⠀⠀⠀摘要：教育心理学家 Benjamin Bloom 因两项重要研究成果而闻名：首先，他证实了一对一辅导的学习效果极大地优于传统课堂教学；其次，他详细记录了才能培养与传统学校教育的差异。针对这些发现，Math Academy 正在开发一个创新的教育平台，该平台是一个自适应的、全自动的在线数学才能培养系统，它通过模拟专家导师的决策过程，致力于提供最有效的数学学习方法。
Bloom 的两个标准差问题
1984 年，教育心理学家 Benjamin Bloom 发表了一项具有里程碑意义的研究，该研究比较了一对一辅导与传统课堂教学的效果。研究结果揭示了巨大的差异：接受一对一辅导的学生平均表现超过了传统班级 98% 的学生。
这一发现引发了一个广为人知的教育学挑战，即 Bloom 的两个标准差问题：我们能否开发出与一对一辅导同样有效的群体教学方法？（「两个标准差」这一术语源自统计学，研究人员通常用标准差或西格玛 σ 来衡量干预效果。98% 的效应量略高于两个标准差（95%）。）
以下是 Bloom 的原话（Bloom, 1984）：
⠀⠀⠀「……最引人注目的发现是，在我们所能设计的最佳学习条件（即一对一辅导）下，实验组中普通学生的表现比在传统群体教学方法下的对照组高出两个标准差。
⠀⠀⠀辅导过程表明，大多数学生确实具备达到这种高水平学习的潜力。我认为，研究和教学的一项重要任务是寻找在更加切实可行的条件下实现这一目标的方法，而不是依赖于多数社会难以大规模承担的一对一辅导。
⠀⠀⠀这就是所谓的『两个标准差』问题。研究人员和教师能否创造出这样的教学-学习条件，使得在群体教学环境中的大多数学生能够达到目前只有在优质辅导条件下才能实现的成就水平？
⠀⠀⠀……
⠀⠀⠀如果关于『两个标准差』问题的研究能够产生实用的教学方法……这将是一项具有深远意义的教育贡献。它将改变人们对人类潜能的普遍认知，并将对学校在社会规定的教育年限内能做的和应做的事产生重大影响。」
Bloom 推测，如果能够结合各种基于实证的学习策略，特别是那些涉及不同变量（如学习者、教学材料、家庭环境或同辈群体、教师和教学过程）、应用于教学-学习过程的不同阶段的策略，那就有可能实现让学习效果得到两个标准差的提升。
这正是 Math Academy 所面临的挑战和追求的目标。Math Academy 正在通过将众多基于实证的认知学习策略整合到一个统一的在线学习平台中，来解决 Bloom 提出的「两个标准差」问题。我们的自适应、全自动化平台模拟专家导师的决策过程，旨在提供最有效的数学学习方式。
Bloom 的两个标准差问题的核心
正如第十三章将要讨论的，Bloom 之后的研究者们已经复现了精熟学习法的显著效应量，尽管可能不如 Bloom 所观察到的那么高。但这并不是关键。Bloom 的两个标准差问题之所以在 The Math Academy Way 中占据核心地位，是因为它明确了我们需要解决的根本问题：
恰当的个性化教学能够大幅提升学生的学习成效，但社会无法为每个学生都配备一名专属导师，那么我们该如何应对这一情况？
Bloom 的两个标准差问题的核心并非「一对一辅导的效应量恰好达到两个标准差」。实际上，它揭示的是「大量的学习潜力正被浪费，许多人的潜能没有得到充分发挥——我们如何才能充分利用这些潜能？」
Bloom 推测，通过结合各种基于实证的学习策略，我们能在很大程度上达到一对一辅导的效果——但他将研究限制在了可以人工实施的策略上（在一定程度上可以实施，但未必能完全实现）。这恰恰是致命的缺陷：由于受到人力教学资源的限制，这种探索未能取得成功。在当时计算机技术远不如现在发达的情况下，这种限制是可以理解的——但如今情况已经完全不同了。
自 2010 年代早中期以来，Math Academy 一直在努力继承这一使命，并尝试重新寻找解决方案。这一次，我们致力于突破人力教学的局限性，充分利用科技来实现更全面的个性化学习。我们从一个公立学区起步，在进行人力教学的同时力所能及地利用个性化学习的技巧，逐步建立起一个在线系统，实现部分工作流程的自动化，从而使这些教学方法得以比人工操作时更充分地发挥作用。最终，我们创造了一个效果惊人的教学机器（设想一下：初二学生就能通过大学预修课程微积分 BC 考试）。
才能培养 vs 传统学校教育
Math Academy 的核心理念植根于才能培养，而非传统的学校教育模式。乍看之下，这两种理念似乎没有本质区别：毕竟，学校教育的目标不就是培养学生的才能吗？然而，在对这个问题进行广泛而深入的研究后，Bloom 得出了一个令人震惊的结论：答案是绝然否定的。事实上，才能培养与传统学校教育之间存在着大量显著且关键的差异。这些差异如此之大，使得我们甚至难以说传统学校教育有益于培养才能。
在 Bloom 提出著名的「两个标准差问题」的同时期，他还投入到一项关于才能培养的大规模研究中。正如后来的研究者 (Luo & Kiewa, 2020) 所总结，Bloom (1985) 发现，在不同领域中取得卓越成就的个体，其成长经历存在着惊人的相似之处。这一发现使他对才能培养的过程做出了以下系统性概括：
⠀⠀⠀「心理学家 Benjamin Bloom 1985 年出版的开创性著作《培养年轻人的才能》为才能培养研究开辟了新领地。Bloom 深入研究了六个不同领域中的 120 名杰出人才，揭示了跨领域卓越成就背后的共同因素。在一次采访中，Bloom 这样阐述他的重要发现：
⠀⠀⠀『我们曾经认为，一个网球选手的成长轨迹会与一个钢琴演奏家、雕塑家、数学家或神经科学家的发展道路大相径庭。但我们的研究发现，尽管每个领域的具体内容和方法可能截然不同，但在家庭环境、教学指导等方面却存在着一套共同特征。无论在哪个领域，似乎都存在一个对才能培养至关重要的普遍过程。（Brandt, 1985: 34）』」
Bloom 认为，相比学术领域，这种才能培养的过程在体育领域得到了更有效的运用；通过复制有利的才能培养条件，我们有机会大幅提升学生的学习水平和学业成就：
⠀⠀⠀「我 [Bloom] 坚信，如果我们能够重现那些造就[杰出人才]的理想学习环境和支持条件，我们就能在几乎任何地方实现卓越的学习效果。
⠀⠀⠀……
⠀⠀⠀在体育领域，教育工作者做得非常出色。对于高中和大学的体育教练，我们没有什么可指导的。但一旦超出体育范畴，情况就变得零散而随机了。学生可能今年遇到一位优秀的老师，明年却碰到一位水平很差的老师。即使是在学术科目中，也存在各种偶然因素的影响。……学校似乎难以包容那些学习进度与其他人不同步的学生。」
根据 Bloom 和 Sosniak (1981) 的观点，传统学校教育与才能培养之间的一个主要区别在于，学生主要是按年龄而非能力进行分组，且每组以统一的步调推进课程。组内的所有成员都参与相同的任务，而且本就预期不同学生会达到不同的技能水平。
⠀⠀⠀「学校的课程安排和教学标准的制定主要基于学生的年龄。课程内容和学习体验据说是适合该年龄段或年级的大多数学生。尽管可能会根据学习进度的差异做一些调整，也可能在同一年级或班级内针对个别学生调整教学标准，但每个学生基本上都是作为群体的一员接受教育，教师和教学材料都尽可能给予所有学生同等对待。
⠀⠀⠀……
⠀⠀⠀在学校的教学过程中，群体是核心，针对个别学生的调整极其有限。如果整个群体在学习中遇到困难，教师会反复讲授该任务或技能，直到部分学生掌握为止。然而，通常情况下，并不期望所有学生都能将一项任务或技能掌握到相同的水平，也很少使用反馈-纠正的方法来帮助所有学生达到同样的成就标准。
⠀⠀⠀由于无法期望每个学生都达到相同的标准或水平，学校采用因人而异的评价标准，但布置给所有人的学习任务仍保持一致。某些学生被期望能够将一项任务掌握到较高水平，而其他学生则只被期望达到相对低得多的水平。」
然而，在才能培养领域，教学方法是完全个性化的。学习任务是基于每个学生的具体需求来设计的，每位学生在进阶到更高级的技能之前，必须将每项技能掌握到足够精通的水平。学生们掌握技能的速度各不相同，但最终都需要达到同一个基准线。评估学生进步的依据不再是他们在已修课程中的学习水平，而是转变为他们能够达到合格标准的最高级技能水平。
⠀⠀⠀「杰出人才所接受的指导中，有相当一部分采用一对一的形式。钢琴家每周会上一到两节私教课；游泳运动员虽与其他人共用泳池训练，但也接受定制的个性化指导；数学家在早期虽少有系统性的指导，但几乎都是独自学习，或与某一位成人或同龄人一同学习。
⠀⠀⠀每周的部分教学都由一位教师（导师）主导。他们会评估学生的需求，制定学习目标，并在教学过程中不断提供反馈和纠正。这种教师还会布置适当的练习，强调需要解决的具体要点或问题，并为学生设定完成期限。到期时，学生展示学习成果，教师则会记录学生的进步，指出待改进之处，给予纠正指导，继而设计新的教学内容和实践方法。教师会对学生的成就予以赞扬和鼓励，达标后再设定新的任务、目标和要求。这样一个学习新内容、设立目标、达到标准、获得激励的过程循环往复，推动学生进步。
⠀⠀⠀在才能培养中，每个孩子都被视为独特的个体，教师（导师）会制定适合孩子的学习任务，给予孩子认可且能引发其积极性的奖励，并按照量身定制的节奏来调整学习进度。以孩子的学习速度为核心，教师不断调整教学方法以配合孩子的才能发展。教师为每个孩子设定的目标和标准，都是针对具体任务，要求孩子以特定方式完成。尽管有时会与其他孩子比较，但重点始终是让孩子完成为其定制的个人学习任务。」
概括地说，Bloom & Sosniak (1981) 对学校教育和才能培养的差异做出了如下总结：
⠀⠀⠀「总体而言，学校教育侧重于群体学习和特定学科知识或技能的传授。相比之下，才能培养通常注重个人及其在特定领域的进步。在学校的群体学习环境中，教学很少针对性地帮助学生解决其在学习过程中遭遇的独特问题；而在才能培养中，至少在家长眼里，教学仅当其能够帮助个人取得明显进步、克服学习障碍并不断提高成就水平时，才会被认为是有效的教学。」
他们还指出，这些差异与教师责任范围密切相关：在传统学校教育中，教师关注「横向范围」内的大量学生，局限于短期内课程的一小部分内容；而在才能培养中，教师需要对数量较少的学生承担「纵向」责任，长期指导帮助每个学生掌握一系列递进的技能。
⠀⠀⠀「……[在才能培养中，教师]着重关注孩子在每次课程之间的进步，以孩子某一时刻的水平为基准来衡量其后续成长。...教师关注的是孩子的整体成长，及其朝着潜在的最高水平迈进的过程。这种教学理念基于教师对同一个孩子持续多年的长期指导，以及他们对特定孩子的潜力所抱有的长远展望。
⠀⠀⠀相比之下，学校是以课程为单位组织教学的。尽管某一学科的课程可能跨越十年或更长时间，但每位教师通常只负责学生一个学期、一学年乃至一门课程的学习。而且，教师仅对这段特定时期内的教学成果负责。教师评判每个学生时，主要是将其与同年级或同班级的其他学生作比较。每个年级的教师主要关注该年级应有的教学内容和学习目标。他们很少关注学生已经掌握了哪些知识，或者每个学生需要哪些准备才能顺利过渡到下一个年级或课程。」
Bloom 和 Sosniak (1981) 还观察到，这些差异如此显著，以至于传统的学校教育通常甚至无法被认为有益于才能培养。正如 Bloom 所描述的，才能培养不仅与学校教育不同，在许多情况下甚至与之完全背道而驰：
⠀⠀⠀「对于我们研究样本中的一部分人而言，才能培养和学校教育几乎是他们生活中两个完全分离的领域。……通常是学生自己做出调整，在完成所有学校要求的同时，再另寻时间、精力和资源来进行才能培养，从而调和两者间的矛盾。……数学天才们会自主寻找并钻研专业书籍，参与校外的特殊项目和计划。
⠀⠀⠀有时学校或个别教师会做出一些微调来缓解这种冲突。例如，数学天才可能会被准许不参加对他们来说过于简单的课程，转而在图书馆自主学习。有时，作为对他们校外学习的让步，学校会让他们跳级。
⠀⠀⠀……
⠀⠀⠀无论是学生个人还是学校做出这些调整，显然都只是尽可能减少了两种教育方式之间的冲突，但对培养才能几乎没有额外帮助。学生能够同时应对学校教育和才能培养，尽管两者几乎没有交集。……才能培养和学校教育是相互孤立的。学校教育并不促进才能培养，但在这些情况下，它也没有妨碍才能培养。」
尽管在 Bloom 的研究中，其他参与者的学校教育与才能培养之间存在更多交集，但这种重叠并不都带来正面影响。实际上，他们的经历可谓喜忧参半：
⠀⠀⠀「对于我们研究样本中的第二类群体，学校经历反而阻碍了他们的才能发展。对这些人来说，才能培养和学校教育之间需求的矛盾很难调和。学校教育对他们而言确实成了一种煎熬。这些人发现，他们在特长领域的努力始终得不到教师、校长或同学的认可。
⠀⠀⠀……
⠀⠀⠀对于我们研究样本中的第三类群体，我们发现学校在才能培养中发挥了最为积极的作用。学校经历成为了才能培养过程中支持、鼓励、积极性和成就感的主要来源。……一些人从教师或校长处得到了才能培养的私人帮助。这些教师或校长注意到了孩子的特殊才能，并肯定了他或她的工作质量。……他们看到了学生的认真态度，并与学生共同追求极高的标准和卓越的成就。」
学校教育与才能培养之间相互独立的特点，以及当两者发生交集时所带来的褒贬不一的体验，与本章开头引用的Bloom 的一段话 (Brandt, 1985) 不谋而合：
⠀⠀⠀「……一旦超出体育的范畴，情况就变得零散而随机了。学生可能今年遇到一位优秀的老师，明年却碰到一位水平很差的老师。即便是在学术科目中，也存在各种偶然因素的影响。」
才能培养成本高昂令人却步
遗憾的是，目前在大多数领域（尤其是数学），除了一对一教学之外，几乎没有其他方案能够解决传统学校缺乏才能培养的问题。而这种一对一辅导对大多数家庭和学校来说，费用都高得令人望而却步。
为了更清楚地认识到这种方式有多昂贵，让我们来核算一下其成本。我们要回答的问题是：
⠀⠀⠀假设学生每天投入合理的学习时间，与学年期间原本需要投入的时间相当，那么若要通过一对一私人辅导将学生的数学才能开发到最大程度，需要花费多少钱？
在数学这样的学术领域，通常由专业导师提供一对一的私人指导。然而，需要明确的是，我们这里讨论的并非「常规补习辅导的成本」。我们所设想的导师「并非」仅仅协助学生完成课堂作业的辅助角色。实际上，这位导师将担任主要教学者的职责，更确切地说，成为一位私人教练——这位教练会根据学生的个人需求，制定并不断调整个性化的培训计划，进行一对一的才能培养。
我们假设聘请这样的家教是为了完全替代学生在学校接受的数学教育。保守估计，这种培训每天需要 1 小时，每周 5 天。（这个估计是很保守的，因为学生通常每天有 50 分钟的课堂时间，还要加上 30-60 分钟的家庭作业。）一位优秀家教的最低收费标准通常是每小时 50 美元。因此，按照每周 5 天，全年 52 周计算，年度费用将达到 13,000 美元（50 美元/小时 × 5 天/周 × 52 周/年）。
此处预估的最低成本与 Guryan et al. (2023) 的研究结果相吻合。他们报告了一项成功的低成本辅导计划：每个教学日提供 40 分钟的辅导，一名导师负责两名学生，每名学生每年的成本约为 4,000 美元。在这项计划中，导师每年只领取 16,000 美元的津贴（外加福利），但需要工作整个教学日（6 个课时）。如果按照这个标准，将辅导时间延长到每个教学日一小时，并完全改为一对一的个性化辅导，那么每名学生每年的成本将达到 12,000 美元（计算方法：4,000 美元 × 2 × 60/40）。
需要指出的是，尽管 Guryan et al. (2023) 提到的这些导师具备扎实的数学技能，但他们并不等同于我们前面所讨论的那种致力于长期才能培养的专业教练。这些导师更多是「愿意投入一年时间从事公共服务的人——比如应届大学毕业生、退休或转行的人员——他们不一定经历过教育学训练或拥有丰富的教学经验。」显然，那些真正的长期专家导师不仅费用更高，而且也更难找到。
此外，虽然确实存在数学「人才搜索」竞赛，优胜者可获得免费的才能培养机会，但实际上只有极少数高天赋学生参与这些考试并最终入选，而且他们接受的才能培养时间相当有限。正如数学家 George Berzsenyi（2019）所言：
⠀⠀⠀「每一轮考试的参与资格都取决于前一轮竞赛的成绩，因此整个过程在很大程度上都是为了从中筛选出约 60 名学生参加为期三周的美国数学奥林匹克夏令营 (MOSP) 。最终，其中 6 名学生将被选中代表美国参加国际数学奥林匹克竞赛 (IMO) 。
⠀⠀⠀这种做法一直让我感到困扰：几十万学生参加美国数学竞赛 (AMC) ，发现其中有数万名学生具有卓越天赋，却只选择 60 人参加短暂的才能培养项目，而忽视其他所有人。我们期望这些被忽视的学生能自行发展能力，如果没有因此气馁的话，还要在第二年再次回来证明自己的实力。」
Math Academy 致力于让数学才能培养课程惠及所有有志于此的认真学生。通过将培训成本从 13,000 美元降至每年 499 美元（约为原价的 26 分之一），Math Academy 让比以往多得多的人能负担得起优质的数学才能培养课程。
才能培养的阶段
| Bloom 的三阶段才能培养过程理论
研究者 Gordon Bloom (2002) 对 Benjamin Bloom (1985) 的观察进行了总结：才能培养的过程可以划分为三个阶段；学生在特定天赋领域中的活动从刺激有趣的游戏时光，转变为密集且严格的技能磨练，最终发展出个人风格并推动该领域的边界。
⠀⠀⠀「Bloom (1985) 的研究揭示了专业人才的才能培养的三个阶段……被称为早期阶段、中期发展阶段和技能完善的最终阶段。
⠀⠀⠀……
⠀⠀⠀[早期阶段始于]个人首次接触到所在运动领域的各项活动。......在这个阶段，教练或老师会给予学习者大量积极的反馈和认可，让孩子们尽情玩耍和探索这项运动的各个方面。奖励主要基于所付出的努力，而非所取得的成就，教练也很少对孩子们提出批评。
⠀⠀⠀……
⠀⠀⠀在第二阶段或中期，个人开始全身心投入到追求卓越的目标中。对于网球运动员来说，这项运动不再仅仅是一场『游戏』，而是变成了『真正的事业』。在发展的早期，教练们擅长激发运动员的兴趣和热情。然而，到了中期阶段，运动员和他们的父母意识到他们需要有人传授精确的技巧和战略。他们还需要调整自身技能，以突出自己的优势并弥补可能存在的弱点。此时，培养才能成为学习者的首要任务。教练对运动员提出了更高的要求，包括更多的努力、时间投入和自律。随着教练引入更具挑战性和策略性的训练内容，运动员的训练计划变得更加具有强度和深度。
⠀⠀⠀……
⠀⠀⠀在后期阶段，那些达到了极高水平的运动员获得了与该领域公认的大师级专家合作的机会。这些运动员全身心投入到他们所选择的领域，愿意为追求卓越做出任何必要的牺牲，包括承担更高的开支和经常更换居住地。此时，运动员和专家教练之间的关系演变成相互尊重和平等合作的关系，双方更少关注教学方法，更多地专注于战术的精进和个人风格的发展。这些教练激励他们的学生去挑战和超越人类已知的能力极限。『这一点在奥运会游泳运动员身上尤为明显，他们被期望打破人类历史上前所未有的记录。同样，数学家们也被期望解决前人的未解之谜。』(Bloom, 1985, p. 525)」
Math Academy 致力于引导学生度过才能培养的第二阶段，这一阶段的核心在于高强度且严格的技能培养。在此阶段，普遍认为学生已经具备充分的学习动力，无论这动力源自内在还是外在，都能推动他们投入到极具挑战性的练习中，从而最大化学习成效。
值得注意的是，Math Academy 可能并不适合两类学生：一类是仍处于 Bloom 理论第一阶段、希望通过教育的「游戏时间」来学习的学生；另一类是已经进入第三阶段、正在数学领域开展原创性研究的学生。
| Bloom 分类法常被误解
值得注意的是，尽管 Bloom 因其学习分类法而广为人知，但这一分类法经常被误解，偏离了前文讨论的 Bloom 三阶段才能培养理论。
这种误解源于：人们以为在学生的教育过程中，每个学年都应该均衡地涵盖 Bloom 分类法的各个层面。然而，Bloom 的才能培养过程理论指出，随着教育阶段的推进，各类别的时间分配应该有显著的变化（即在中期阶段侧重于分类法的基础层面，而在后期阶段则更注重高层次内容）。简而言之，Bloom 的才能培养过程理论主张先培养好基础技能，再转向创造性实践。
为什么这个顺序如此重要？为何不干脆在整个才能培养过程中，把时间对半分配给基础技能发展和创造性实践呢？答案将在第八章[1]详细阐述，主要包括以下几点：
- 大量实证研究表明，我们可以增加学生知识库中的实例和解决问题的经验的数量，
- 但缺乏证据表明，其他教学方法能够提高学生从这些实例中归纳总结的能力（这里说的其他教学方法，指的是除了让学生逐步接触更高级的实例和问题解决经验之外的方法）。
换言之，研究表明，提高学生在任何领域的问题解决能力的最佳方式，就是让他们在该领域获得更多基础技能。以下是一些相关参考文献：
- Teaching General Problem-Solving Skills Is Not a Substitute for, or a Viable Addition to, Teaching Mathematics(Sweller, Clark, & Kirschner, 2010)
- Putting Students on the Path to Learning: The Case for Fully Guided Instruction (Clark, Kirschner, & Sweller, 2012)
- Should There Be a Three-Strikes Rule Against Pure Discovery Learning? (Mayer, 2004)
- Why Minimal Guidance During Instruction Does Not Work: An Analysis of the Failure of Constructivist, Discovery, Problem-Based, Experiential, and Inquiry-Based Teaching (Mayer, 2004)
- Radical Constructivism and Cognitive Psychology (Anderson, Reder, & Simon, 1998)
了解了以上信息后，如果你的目标是在某个专业领域内做到极致，那么最优的理性策略就是采用「贪心」策略：
- 尽可能快地汲取该领域内你所追求的方向上所有的案例和解决问题的经验，用以扩充你的知识库。
- 直到触及人类在该领域的知识边界时，才转向创造性生产。
创造性生产在专业领域内是一种效率明显较低的技能获取方式，所以你应该把它留到最后，仅当它成为继续前进的唯一途径时才使用。
（简要回应一个可能的质疑：始终回避投入创造性生产，转而无限期地「横向扩展」、获取该专业领域非核心技能的做法，并不符合上述策略。）
关键论文
注意：「重要性」部分可能包含了本章前文中直接引用的片段。如需引用本章内容，请以正文（上文）为准。
- Bloom, B. S. (1984). The 2 sigma problem: The search for methods of group instruction as effective as one-to-one tutoring. Educational researcher, 13(6), 4-16.
重要性：在比较一对一辅导与传统课堂教学的效果时，研究发现接受个别辅导的学生平均表现超过了传统班级 98% 的学生。这一差异非常显著，其效应量达到了两个标准差的水平。 - Bloom, B. S., & Sosniak, L. A. (1981). Talent development vs. schooling. Educational Leadership, 39(2), 86-94.
Brandt, R. S. (1985). On Talent Development: A Conversation with Benjamin Bloom. Educational Leadership, 43(1), 33-35.
Luo, L., & Kiewra, K. A. (2021). Parents’ roles in talent development. Gifted Education International, 37(1), 30-40.
重要性：在各个领域中，那些取得卓越成就的人，其成长过程往往呈现出惊人的相似性，这使我们能够对才能培养过程进行概括性描述。然而，才能培养与传统学校教育之间存在着大量显著且关键的差异。这些差异如此之大，使得我们甚至难以说传统学校教育有益于培养才能。
传统学校教育与才能培养之间的一个主要区别在于，学生主要是按年龄而非能力进行分组，且每组以统一的步调推进课程。组内的所有成员都参与相同的任务，而且本就预期不同学生会达到不同的技能水平。
在才能培养领域，教学方法是完全个性化的。学习任务是基于每个学生的具体需求来设计的，每位学生在进阶到更高级的技能之前，必须将每项技能掌握到足够精通的水平。学生们掌握技能的速度各不相同，但最终都需要达到同一个基准线。评估学生进步的依据不再是他们在已修课程中的学习水平，而是转变为他们能够达到合格标准的最高级技能水平。 - Bloom, B. S., ed. (1985). Developing Talent in Young People. New York: Ballantine Books.
Bloom, G. (2002). Role of the elite coach in the development of talent. Psychological foundations of sport, 466-483.
重要性：才能培养的过程可以划分为三个阶段；学生在特定天赋领域中的活动从刺激有趣的游戏时光，转变为密集且严格的技能磨练，最终发展出个人风格并推动该领域的边界。
下一章：
Thoughts Memo：第二章 学习的科学Thoughts Memo 汉化组译制
感谢主要译者 claude-3.5-sonnet，校对 Ravioli-T、Jarrett Ye
原文：The Math Academy Way: Using the Power of Science to Supercharge Student Learning