⠀⠀⠀摘要：在 Math Academy 学习，学生往往能在数学领域实现快速进步，但教育加速仍存在诸多误解。事实上，对于有能力的学生而言，加速学习并不会造成负面心理影响；学生是否已准备好学习高级数学，完全取决于他们是否掌握了必要的前置知识。加速学习并不意味着浅尝辄止；相反，接受加速教育的学生通常能在更短时间内，掌握与普通教育环境中相对更长时间才能学到的知识量。这些学生并不会因为加速而很快耗尽可学的课程，他们往往能够免修大学数学课程，甚至超出入学考试所涵盖的范围。最为重要的是，对于有潜力的学生来说，加速学习是最有效的教育「捷径」：由此获得的技能和机会能够将学生推向一些最富趣味、最有意义且最赚大钱的职业道路，而且早早起步通常能带来更大的职业成功。
加速常常被误解
在 Math Academy 这样的系统中，学生的数学学习效率可以比传统课堂高出数倍。如果学生全年保持常规的「学校工作量」——即每个工作日投入一小时或更多时间学习，他们就能在一年内完成相当于数年的数学课程内容——在全面系统的课程中，不会遗漏任何知识点。
对于不了解学业加速（允许学生比常规情况更早开始学习或以更快的速度掌握学业内容）的人来说，这种学习进度可能显得难以置信，甚至令人震惊。然而，这其实是学习效率提高后的自然结果：如果一个学生的学习效率提高到原来的 4 倍，而他们仍然投入相同的学习时间，那么他们自然就能学习 4 倍的内容。
数学加速教育的益处不胜枚举，然而围绕它的误解同样层出不穷。正如研究员 James Borland (1989, pp.185) 所慨叹的：
⠀⠀⠀「加速教育是教育领域中最令人不解的现象之一。我想不出还有哪个议题，在研究发现和大多数教育实践者的认知之间存在如此巨大的鸿沟。关于加速教育的研究结果无一例外地呈现积极效果，适度加速的好处更是毋庸置疑，以至于很难理解一位教育工作者怎么会反对它。」
本章旨在澄清这些误解，同时阐明数学加速教育的诸多裨益。
发展适当性
| 掌握前置知识后，进阶学习恰逢其时
迷思：过早接触数学学习不利于学生的社交/情感发展和认知/学业进步。
现实：对于具备能力的学生而言，教育加速并不会带来负面心理影响。例如，一项名为《天才青年的学业加速与对心理健康的不必要担忧：一项为期 35 年的纵向研究》的研究，在 35 年间持续追踪了数千名接受加速教育的学生的人生轨迹（Bernstein, Lubinski, & Benbow, 2021）：
⠀⠀⠀「研究表明，教育加速的程度与心理健康水平并无显著关联。更值得注意的是，两项研究中参与者的心理健康状况均优于全国抽样的平均水平。这意味着，人们对高潜力学生接受加速教育可能产生长期社交/情感负面影响的担忧是缺乏依据的，这与短期影响的研究结果不谋而合。
⠀⠀⠀……
⠀⠀⠀这些发现与其他关于学业加速对心理健康影响的研究结果相互印证。换言之，几乎没有证据表明学业加速会对智力出众的青少年的心理健康造成负面影响（Assouline et al., 2015; Benbow & Stanley, 1996; Colangelo et al., 2004; Gross, 2006; Robinson, 2004）。
⠀⠀⠀……
⠀⠀⠀这些研究结果不支持辅导员、家长和管理人员常常表达的关于加速教育可能带来长期社交和情感代价的顾虑。经历过加速教育的人很少因此感到后悔。事实上，如果说有什么遗憾的话，他们反而倾向于希望当初接受更多的加速教育。」
学生是否已经准备好学习高等数学，完全取决于他们是否已经掌握了必要的前置知识。如果一个学生已经具备了这些基础，那么让他们提前学习高等数学是恰当的，而阻碍他们的学习进程反而是不适当的。正如研究者指出的：
⠀⠀⠀「许多人担心将一个天赋异禀的孩子转入更高级的班级可能会带来负面影响。然而，我们同样需要考虑将孩子留在教授他们已经掌握内容的班级中可能产生的负面影响（Benbow & Stanley, 1996; Gross, 2006; Stanley, 2000）。选择不进行加速教育和选择加速同样都是一个重要的决定……
⠀⠀⠀考虑到大量实证研究表明，加速教育对学业成就（Kulik & Kulik, 1984, 1992; Lubinski, 2016; Rogers, 2004; Steenbergen-Hu et al., 2016）和创造力（Park et al., 2013; Wai et al., 2010）都有积极影响，这一点尤为重要。根据学生吸收新知识的深度和速度来制定教育课程是有益的。其他研究还表明，学业加速往往能够提升 50 岁之前的专业成就和创造性成果（Park et al., 2013; Wai et al., 2010）。」
关于教育加速长期效果的众多其他研究也得出了相似的结论。正如 Wai（2015）所总结的：
⠀⠀⠀「数十年来，大量实证研究都支持对天才青少年实施教育加速（Colangelo & Davis, 2003; Lubinski & Benbow, 2000; VanTassel-Baska, 1998）。尽管现在越来越难以忽视这些证据（Ceci, 2000; Stanley, 2000），但由于教育政策制定和实施过程中存在的社会和政治因素，将研究成果付诸实践仍然面临诸多挑战（Benbow & Stanley, 1996; Gallagher, 2004; Stanley, 2000）。
⠀⠀⠀……
⠀⠀⠀这些研究的教育启示十分明确。它们共同表明，各种形式的教育加速都产生了积极影响。关键在于在学业和社交方面都进行适当的发展性安置（Lubinski & Benbow, 2000）……教育加速本质上是一种适当的学习进度和安置方式，确保优秀学生能够终身投入学习。每个学生都应该每天学习新知识（Stanley, 2000）。证据明确支持允许希望加速的学生这样做，而不支持阻碍他们的发展。
⠀⠀⠀……
⠀⠀⠀这里回顾的长期研究表明，那些在学校经历过加速教育的成年人在教育和职业方面取得了更大的成就，并对自己的选择以及这些选择对生活其他方面的影响感到满意。」
| 为什么发展不适宜性的迷思根深蒂固
认为加速教育在发展上是不适宜的这一迷思之所以长期存在，可能部分是为了某些人的方便。在学校中，每个年级通常按部就班地推进数学课程，这意味着需要将接受加速教育的学生安排到高年级的课程中。然而，这可能会对后勤出难题。
例如，如果学校没有开设高年级课程（这种情况肯定会发生在小学的 5 年级加速学生、初中的 8 年级学生和高中的 12 年级学生身上），那么可能会出现以下两种情况：
- 学生需要到另一所学校上课（这会引发交通、时间安排和行政管理等问题）
- 学校需要聘请能够教授高年级课程内容的教师（而学校仅仅是聘请能够教授本年级水平数学的教师就已经相当困难了）
即使学校提供了高年级课程，这些课程的时间安排可能还会与进行数学加速的学生仍需要学习的本年级课程发生冲突。（课程安排通常是为了最小化同年级内的冲突而优化的，但并未考虑跨年级的情况。）
除了后勤挑战，还存在其他因素可能会阻碍加速教育的实施，并使得这种迷思因便利而得以延续。正如 Steenbergen-Hu, Makel, & Olszewski-Kubilius (2016) 所描述的：
⠀⠀⠀「教育管理者可能出于某些不恰当的动机而避免实施加速教育。例如，尽管加速教育通常能为学校节省开支（因为学生在校时间缩短），但它也可能给学校带来经济『损失』。这是因为学校经费通常基于学生人数分配，而接受加速教育的学生在校时间较短，学校获得的总体经费就会减少。在双重注册的情况下，学校甚至可能需要将部分经费用于学区之外。
⠀⠀⠀同样，在允许学生自由选择就读学校的州，学生可能会离开原有学区，转向更能满足其需求的学区。此外，在当前以考试成绩作为问责标准的教育环境下，让本可以接受加速教育的学生留在同龄人中，能够提高平均考试成绩，而不论这些学生是否真正在学习和进步。」
即便在那些提供加速教育的学校中，通常每个年级也只有少数学生能够参与其中。考虑到存在诸多后勤难题和其他阻碍因素，实际接受加速教育的学生比例很小，而且人们很容易想象，当年轻学生被安排到年长学生的班级中，远离同龄朋友时可能面临的社交困难。因此，这一迷思持续存在也就不足为奇了。
然而，在 Math Academy 上，所有这些问题和担忧都迎刃而解。学生可以加速他们的数学学习进程——甚至可以掌握高深的大学水平数学知识——完全通过我们的系统，在家中或所在年级教室的舒适环境中进行学习。
学习深度
| 加速的学生学得更多，深度不减
迷思：数学加速教育的学生是通过快速学习简化版课程来实现加速的，这导致他们的学习更加肤浅。
现实：大量学业加速研究的文献充分证实，接受加速教育的学生通常能在更短的时间内，掌握与非加速环境中学生在相对更长时间内学习到的同等多的知识。
以 Kulik & Kulik 1984 年备受关注的综述为例，他们回顾了 26 项学业加速研究，结果显示：接受一年加速教育的优秀学生（即在一年内完成两年的学习内容）与同样优秀但大一岁且未接受加速教育的学生相比，学习成效不相上下：
⠀⠀⠀「首先，那些被提前升入高年级的天才学生，其表现与已经在这些年级就读的天才学生不相上下，尽管后者年龄更大。其次，在接受加速教育的科目中，天才加速生比同龄的天才非加速生展现出近一年的学习优势。」
Kulik & Kulik（1984）还指出，「大多数[其他]研究者在评估这些对照研究时，也都对加速教育的效果给予了积极评价。」
更为引人注目的是，这些结论常常以一种在学术文献中罕见的强烈语气表达。如此激烈的措辞，通常只会在科研人员感到深深沮丧时出现，即当一个有充分科学依据的研究结果被教育系统无理由地忽视，而这种忽视仅仅源于墨守成规的惯性，别无他因：
- 「Goldberg 在她 1958 年的综述中指出，几乎找不到任何研究表明加速教育有害，相反，大量研究证实加速教育是激发优秀学生潜能的有效方法。」
- 「Gowan 和 Demos 在 1964 年的综述中简洁地总结道：『接受加速教育的学生比未接受加速教育的同等能力学生表现更为出色』（第 194 页）。」
- 「Gold（1965）赞同他们 [Gowan 和 Demos] 的观点，并进一步指出，『没有什么悖论比研究结果支持加速教育，而我们的社会却未能缩短优秀学生在正规教育中所花时间这一矛盾更为突出』（第 238 页）。」
- Gallagher 在 1969 年提出：「也许我们需要社会心理学家来研究，为什么在如此压倒性的有利证据面前，这种学业加速方法通常仍被忽视」（第 541 页）。
- Dillon 在 1973 年也对加速教育缺乏关注表示遗憾，并从社会心理学角度解释道：「显然，支持标准依赖期和传统正规教育的文化价值观，比社会或个人对成就和独立的需求更为强势。这反映了教育领域中的一个普遍现象：当研究发现与文化价值观发生冲突时，往往是价值观占据上风」（第 717 页）。
- 「Begle 在 1976 年回顾数学加速教育研究时得出结论：在几乎所有的对比中，接受加速教育的学生都比相应的对照组表现更优，几乎从未出现落后的情况。这些接受加速教育的学生不仅超越了普通水平的、未接受加速教育的年长学生，即便与天赋较高的年长学生相比，他们的表现也毫不逊色。」
这项综述（Kulik & Kulik, 1984）与近十余篇最新研究一起，在一篇题为《百年研究之声：能力分组和加速教育对 K-12 学生学业成就的影响》的二阶综述（Steenbergen-Hu, Makel, & Olszewski-Kubilius, 2016）中得出了如下结论：
⠀⠀⠀「……我们需要将讨论推进到更深层次，而不仅仅停留在这些学业加速干预措施是否有效的问题上。现有研究既不是缺乏证据，也不是有证据表明其无效。相反，过去一个世纪积累的大量证据清楚地表明，学业加速……能够显著提升 K-12 学生的学业成就。」
| 我们如何确保全面而深入的学习
Math Academy 不仅依托学术文献，还采用了特定的方法来确保即使是学习进度最快的学生也能全面而深入地学习：
- Math Academy 的课程内容比传统课堂更加全面，
- 完成 Math Academy 的课程要求学生展示比传统课堂更高水平的知识掌握程度。
为了确保我们的课程内容全面完整，我们进行了详细的课程比较，以确保我们的课程内容不仅涵盖主要教科书的全部内容，还包含其他重要教科书中的额外知识点。换句话说，我们的课程是「货真价实」的，涵盖了你可能在任何主要教科书或标准课程大纲中找到的所有内容。
的确，这意味着我们投入了大量的时间、精力和资金来开发海量的教学内容。我们的课程是一个由 10 多位数学博士组成的团队近十年努力的成果。我们拥有超过 2500 个支架完整的课程，每个课程包括一个引言，3-4 个称为知识点（KP）的详细示例，以及每个知识点配套的 10 多个习题（附带完整解答）。总的来说，我们的题库包含超过 150,000 道题目。这些数字还在持续增长中。
与 Math Academy 不同，传统课堂的典型课程往往难以做到全面。教科书通常试图涵盖教师可能想要教授的各种内容（因为如果遗漏了教师想要涵盖的任何材料，他们就可能失去该教师而转向其他教科书）。然而，教师通常会从中选择性地教授材料。尽管大多数数学课程的基础内容通常是一致的，但超出基础部分的内容可能因教师而异，这主要取决于以下因素：
- 课程安排：由于全年存在诸如标准化测试、实地考察、学校集会等各种中断，教师的实际教学时间比人们想象的要少。因此，他们必须对教学内容进行优先排序和精简，以避免在学年结束前时间不足。
- 教师的兴趣：不同的课程通常会涵盖核心材料的不同分支，并可能在某些领域比其他领域更加深入，这取决于教师个人最感兴趣或最擅长教授的内容。
此外，Math Academy 采用的是基于掌握的学习系统，这与传统课堂有着本质的不同。在传统课堂中，学生即使没有完全掌握所有教授的内容也可以通过课程。而在 Math Academy，学生必须展示对某个主题的掌握才能继续学习下一个主题。因此，完成 Math Academy 课程的学生必须展示对课程中 100% 主题的掌握，而在传统课堂中获得 A、B、C 或 D 的学生可能只分别掌握了 90%、80%、70% 或 60% 的内容。
课程的连续性
| 加速学习的学生不会出现无课可上的情况
迷思：如果学生过早学习高级数学课程，他们将很快耗尽可学习的数学课程。
现实：虽然许多人认为微积分是数学学习的「终点站」，但实际上它仅仅是大学数学课程的入门要求。事实上，大学层面的数学课程数量甚至超过了高中阶段的课程，而这些高级课程中的许多都可以在 Math Academy 上学习。
完成单变量微积分课程（如 AP 微积分 BC）后，大多数专注于数学、物理、工程和经济学等定量专业的学生还需要学习一系列核心的「工程数学」课程。这些课程包括线性代数、多变量微积分、微分方程以及概率与统计（这里指的是基于高等微积分的进阶版本，而非像 AP 统计那样基于代数的简化版本）。除了这些核心「工程数学」课程外，不同专业还提供大量各具特色的专业课程。
大学级数学课程的数量之多，以至于即便学生在四年本科期间每学期都超额选课，也无法学完所有课程。然而，学生掌握的这类课程越多，未来就能获得更广泛的学术机会和职业选择。
| 优秀学生可以免修超出入学考试范围的大学课程
迷思：在高中阶段学习超出微积分的数学知识毫无意义，因为进入大学后还是要重新学习（毕竟高级课程和大学数学水平测试通常只覆盖到微积分）。
现实：最优秀的学生在免修课程时，并非仅仅依靠学分转移或标准化的水平测试。实际上，他们常常能够免修的课程范围远超出普通水平测试所涵盖的内容。
这些学生不仅提前自学了相关课程内容，还会主动与数学系的本科生顾问或课程协调员安排会面。有些大学设有专门的本科生学分考试制度，而其他学校则可能采用更为灵活的方式，例如安排学生与教授面谈。在面谈过程中，教授会通过数学讨论来评估学生的知识背景，了解他们的学习深度，有时还会要求学生在黑板上解答一些问题，从而决定学生的课程安排和水平认定。
如果你打算提前学习数学知识以进入更高级的课程，有几个潜在的陷阱需要警惕：
- 如果你提前学习了课程内容，但学习不够全面，你可能无法证明自己具备足够的知识来免修该课程。另一种情况是，即使你成功免修了某门课程，但由于没有全面掌握相关知识，你可能会在后续的高级课程中感到力不从心。
- 如果你提前学习了课程内容，但没有持续复习，你可能会逐渐遗忘所学知识，导致无法证明自己具备足够的能力来免修该课程。
为了避免陷入这些困境，你需要全面系统地学习课程内容，并在学习后坚持定期复习。Math Academy 同时做了这两件事。
对学生未来的重要性
| 尽早学习数学可以降低风险并打开机会之门
迷思：有人认为，提前学习数学虽然令人印象深刻，但不过是一种华而不实的技能。对学生的未来，尤其是那些不打算从事工程相关工作的学生来说，并无太大实际意义。
现实：你可能注意到，在语言课上，总有一些在家就使用该语言的学生觉得课程特别轻松。数学学习也可以达到这种效果。提前掌握数学知识基本上可以确保你获得优秀成绩，同时也能避免各种潜在风险，例如遇到对课程内容掌握不够或讲解能力欠佳的老师。这一点在大学尤其重要，因为大学讲座往往不适合初次接触某个主题的学生。
有人可能会问：「这样上课不会觉得无聊吗？」然而，如果你在高级课程中表现出色，特别是在大学阶段，就能获得诸多机会，如实习推荐、参与教授的研究项目等。即使你并非天才，但在他人眼中，你会被视为优秀人才，从而获得那些通常只留给顶尖学生的机会。善用这些机会的学生有望进入一些最富挑战性、最有意义、最有前景的职业领域，而这些领域通常以难以进入而闻名。
提早接触数学学习不仅为学生开启了探索各种专业领域的大门，这些领域通常只有具备扎实数学功底的研究生才能深入研究。这种提前学习能够加速学生发现自己的兴趣所在，在相关领域培养宝贵的专业技能，并在职业生涯初期就做出专业贡献，从而最终达到更高的职业成就。正如一项对数千名数学天才儿童进行的为期 40 年的追踪研究的作者们 (Park, Lubinski, & Benbow, 2013) 所阐述的：
⠀⠀⠀「在过去的一个世纪里，众多研究者一直在探讨职业起步年龄与成年后的生产力之间的关系，尤其是在科学、技术、工程和数学（STEM）等领域 (Dennis, 1956; Lehman, 1946, 1953; Simonton, 1988, 1997; Zuckerman, 1977)。他们的研究一致表明，较早的职业起步与整个职业生涯中更高的生产力和更多的成就密切相关。在其他条件相同的情况下，通过加速学习而提前开始职业生涯，将使个人能够在成年早期投入更多时间进行创造性工作，这必然会导致其在整个职业生涯中取得更高水平的成就。
⠀⠀⠀……
⠀⠀⠀[在这项研究中]数学天赋出众且实施跳级的学生更有可能获得高级学位并在 STEM（科学、技术、工程和数学）领域取得卓越成就。与智力水平相当但未跳级的同龄人相比，这些学生不仅更早实现这些目标，而且在 STEM 领域积累了更多的引用和高影响力的学术成果。」
诚然，学生只需掌握代数水平的数学知识就能在计算机科学、医学等领域找到工作。然而，在这些领域中，那些同时精通高等数学的人才更加珍稀且备受追捧。这是因为他们能够胜任将专业领域知识与高级数学相结合的复杂项目，从而在工作中创造更高的价值。
| 学习高年级数学通常比钻研同年级竞赛题更有成效
迷思：对于已经掌握本年级数学知识并渴望深入学习的学生来说，让他们专注于解决本年级极具挑战性的竞赛数学问题，比学习更高年级的进阶数学知识更有益处。
现实：当中学或高中教师发现某个学生数学天赋突出时，如果引导他们投入竞赛数学，通常并非因为这对学生最有利。恰恰相反，这种做法往往更多地是为了教师自身的便利。它既能给学生安排充实的学习任务，又能最大限度地减少教师需要付出的额外工作量。
竞赛数学题通常不要求学生掌握新的数学领域知识。其难度主要在于学生需要运用已学过的数学工具，找出巧妙的解题技巧和独特的洞察力。学生可能需要长时间专注于一道竞赛题，而教师只需偶尔给予提示，并在学生声称解决问题后核查其解答过程即可。
然而，若观察多数定量领域专业人士（如火箭科学家和人工智能开发者）的日常工作，你会发现这些竞赛数学技巧几乎派不上用场。相反，他们广泛应用的是大学水平的数学知识，如线性代数、多元微积分、微分方程以及基于微积分的概率统计。考虑到大多数热爱数学的学生最终会在其他领域应用数学知识（而非成为纯粹的数学家），让他们尽早接触广泛的数学视野将更有益处。这样，他们就能更快地将所学应用到自己感兴趣领域的实际项目中。
有人可能会持不同观点：「学生应该『深入』钻研已学过的数学知识，等到时机成熟再学习其他数学科目。」这种说法乍听有理，但实际上后半部分并不成立。数学领域浩如烟海，即便是数学专业的学生，也只能涉猎其中很小的一部分。
学生毕业后也很难在工作中「现学现用」其他数学科目。如果你正在尝试解决前人未曾攻克的前沿难题，就不存在能指引你学习哪些额外数学知识的「既定路径」。而且，要意识到某个数学领域可以帮助解决你的问题，你通常需要事先对该领域有相当深入的了解。
在实践中，学生「在准备好时学习其他数学科目」的唯一可行方法，就是在校期间尽可能广泛地学习数学知识。
关键论文
注意：「重要性」部分可能包含了本章前文中直接引用的片段。如需引用本章内容，请以正文（上文）为准。
- Bernstein, B. O., Lubinski, D., & Benbow, C. P. (2021). Academic acceleration in gifted youth and fruitless concerns regarding psychological well-being: A 35-year longitudinal study. Journal of Educational Psychology, 113(4), 830.
重要性：人们对高潜力学生接受加速教育可能产生长期社交/情感负面影响的担忧是缺乏依据的，这与短期影响的研究结果不谋而合。经历过加速教育的人很少因此感到后悔。事实上，如果说有什么遗憾的话，他们反而倾向于希望当初接受更多的加速教育。 - Wai, J. (2015). Long-term effects of educational acceleration. A nation empowered: Evidence trumps the excuses holding back America’s brightest students, 2, 73-83.
重要性：数十年来，大量实证研究都支持对天才青少年实施教育加速。教育加速本质上是一种适当的学习进度和安置方式，确保优秀学生能够终身投入学习。那些在学校经历过加速教育的成年人在教育和职业方面取得了更大的成就，并对自己的选择以及这些选择对生活其他方面的影响感到满意。证据明确支持允许希望加速的学生这样做，而不支持阻碍他们的发展。 - Kulik, J. A., & Kulik, C. L. C. (1984). Effects of accelerated instruction on students. Review of educational research, 54(3), 409-425.
重要性：接受加速教育的学生通常能在更短时间内，掌握与普通教育环境中相对更长时间才能学到的知识量。具体来说，接受一年加速教育的优秀学生（即在一年内完成两年的学习内容）与同样优秀但大一岁且未接受加速教育的学生相比，学习成效不相上下。 - Park, G., Lubinski, D., & Benbow, C. P. (2013). When less is more: Effects of grade skipping on adult STEM productivity among mathematically precocious adolescents. Journal of Educational Psychology, 105(1), 176.
重要性：在其他条件相同的情况下，通过加速学习而提前开始职业生涯，将使个人能够在成年早期投入更多时间进行创造性工作，这必然会导致其在整个职业生涯中取得更高水平的成就。数学天赋出众且实施跳级的学生更有可能获得高级学位并在 STEM（科学、技术、工程和数学）领域取得卓越成就。与智力水平相当但未跳级的同龄人相比，这些学生不仅更早实现这些目标，而且在 STEM 领域积累了更多的引用和高影响力的学术成果。」
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Thoughts Memo：第八章 有效练习的迷思与现实下一章：
Thoughts Memo：第十章 主动学习Thoughts Memo 汉化组译制
感谢主要译者飛鳥湊，校对 Jarrett Ye
原文：The Math Academy Way: Using the Power of Science to Supercharge Student Learning