混乱？一个关键的因素是，才能培养领域始终以能力最大化为明确导向，其训练方法严格遵循「投入产出最优化」原则。另一方面，教育领域有诸多因素（尤其是行政化考量）模糊了能力培养的核心目标。结果是老师被鼓励使用轻松有趣、低问责性、难以量化的教学方法，从而规避学生、家长及管理层的压力。可惜的是，这些教学方法往往是无效的。

以测试为例。对于才能培养来说，所有参与者都是测试的坚定支持者。假设一个孩子以成为奥运短跑选手为目标训练，那么孩子本人、家长及教练都会要求定期测量其 100 米短跑成绩。如果成绩持续提升，就证明训练方法有效，所有人皆大欢喜。如果成绩停滞不前，则意味着训练方案还要调整，相关人员会持续关注直至问题解决。衡量表现非常重要，因为只有衡量表现，大家才能知道孩子是否在朝着目标前进。

然而在教育领域，很多人是反对测试的。家长既希望孩子取得高分，又不愿其承受过多的课业压力，学生则试图以最小作业量应付家长（或者避免激怒父母），而校方管理层既想维持住家长的满意度，又要确保分数达标。教师因此夹在双重压力之间，既要让尽可能多的学生通过达标考试，又得在作业布置上做减法、在分数评定上做加法。

在这种困境中，极易产生对测试的厌恶情绪——如果取消测试体系，教育工作者只需围绕课堂讨论和趣味活动组织教学，轻松实现多方「共赢」。学生无需太过努力即可凭借参与度获得高分，家长也乐见孩子轻松取得优异成绩，管理层则因家长高兴而高枕无忧。身处这种困境中的教育工作者自然会反对测试，转而强调那些无法量化的主观学习形式的重要性，尽管这类所谓的学习本质上并不科学。

> 为什么才能培养在数学中很重要

才能培养实践者多集中于体育、音乐等具有明确技能层级的领域。这类领域存在一个显著特征：每个高级技能的掌握都需要大量基础技能的复杂整合，如果缺乏系统性、阶梯式的刻意训练，个体将难以实现技能层级的跃升。

学习高级技能之前必须把所有前置技能都熟练掌握，而这些前置技能本身又依赖于更底层的前置技能，逐级递进。熟练掌握任何技能都要历经长期的海量训练——即使达到一定水平，仍需通过持续训练维持技能水平。

能力的获得绝非自然发生。如果缺乏对训练过程的科学管理，你就会陷入低效努力的困境。无论是体育竞技还是器乐演奏，任何达到职业化水准的成就背后，都离不开对才能培养路径的审慎对待，以及通过刻意练习追求学习效能最大化的持续努力。

现实情况是，社会并不期待大多数学生在体育或音乐上取得卓越成就，所以他们可以回避才能培养的严格要求。如果体育课将所有学生都需要在学期末能后空翻设为目标，那么教学体系将会改变——但实际上社会对学生的要求非常低，无需才能培养即可达成。

但数学教育却因此陷入特殊困境。与体育、音乐类似，数学同样具有严格的层级化技能结构，要取得卓越成就必须进行才能培养。然而不同于体育、音乐领域的是，社会对数学能力普遍存在高期待：学生需在长达数年的课程中完成难度递增的学习，最终至少要掌握代数，通常还要求预备微积分水平，多数情况下要涉猎微积分，部分甚至需要达到更高阶水平。

由此带来的结果是，数学教育中，忽视才能培养将引发严重问题。当数学课堂长期停留在「踢球游戏」式的低阶活动，却要求学生在学年末完成「后空翻」级别的数学任务时，学生产生挫败感和普遍的负面情绪也就不难理解了。

关键论文

注意：「重要性」部分可能包含了本章前文中直接引用的片段。如需引用本章内容，请以正文（上文）为准。

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  Sweller, J., Clark, R., & Kirschner, P. (2010). Teaching general problem-solving skills is not a substitute for, or a viable addition to, teaching mathematics. Notices of the American Mathematical Society, 57(10), 1303-1304.
  Kirschner, P. A., Sweller, J., & Clark, R. E. (2006). Why minimal guidance during instruction does not work: An analysis of the failure of constructivist, discovery, problem-based, experiential, and inquiry-based teaching. Educational psychologist, 41(2), 75-86.
  Mayer, R. E. (2004). Should there be a three-strikes rule against pure discovery learning?. American psychologist, 59(1), 14.
  Anderson, J. R., Reder, L. M., Simon, H. A., Ericsson, K. A., & Glaser, R. (1998). Radical constructivism and cognitive psychology. Brookings papers on education policy, (1), 227-278.
  
  重要性：数十年的研究支持这样的事实，即学生通过直接指导学习最有效。这也从现代工作记忆和长期记忆的理解中直观地得出。另一种选择，即无指导教学，会非常成问题，以至于实际上导致负面的教育发展。
  
  
• Anderson, J. R., Reder, L. M., Simon, H. A., Ericsson, K. A., & Glaser, R. (1998). Radical constructivism and cognitive psychology. Brookings papers on education policy, (1), 227-278.
  Salomon, G., & Globerson, T. (1989). When teams do not function the way they ought to. International journal of Educational research, 13(1), 89-99.
  
  重要性：小组学习通常效率低下，在缺乏必要的结构化或脚本化的情况下应用，其效果往往适得其反。
  
  
• Karpicke, J. D., Butler, A. C., & Roediger III, H. L. (2009). Metacognitive strategies in student learning: Do students practise retrieval when they study on their own?. Memory, 17(4), 471-479.
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  Qadir, J., & Imran, M. A. (2018). Learning 101: The untaught basics. IEEE Potentials, 37(3), 33-38.
  
  重要性：许多类型的训练方法虽然效果不佳，但几乎不需要努力，因此即使对那些最用心、勤奋的学生来说，它们也可能显得很有吸引力，因为它们制造了一种能力错觉。这些方法的例子包括看笔记、重读课程材料和高亮文本。另一方面，最有效的方法——如练习测试和间隔练习——特别费力，当它们结合起来时，效果会更好（当然，也更费力）。学习就是要创造合意困难。

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Thoughts Memo 汉化组译制
感谢主要译者 Shom、nothingtosay，校对 Jarrett Ye
原文：The Math Academy Way: Using the Power of Science to Supercharge Student Learning

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