如何评价这篇关于「学习数学不需要做题」的文章的观点？

问题描述

原文链接: 学习数学要做题吗?_百度知道

我一直不明确的问题。

1）如何处理习题与知识之间的平衡？是靠做题理解知识，还是靠高观点理解习题或者技巧？

2）如何看待“几何直觉”？我一直觉得“几何直觉”是很重要的但似乎很少有人强调，很多数学成果的发现都是依赖几何直觉的（或者是类似的什么直觉）

原作者已经是数学领域的专家了，他给出的建议并不适用于初学者：

认知心理学中有一个广为人知的现象，对专家学习效果最好的教学方法，对新手而言学习效果最差，反之亦然。这被称为专业知识逆转效应（由 Sweller et al. 2003 提出）：

⠀⠀⠀「新手并不是缩小版的专家，所以对专家而言效果很好的做法（例如探索式学习、问题导向式学习［即通过小组合作解决开放式问题］、提问式学习）对新手来说效果并不好，甚至会起反作用（反之亦然）。」

……

| 反对努力练习即反对才能培养

迷思：测试、重复、计算和竞争会妨碍学习。

现实：在才能培养领域，没人会不明白这些方法的重要性。你能想象去跟一位体育教练说，诸如选拔赛、重复性技术训练、高强度体能训练、根据队内对抗赛及对外竞技比赛表现分配上场时间等常规培养手段，会不利于体育人才的培养吗？

> 测试和重复是有必要的

我们在之前破除迷思时已经讨论过，测试练习和间隔练习（也被称为间隔重复）是两种最高效的练习方法。我们也讨论了刻意练习的重要性，这种方法通过精心设计的个性化训练活动，结合重复训练和逐步的改进，有针对性地提升学生在特定方面的能力。研究表明，这种训练方式正是造成个体表现差异的关键原因，即使对于天赋出众的顶尖人才也不例外。

理性讨论中，没有人能否认，不通过测试和重复训练，就不可能实现学习效果的最大化。如果有人试图反驳这点，那么他们其实就是反对学习效果最大化这一前提。这本身无可厚非——毕竟许多人更希望教育过程能优先满足趣味性和娱乐性，与此同时仅以低标准浅尝辄止一些表层的基础技能，但这和才能培养是完全背道而驰的。

此外，像数学这样具有层级性的学科，每一项高阶技能都需要以复杂的方式运用诸多较为简单的技能，回避测试与重复训练会导致学习的过程困难重重。要学习一项复杂技能，学生首先必须熟练掌握那些较为简单的组成技能，而要轻松自如地运用这项复杂技能，学生必须对这些简单的组成技能运用自如。如果学生对每一项技能都无法达到熟练掌握并最终实现运用自如的程度，那么他们在学习那些以这些简单技能为组成部分的高阶技能时，注定会困难重重。测试与重复训练是最能直接帮助学生实现熟练掌握并最终达到运用自如程度的两种学习策略。（需要明确的是，重复训练并非是让学生在已经掌握某项技能之后还进行过度练习，而是在让学生继续学习更高级的技能之前，给予他们足够的练习，使其达到熟练掌握的程度。）

以上内容节选自 @Thoughts Memo 汉化组的译文《第八章有效练习的迷思与现实》

但是做题本身亦有讲究，并不是无脑刷题就能学好数学：

传统的家庭作业通常集中于单一主题或几个密切相关的主题，要求学生进行大量重复练习，远超最小有效剂量。然而，这种方法的效果远不如将各类问题分散或交错安排在多个复习作业中。后一种方法涵盖了广泛的已学主题，不仅效率更高，还能培养学生灵活运用适当解决方法的能力，使他们更好地应对各种类型的问题。
然而，研究表明（参见 Rohrer, 2009 的综述），尽管交错学习能够极大地提高知识的保留和泛化能力，学生却往往错误地认为自己学到的东西更少，这是因为交错学习增加了认知负担。教师也可能被这种现象误导。虽然交错学习能提高学生在综合测试中的表现，但实际上会降低家庭作业的成绩。相比之下，如果学生陷入机械地将同一种解决方案反复应用于同类问题的模式，家庭作业的成绩可能会虚高，但这并不能真实反映学习效果。
这种误解为学生和教师都提供了一种便利的信念。对学生而言，它使他们能够尽可能快速轻松地完成作业，同时「觉得」自己正在掌握新技能，即使他们在真实的评估中可能无法稳定地展示这些技能。对教师而言，这种信念使他们能够给出良好的作业成绩，并「觉得」这些成绩真实反映了学生的学习情况。然而，这样做让他们可以避免花费额外精力来安排适当间隔的混合复习计划，也不必应对学生可能提出的更多更复杂的作业问题。

以上内容节选自 @Thoughts Memo 汉化组的译文《第二章学习的科学》

一个有效的适应性学习系统应该聚焦于特定学科的学习任务，并根据观察到的学生实际学习速度进行调整，而非基于他们所谓的偏好学习风格。每个学生都需要获得足够的练习机会，以便在每项学习任务上达到精通水平——这个「足够」的练习量可能因学生个体和具体学习任务的不同而有所差异。

对于那些通常需要比他人更多练习的学生来说，这个事实可能令人稍感沮丧。但我们要再次强调本章前面引用的一项研究，该研究表明，一旦任务被学习到足够的熟练程度，工作记忆容量对任务表现的影响就会减弱（Reber & Kotovsky, 1997）。

⠀⠀⠀「研究结果显示，参与者首次尝试解决『球和盒子』谜题时，其表现受到了显著影响。具体来说，参与者解题速度的减慢程度与同时进行的次要任务所引起的工作记忆负荷增加程度成正比。有趣的是，当参与者第二次面对同一谜题时，尽管谜题难度仍然较高，他们的表现却大幅提升。更值得注意的是，此时相同的工作记忆负荷不再影响他们解决问题的效率。这一发现表明，工作记忆容量减少的影响主要集中在首次解决谜题的过程中。换言之，学习如何解决谜题这一关键步骤，作为首次解题的核心内容，会被增加工作记忆负荷的次要任务所延缓。」

更广泛地说，正如 Unsworth & Engle (2005) 所阐述的：

⠀⠀⠀「……工作记忆容量的个体差异主要体现在需要某种形式控制的任务中，而在那些只需相对自动化处理的任务中，差异几乎可以忽略不计。」

从这个角度来看，额外的练习不应被视为对学习速度较慢的学生进步的限制，而应被看作是一种赋能工具。它能帮助这些学生发展更强的自动性，从而减少认知差异对他们学习速度的影响，使他们能够继续学习更深入的内容。

我们强调，这完全符合成长型思维的理念，事实上，这是保持成长型思维的必要组成部分。没有人的当前知识水平是「固定的」或不可改变的。为了支持每个学生并最大化他们的学习效果，有必要为某些学生提供比其他人更多的练习机会。调整练习量以适应学生学习速度的个体差异，其根本目的是在最大程度上支持学生的成长。实际上，如果缺乏这种适应性，学生的成长必然会受到阻碍：

如果一个学生理解得较慢，而你没有给他们足够的练习机会，反而在他们尚未掌握当前内容就匆忙将他们推进到下一个阶段，那么你很快就会把他们推到远远超出他们能力的深度。结果是，他们只会一直挣扎，而不是真正学到东西，这无疑会阻碍他们的成长。
同样，如果一个学生很快就掌握了某个内容，而你却让他们练习的时间远远超过必要，而不是允许他们转向更具挑战性的材料，这也会阻碍他们的成长。

……

| 艰难并不意味着无能

迷思：如果你在数学课上表现得很糟糕，这就意味着你无法学会这个等级的数学。

现实：如果你在数学课上表现得很糟糕，并不一定意味着你无法学会这个等级的数学。可能有多种原因导致你的艰难。虽然每个人的数学潜力确实有其上限，但我们所遇到的瓶颈往往并不代表我们真正的、如 Hofstadter 所描述的那种「抽象天花板」。各种因素可能会人为地降低我们的天花板，比如基础知识缺失、练习习惯不佳、无法或不愿意进行额外练习，或缺乏动力。

> 艰难可能源于基础知识的缺失

随着年龄的增长，人们会积累生物损伤，最终达到一个临界点，引发一连串的健康问题。学生在学习数学时也会出现类似的情况。

学生在数学学习中会积累弱点和知识缺口——即便成绩是 B+ 或 A-，也意味着课程中有些内容学生并未完全理解，更不用说掌握。此外，如果学生所学课程不够全面，未涵盖一些在高阶课程中被视为先验知识的主题，也会导致知识缺口。一旦学生积累了足够多的知识缺口（顺便说一句，一个缺口会引发更多缺口），那么除非采取适当的补救措施来填补这些缺口，否则学生将面临持续的困难。

……

学生通常在积累了大量知识缺口后就停止选修数学课程。通常的情况是，学生尝试按步骤模仿操作，而没有真正理解其中的原理，因为他们无法直观地领会所教授的新内容。不久之后，他们发现自己无法解决任何需要批判性思维或多步骤的问题。

这类似于职业运动员通常不是因为年纪太大而退役，而是因为积累了太多伤病。正如 Indiana Jones 所说：「不是年龄的问题，而是磨损。」或者如数学作家兼漫画家 Ben Orlin 幽默地描述的那样，这是「破沙发定律」：一个小小的缺失，随着时间的推移，会导致整个沙发变形，最终无法使用。

学生几乎可以肯定会在传统课堂中积累这些缺失。只有那些最有天赋和动力的学生才有能力和意愿自己识别并「自我修复」这些知识缺口。

在传统课堂上，学生常常在基础知识上遇到困难，但仍被要求完成更高难度的作业，这导致他们在没有真正理解内容的情况下「勉强应付」。
学生也不复习之前几年学过的内容，甚至通常不复习当前课程的内容，除非是在准备考试时。这导致他们很快遗忘所学知识，如果这些主题将来再次出现，他们需要从头开始重新学习。

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> 艰难可能源于无效的练习

正如我们在总结学习科学时所解释的，有效的学习就像与私人教练一起锻炼。它应以刻意练习为核心，这是一种主动学习方式，通过重复和逐步改进，特别选择个性化的训练活动来提高特定表现。

我们将在后续章节中更深入地探讨主动学习和刻意练习，但以下是一些关键要点：

有效的学习是主动的，而非被动的。试图通过被动观看视频、听讲座、读书或重读笔记来学习并不有效。
刻意练习需要反复练习超出个人能力范围的技能。然而，这通常更费力且不那么愉快，可能会误导非专业人士在他们的舒适区内进行练习。
有趣、协作且非重复的课堂活动（如小组讨论和自由形式/非结构化的项目或探索学习）有时可以提高学生的动机，缓解与刻意练习相关的不适感——但它们只是刻意练习的补充，而非替代。
刻意练习必须是持续例行的一部分。刻意练习的力量来自于长时间内逐步改进的累积效应。它不是一种像考前突击那样的「灵丹妙药」。

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