⠀⠀⠀摘要：递进式学习是一种在已有知识基础上持续积累学习的方法。它强调通过不断学习新知识，从而使得这些新知识能够应用和强化先前掌握的基础知识或相关知识。这个过程使得已学习的知识变得更加牢固、系统，并得到更深入的理解，从而增强学生知识体系的结构完整性，使其更容易吸收新知识。为了充分利用递进式学习的优势，Math Academy 在学生掌握必要的前置知识后，立即引导他们进入新主题的学习。同时，我们通过采用高度关联的课程设置，来确保新主题能够练习并深化先前学习的内容。
知识促进与结构完整性
| 知识促进
随着学生学习的内容逐渐深入，已有的基础知识被不断强化和深化。在学术领域，这种现象被称为知识促进：当新的学习任务应用先前任务中学到的知识时，学习效果便以两种方式实现提升：
- （回溯性促进）新任务能够唤起对先前知识的记忆，其效果与温习先前任务相当，从而实现长期记忆（Ausubel, Robbins, & Blake, 1957; Arzi, Ben-Zvi, & Ganiel, 1985）。
- （前瞻性促进）在先前任务中获得的知识能够帮助学生更好地掌握新任务中的特定知识（Arzi, Ben-Zvi, & Ganiel, 1985）。
我们可以用一个具体的数学例子来说明：乘法是长除法和指数运算的基础技能。当你学习长除法时，你同时也在练习更基本的乘法技能。这不仅强化了你的乘法知识（回溯性促进），还为你日后学习指数运算奠定了基础，从而使得学习过程变得更加容易（前瞻性促进）。
要想充分发挥知识促进的效果，关键就在于不断地在已有知识基础上进行递进——也就是说，持续获取新知识的同时，运用和强化已掌握的基础或相关知识。一般来说，一项知识与其他知识（包括神经、认知、社会和经验层面）的联系越多，这项知识就越牢固、系统，理解也就越深入（Cross, 1999）。同时，通过这些广泛的联系，我们也能更容易地通过扩散激活来回忆这些知识。因此，增加知识间联系的最有效方法就是不断在现有知识的基础上进行拓展和积累。
| 知识结构的完整性
知识的递进式学习会形成结构完整性，这是一个广为人知的工程学概念，它同样适用于知识领域（个人知识的底层结构被称为认知图式）。就像在工程系统中添加高级功能可能会暴露出底层结构中先前未知的薄弱环节一样，在学习过程中，新知识的引入有时也会揭示出已有知识体系中的不足。这就要求我们不断强化和完善知识的基础结构，以确保整个知识体系能够容纳新元素且不失去其完整性。
加强知识的基础结构通常需要改进其组织方式，使之更加系统和优雅。对于学生来说，这个过程能够带来更深刻的理解和洞察。总而言之，就像增强系统的结构完整性能够使添加新功能变得更加容易一样，当学生的知识图式变得更加完整和系统时，吸收新知识的过程也会变得更加轻松自如。
我们如何进行递进式学习
为了充分发挥递进式学习的优势，Math Academy 采用了两个关键策略：
- 一旦学生掌握了前置学习知识，就立即引导他们学习新的主题。
- 设计高度关联的课程体系，使新主题能够练习并深化先前学习的内容。
在 Math Academy 平台上，学生完成一节课程后，新的课程内容会立即解锁。虽然学生之后会复习已学内容，但他们不会被「束缚」在已掌握的主题上，进行不必要的反复练习。这与传统课堂形成鲜明对比，在传统教学中，学生往往被限制在班级统一的学习进度上，即使他们已经掌握了前置知识，也无法学习课程安排靠后或更高年级的进阶概念。
此外，Math Academy 的课程结构经过精心设计，确保早期学习的主题在高级主题中得到充分应用和强化。我们的课程包括：
- 高级应用主题：帮助学生从纯粹的数学理论框架过渡到涉及实际应用题的情境；
- 主题间联系课程：专门教授不同主题之间不易察觉的潜在联系；
- 综合性问题：将多个前期学习的主题融合在一起，逐步探索复杂的，有挑战性的问题情境。
我们的教学原则也体现了高度的知识连贯性：每节课都应涵盖学生在真正掌握该主题后合理预期能够解决的所有类型的问题。
值得注意的是，与 Math Academy 不同，许多其他教育资源违背了这一原则，因此失去了递进式学习的优势，因为他们的高级主题实际上并不练习和巩固先前所学内容。例如，一些简化版的微积分课程避开了所有涉及复杂代数运算的问题，只覆盖最基础的情况。结果，上这些课程的学生不仅无法解决课程范围之外的标准问题，还无法强化自己的基础知识，这可能导致他们在学习高级数学课程的同时遗忘大量基础数学知识。
关键论文
注意：「重要性」部分可能包含了本章前文中直接引用的片段。如需引用本章内容，请以正文（上文）为准。
- Ausubel, D. P., Robbins, L. C., & Blake Jr, E. (1957). Retroactive inhibition and facilitation in the learning of school materials. Journal of Educational Psychology, 48(6), 334.
重要性：当新任务应用先前任务中的知识时，这个新任务能够像完全重复原始任务一样有效地提高对该知识的记忆。 - Arzi, H. J., Ben-Zvi, R., & Ganiel, U. (1985). Proactive and retroactive facilitation of long-term retention by curriculum continuity. American educational research journal, 22(3), 369-388.
重要性：递进式学习能够提高对先前知识的保留和新知识的获取。因此，由学习单元按层级顺序组成的课程比不连贯的离散课程组合更为有效。 - Cross, K. P. (1999). Learning is about making connections. The Cross Papers; 3.
重要性：与某一知识点相连的连接越多，这一知识就越根深蒂固、组织有序且理解深刻，也就越容易被回忆起来。
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感谢主要译者 Jarrett Ye，校对白侑
原文：The Math Academy Way: Using the Power of Science to Supercharge Student Learning