为什么有些人阅读数学教材和自然科学教材会产生“不理解”的现象？

因为人会遗忘，而很多教材假设读者的工作记忆容量是无限的。实际上读者很容易会忘掉先前的文本，所以在阅读教材后面的内容时，他们的前置知识已经出现了缺口，自然会产生「不理解」的现象。

除此之外，很多教材常常违背认知科学，没有提供足够的引导和脚手架，导致认知门槛过高。

以下内容摘自 @Thoughts Memo 汉化组的译文《解释材料中假设了工作记忆容量是无限的》

解释材料中假设工作记忆有无限容量，这指的是很多解释材料假设读者的工作记忆的容量是无限的，也就是读者能阅读时能记住前文提到的所有内容。这样的解释对作者来说更容易写（因为写作者已经掌握了所有概念和微妙之处，他感觉没有必要「管理工作记忆」），也会在概念上更「整洁」（因为这样的材料直指话题的概念框架，而不必顾虑人类心理的各种细节）。然而这样的解释更难懂，因为工作记忆实际上是有限的。

可以这样理解，总有人要处理工作记忆的限制。如果解释者没有处理，那么读者就要承受管理工作记忆的负担。

这可能是产生显然的幻觉的机制之一。

很多解释材料会假设读者会管理自己的工作记忆限制，所以他们并没有跟踪工作记忆的负荷。这样一来，解释会很整洁，但也很难懂。

Thoughts Memo 汉化组译制
感谢主要译者 shom
原文：Unbounded working memory assumption in explanations

以下内容摘自 @Thoughts Memo 汉化组的译文《高数教材和课堂教学通常与认知科学脱节》

研究表明，提升任何领域解题能力的最佳途径，就是掌握该领域更多的基础技能。提升思维跃迁能力的方法，并非通过跳得更远，而是通过搭建桥梁来缩短所需跳跃的距离。然而，高等数学教材与课堂教学似乎侧重于训练跳跃能力，而非搭建桥梁。

为何有那么多人在高等数学上举步维艰？

原因之一在于，高数教材和课堂教学通常与数十年来关于学习的认知科学的研究成果相脱节（甚至常常直接违背）。

我说的不是如果教法得当，高等数学就会变得「轻而易举」。而是说，能学会它的人会比现在多得多。

高等数学对「g 因子」（一般智力因素）的要求很高，这给许多学生设置了认知门槛。引导式教学（或称「脚手架式」教学）的目标就是帮助学生跨越这一门槛。

当然，教材提供的引导/脚手架越多，编写工作量就越大，呈指数级增长。因此，实践中能提供的辅助程度是有限的，尤其是当教材仅由一位作者编写时。

但大多数教材甚至远未达到单个作者所能提供的理论极限，更不用说由内容编写团队所能达到的理论极限了。

任何尝试通过教材自学数学的人都曾遇到过这种令人沮丧的情境：书中的例题演示了某个特例，但随后的练习题却需要一次未被明确讲解过的逻辑跳跃。

有趣的是，许多人认为解决之道在于「摒弃例题，专注于传授通用的解题技巧」，但这其实根本行不通。

在认知科学文献中，有如山铁证表明，你可以增加学生知识库中的例题和解题经验数量，但缺乏证据证明你能提升学生从这些范例中进行归纳推广的能力。

（简要概述见 Sweller, Clark, & Kirschner, 2010: Teaching General Problem-Solving Skills Is Not a Substitute for, or a Viable Addition to, Teaching Mathematics）

换言之，研究表明，提升任何领域解题能力的最佳途径，就是掌握该领域更多的基础技能。

提升思维跃迁能力的方法，并非通过跳得更远，而是通过搭建桥梁来缩短所需跳跃的距离。

然而，高等数学教材与课堂教学似乎侧重于训练跳跃能力，而非搭建桥梁——尤其是在进入如实分析（Real Analysis）和抽象代数（Abstract Algebra）这类核心数学专业课程之后。

实践中真正有效的方法其实很简单：提供更多精心组织的例题，并在学生进入涵盖稍难情况的下一个例题之前，让他们针对每个例题进行配套练习。

这种方法能让你走得非常非常远，但大多数教育资源要么对此浅尝辄止，要么早早放弃，因为这要求的工作量太 TM 多了！;)

Thoughts Memo汉化组译制
感谢主要译者 gemini-2.5-pro-exp，校对 Jarrett Ye
原文：Higher Math Textbooks and Classes are Typically Not Aligned with the Cognitive Science of Learning - Justin Skycak
作者：Justin Skycak
发表于 2024 年 7 月 8 日

以下内容摘自 @Thoughts Memo 汉化组的译文《好的文字解释有什么特点？》

本文我专注于文字解释，所以我会忽略间隔重复卡片、可视化之类的手段。

• 确立读者所需的前置知识，介绍背景信息，之后以此为基础进一步阐述
  
  
• 模拟读者缺乏经验的心境
  
  
• 预计有哪些常见的误解或错误观念，并一一处理
  
  
• 预计读者会问哪些常见的问题
  
  
• 不要假设读者的工作记忆是无限的（这里说明了如果违反这条规则会有什么后果：解释材料中假设了工作记忆容量是无限的^[1]）
  
  
• 如果文中有指代相同概念的不同词汇/术语/短语，要明确说明（即使是技术领域，同义词也非常常见！）
  
  
• 指出哪些东西不是很重要，初学者不用关心，让读者集中注意力
  
  
• 如果同一个词汇/术语/短语指代了不同概念，也要说明（这个现象即使是在技术领域也非常常见！）
  
  
• 定义概念时要给全四种例子
  
  
• 对抗混淆：相连介绍看起来相似的概念时，停下来要说明这两个概念是否真的相似
  
  
• 告示读者有一些概念会过时，因为后续会进一步阐述
  
  
• 考虑概念的各种组合情况（参见遍历组合技巧，这是更相近的想法）——其实人们写作时会隐式地画一个表格，一列一个属性，一行一个例子，然后把一些单元格填满，但有些单元格没有填；举例说明这个想法不成立的地方：https://github.com/riceissa/project-ideas/issues/18
  
  
• 在具体和抽象之间交替解释
  
  
• 从头到尾都要提供很多例子
  
  
• 给出一个精确/技术性/可操控的模型以便读者摆弄
  
  
• 措辞要保证让读者读得懂（你措辞模糊，可能指代很多东西，或者用词抽象，读者不知道能联系到什么具体东西，读者就看不懂了；）
  
  
• 引入参数和变量时，要说明常见的值，也要说明极端的值
  
  
• 给出高质量的心理表征
  
  
• 比如给出数学概念的定义时也要说明人们在应用时心里是怎么想的
  
  
• 按照概念发现故事^[2]的结构设计
  
  
• 开头给出学习该领域的动机，回答「那又如何」——换句话说，如果有人因为话题看起来似乎有点酷，或者所有人都在讨论，而阅读你这篇文章，看到动机一节时，他们应该会非常感兴趣；你描述的动机，应该能增强读者初始的动机。不要写那种大多数文章里面一点即灭的动机，说什么「这个学科很重要」。这里就要问：什么样的动机是好动机？^[3]甚至很多偏向教学的数学解释材料都会遇到这个问题；虚假动机^[4]。
  
  
• 每个步骤都要说明动机
  
  
• 不仅要说明关键的洞见，而且要说明可用于发现这些洞见的通用方法
  
  
• 说明这个话题下容易想到但是失败了的方法/行不通的办法
  
  
• 定义压轴^[5]放最后
  
  
• 提问方法
  
  
• 请读者在阅读解决方案之前先自己思考一下。但这需要谨慎行事，以提高读者的兴趣，而不是吓唬他们。有关详情，请参阅管理学习中的微动作^[6]。

参见

• 解释学^[7]

外部链接

• https://issarice.com/math-explanations
  
• https://machinelearning.subwiki.org/wiki/User:IssaRice/Mental_representations_in_mathematics
  
• https://jvns.ca/blog/confusing-explanations/https://news.ycombinator.com/item?id=28254630
  
• 这个页面上的视频也讨论了一些提升解释文章质量的方法：https://www.3blue1brown.com/blog/some1
  
• 评判教科书^[8] by https://captchasamurai.github.io/homepage/index.html
  

链接到本文

• 解释材料中假设了工作记忆容量是无限的^[1] ‎ (← 链接)
  
• 我们仍然不知道系统性撰写优质文字解释的方法^[9] (← 链接)

Thoughts Memo 汉化组译制
感谢主要译者 Shom
原文：What makes a word explanation good?

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