高考完的暑假有必要补课高等数学吗？

问题描述

准大一学生，父母不知道在哪里找了高数补习班，高等数学有在暑假补课的必要吗？

提前学习当然很好，它能让你规避众多学业风险，为你开启各种职业机遇的大门，并让你能更早地把握这些机遇。

但是没必要补课，不如自学。如果你要提前学习大学数学的话，我建议可以试试 Math Aacademy，比补习班效率高多了。

以下内容节选自 @Thoughts Memo 汉化组的译文《技能提升指南》

终极教育妙招：提前学习

为什么要提前学习？因为它能让你规避众多学业风险，为你开启各种职业机遇的大门，并让你能更早地把握这些机遇（这反过来又让你能在整个职业生涯中取得更多成就）。

最小化风险

你知道吗，上语言课的时候，总有那么几个在家里就说这门语言的孩子，觉得课程简直易如反掌？这种方法同样适用于其他任何科目。当你在学校或大学正式上课前预习了课程材料，你几乎可以确保在这门课上拿到 A。

你能让自己免受各种风险的困扰，比如：

• 课程进度过快
• 概念一带而过
• 讲解含混不清
• 假定你已掌握重要却又经常被忽略的前置知识
• 不提供足够的练习机会
• ……

一门课可以被上百种不同的方式教得很糟糕，而大多数课程至少在其中某几个方面存在问题。这一点在大学里尤其有用，因为大学的讲座往往不适合作为某个主题的入门介绍。但如果你提前预习了材料，你就不必依赖老师的讲解，这意味着即便是最糟糕的教学也奈何不了你。

开启大门

当然，一个自然而然的疑问是：「那你上课不会觉得无聊吗？」——但如果你在高级课程中表现优异，尤其是在大学里，这就能为你打开获得各种推荐的大门，比如实习机会、与教授合作的研究项目等等。无论你是靠课堂学习还是靠提前学习取得优异成绩，这都不重要。

当你在某门课上表现惊艳（blow a course out of the water），并且积极与教授互动时，这就为你赢得一封极佳的推荐信奠定了基础——这不仅对申请大学的高中生至关重要，对于申请暑期研究项目和研究生院的大学生来说同样关键。此外，这还可能为你带来与教授合作研究项目的机会，或者让他们通过人脉网络为你对接工作、实习以及其他机会。

基本上，你可以利用提前学习来开启一个良性循环。即使你并非天才，在他人眼中你看起来也像个天才，结果就是，你能获得那些通常只为顶尖学生保留的机会的入场券。那些获得并善用这些机会的学生，能够将自己送入那些最有趣、最有意义、最赚钱，但又以极难进入而著称的职业领域。

而且，为什么要止步于提前一年学习呢？持续前进、不断加速是值得的。前方的道路总是比你眼前所见的更加宽广绵长，你能走多远，你的回报就有多大。

为什么止步于仅仅提前一年学习？

以数学为例。许多人认为微积分就是数学学习的「终点站」，就算你提前很多年学完也无所谓。但这远非事实！微积分之上的大学水平数学课程，甚至比高中阶段微积分之下的课程还要多。

学完单变量微积分课程（如 AP Calculus BC）之后，大多数认真对待学业、主修量化类专业（如数学、物理、工程、经济学等）的学生，都必须学习核心的「工程数学」课程，包括线性代数（Linear Algebra）、多变量微积分（Multivariable Calculus）、微分方程（Differential Equations）以及概率论与数理统计（Probability & Statistics）（指基于微积分的高阶版本，而非像 AP Statistics 那样基于代数的简化版本）。在这些核心「工程数学」课程之外，不同的专业还包含大量各具特色的专业课程，它们向各个方向延伸分支。

这些课程数量如此之多，以至于一个学生即便每年都超负荷选课，也无法在标准的四年本科学习中全部修完——然而，学生能够完成的这类课程越多，未来向他们敞开的学术机会和职业大门就越多。（而且，尽管在计算机科学、医学等领域找到一份基础工作，学生所需的数学知识或许不必远远超出代数，但这些领域中同时掌握高等数学知识的人才，会具有额外的价值且备受青睐，因为他们能够胜任那些需要结合领域专长和数学知识的项目。）

最大化收益：提前学习大量高级数学

当学生提前掌握了大量高等数学知识时，他们就解锁了深入探索各种专业领域的机会，而这些领域通常是为具备扎实数学功底的毕业生所保留的。这能让他们更快地发现自己的热情所在，在相关领域培养宝贵的技能，并在职业生涯早期就做出专业贡献，这最终会带来更高水平的职业成就。

我在此并非夸大其词——这实际上有研究作为支撑。平均而言，你加速学习的进程越快，你的职业生涯就能越早起步，你在整个职业生涯中取得的成就也就越多。例如，在一项针对数千名数学早慧学生、长达 40 年的纵向研究中，研究人员 Park、Lubinski 与 Benbow (2013) 得出了以下结论：

「职业生涯起步年龄与成年后的生产力之间的关系，尤其是在科学、技术、工程和数学（STEM）领域，在整个上个世纪一直是若干研究人员关注的焦点 (Dennis, 1956; Lehman, 1946, 1953; Simonton, 1988, 1997; Zuckerman, 1977)，一个普遍的发现是，职业生涯起步越早，与整个职业生涯中更高的生产力和成就相关。在所有其他条件相同的情况下，通过[学业]加速实现的更早职业起步，将使个体能够在成年早期投入更多时间进行创造性产出，这将带来个人整个职业生涯中更高水平的成就。
…
[在本研究中] 与智力水平相当但未跳级的同龄人相比，跳过级的数学早慧学生更有可能攻读高等学位、在 STEM 领域取得成就，更早地达成这些目标，并且在 STEM 领域积累了更多的论文引用和高被引论文。」

关于 Math Academy，我推荐这几篇文章：

如果你对这背后的认知科学、教育技术等知识感兴趣，可以看看我们汉化组翻译的这本书：

我自己每天也会上传自己在 Math Academy 重拾机器学习数学基础的视频：

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