针对学习数学证明的刻意练习

针对数学的刻意练习是什么样的？我具体指的是，自学本科和研究生阶段以证明为主的数学知识。（所以我不考虑高中之前更早阶段的数学，大学中证明成分较少的微积分和线性代数，数学竞赛，以及数学研究。我对数学研究很感兴趣，但这个问题似乎更难讨论。为什么不考虑数学竞赛？因为那些题目对我来说挺无聊的。）

对刻意练习的认知：Ericsson 的研究可信吗？值得我们信任吗？我认为：我们不一定要信他，但他的研究对错与否也没什么关系。我看中的是这个研究是否足够合理，我能否从这个研究中学到新东西。当将其应用到学习之后，我们可以问：「利用刻意练习的理论，我们是否在某个技能上突飞猛进？」换句话说，我们不是把他的研究作为一个必须坚持的结论或信念，而是当作需要斟酌的假说。

数学是「高度发展的领域」吗？

Ericsson 在《刻意练习》一书中，以及 Cedric Chin [1] 都声称，数学是非常适合刻意练习的领域。但我怎么看不出来呢？我看到书里的例子都是网球、记忆数字、音乐之类。

我翻遍了《刻意练习》整本书，里面确实有一些关于数学家及其特质的讨论，但整本书都没有涉及学习数学的具体技巧，也没有描述数学家会做什么样的「刻意练习」。

在数学中应用刻意练习的困难之处

可以参考 https://commoncog.com/blog/the-problems-with-deliberate-practice/ 中关于「在缺乏成熟训练方法的领域中，练习会遇到哪些问题？」的讨论。

我觉得数学有「定义不良的子技能」这个问题。在本科数学中，我们很难明确界定具体包含哪些技能。理解证明的能力？解决问题的能力？我觉得这些技能作为技能分类太过宽泛了。也许可以细分为「解决特定类型问题的能力」。然而教科书上的练习并没有标注练习的各项属性，因此我们很难有针对性地选择题目来提高特定技能。

本科水平的证明题太长了，你没办法进行「达到 95% 的准确度」之类的练习——你无法在短时间内完成足够多的练习来达到这个标准。

Kathy Sierra 在 Badass: Making Users Awesome 这本书中用一系列插图来指导如何拆解技能（特别是最后一张图）。所以对于证明题，我觉得可以这样做来实现刻意练习的（也是经常做的），那就是放松一些假设条件，让问题更简单，或者证明一个特例。不过已经有人这样做了。另一种简化方法是先看一眼解答，然后尝试自己解决。这两种方法都是常见的学习技巧。

「缺乏反馈」——这是自学数学时面临的另一个重要挑战。获取反馈的唯一办法，是查看答案，或者在数学 Stack Overflow 上发帖求助。针对特定书目/领域的 Discord 服务器可能解决这个问题，但反馈会很慢。这跟如果概念的现有解释质量低下，费曼学习法起不了作用^[1]一样（如果现存的解释质量很糟糕，你甚至不能使用费曼技巧来获取假反馈）。

但我们也有 Anki 这样的工具。

在某种程度上，随着数学水平的提高，学习者确实能够逐渐培养出自我反馈能力，例如判断数学推导是否正确。但是我觉得这样的反馈仍然不同于刻意练习讨论的那种。

我觉得可以设计一些能够提供良好反馈的多选题。你可以设定「在这道多选题上达到 95% 的正确率」之类的目标。

刻意练习定义的组成成分

https://www.lesswrong.com/tag/deliberate-practice

让我们看看可以刻意练习的要求有哪些：

有目的的练习（「挑战自我获得进步」[1]）：

定义良好，足够具体的目标。[1]良好定义的目标（比如连续完成三次练习不出错误）。如前所述，这在数学学习中是一个难点。数学证明往往冗长复杂，证明一次需要大量时间。而且，你也不能像处理高中水平的问题那样，简单地用随机数生成器来「重新生成」新的练习题。当然，你可以设定「完成本节所有习题」这样的目标，算是良好定义的，但这种似乎不完全符合这个要求的本意？那么，我们该如何判断一次数学学习是否成功呢？也许「我解出了一道问题」就够了。但这样不是很有趣。不过，在进行间隔证明复习^[2]或使用 Anki 进行定期复习时，设定这样的目标可能更有意义和可行性。「关键是要把那个笼统的目标——变得更好——转化为你可以切实努力并期待有所进步的具体事项。」[1] 因此，一个可能的方法是设定类似这样的目标：「在解题过程中，有意识地运用特定策略（例如，在适当的情况下运用归纳法；尝试概括问题，同时也关注具体例子）」。
专注：[1]「保持专注（学习者全神贯注于提升自己，而非注意力分散）」：我不确定数学学习是否完全满足这一要求...比如，当你在解决面前的问题或努力理解教科书内容时，你确实非常专注。这或许可以算作是专注？但另一方面，你通常不会刻意地意识到「我正在解决这个问题，目的是提高某项具体技能」，不是吗？
有反馈：[1] 如前所述，这也是数学学习中的一个主要难点。
走出舒适区：[1]「需要走出舒适区，在能力极限处练习」：在数学学习中，这一点似乎是自然而然地得到满足的。你不会去解决那些显而易见的问题，而是总是在尝试解决新的、引发你好奇心的问题。（好奇心往往会引导你去挑战那些恰好处于你能力边缘的问题。这些问题之所以看起来「有趣」，正是因为它们具有挑战性，但又不是完全无法解决）。

「明白何为优秀」/「有一个技能理论，并按照这个理论来指导练习」：关于什么才算是一个理论，我的理解还不够清晰。比如，「解决大量问题，你最终就会擅长数学」这样的说法恐怕并不能算作一个理论（天哪，这听起来更像是一种过于简单化的练习方法！）。《刻意练习》这本书主要强调了接触专家的重要性，据说专家能够通过观察你的表现来判断你需要在哪些方面进行改进。

「这就是在任何领域中提升自己的基本方法：尽可能地接近刻意练习。如果你所处的领域可以实现刻意练习，那你就要做刻意练习。如果实现不了，那就要尽可能应用刻意练习的原则。这通常可以归结为一种带有额外步骤的有目的练习：首先，找出表现卓越的专家；然后，弄清楚是什么让他们如此出色；最后，设计能让你也做到这一点的训练方法。」[1]——从某种意义上说，「尝试证明一个定理，遇到困难，翻书寻找提示，然后找出你缺少的洞察力或者策略，并将其记录在 Anki 里」，这种方法正是这个原则在数学学习中的具体体现。

另外值得一提的是，刻意练习常常被视为防止技能停滞不前的一种方式；但在数学学习中，你其实不用太担心技能停滞的问题！只要你在不断学习新的数学知识，解决以前没有遇到过的问题，并且没有忘得太快（间隔重复在这方面非常有帮助），你就可以确信自己一直在进步。

目标

有一件事要弄明白，那就是为什么我们要「提高数学能力」？我们的最终目标究竟是什么？根据不同的目标，我认为我们应该采取的学习和练习方法也会有所不同。

与竞技象棋或游泳等领域不同，数学学习并没有一个明确的、单一的优化目标（尽管即使在游泳这样的运动中，你也可以追求速度以外的其他目标）。因此，在数学学习中，我们必须首先明确自己的学习目标。

关于我个人的数学学习方式，有一点似乎与常规不同：当我学完一个主题后，我通常不会刻意通过大量练习题来「进一步提高」。但也许我应该这样做？我的自然倾向是转向其他引起我好奇心的新主题。只有当某些情况提醒我时，比如遇到一个具体的问题或困难，我才会回头复习之前的主题。

另一个难点是理解什么是「所期待」的掌握程度，比如说，对于任意一个重大定理，只要听见名字，就能坐下来默写一遍证明，应该达到这样的水平吗？还是说，如果一个人在证明过程中遇到困难，但最终通过几个小时的努力（依靠记忆和一般的解题经验）成功完成证明，这样也可以接受？学界对于一个数学家应该掌握哪些知识并没有明确的标准。

我的一些目标：

我希望能够理解某些数学概念或结论背后的缘由。这个目标某种程度上取决于你对解释水平的要求。
能够识别出某个场景下有哪些数学知识与其有关，并将其应用。

参见

参考

↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Peak: secrets from the new science of expertise. Anders Ericsson, Robert Pool.

外部链接

一些链接（我觉得这些链接没啥用，但我也只能找到这么多了）

链接到本文

数学的刻意练习 (redirect page) ‎ (← links)

Thoughts Memo 汉化组译制
感谢主要译者 Shom，校对 Jarrett Ye
原文：Deliberate practice for learning proof-based math

参考

1. 如果概念的现有解释质量低下，费曼学习法起不了作用 ./603404706.html
2. 间隔证明复习 ./554633227.html

专栏：Issawiki

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