在数学的学习过程中，例子重要吗？

问题描述

例子有什么用。

当然重要，特别是那些出人意料的例子与反例，有助于纠正模糊的思维。当然，有人可能会疑惑，数学这种定义这么精确的学科，难道单凭定义不就够了吗？还真不够，因为人就是容易先入为主，并且善于只寻找显而易见的、支持定义的例子。这样形成的直觉往往会与形式化定义脱节。而提供出人意料的例子和反例，正是揪出并纠正人们模糊思维的一种方法。

以下内容摘自 @Thoughts Memo 汉化组的译文《数学中的例子》

数学中的例子与其他学科中的例子相比别具一格。这很可能是因为数学中的定义不同于其他学科的定义（数学定义是精确的）。在其他领域，判断某个事物是否算作一个例子时常会遇到的一些常见问题，在数学中并不会出现。取而代之的是另一些特有的问题。

单元测试与例子

数学中的一个常见问题是，人们脑中对某个对象「应有」的样貌，会有一个先入为主的观念，而这个观念与形式化定义所描述的并不一致。换言之，人们的直觉概念与形式化定义之间存在脱节。

我们不妨以函数的定义为例。函数是这样一个对象：它将某个集合中的每一个对象，都映射到另一个集合中的一个唯一对象。不熟悉这套形式化定义的人，可能会错误地认为函数就是「能用公式表达的东西」。

因此，在直觉与形式化定义相悖之处举例就显得尤为重要。在默认情况下，学习者可能有一种倾向，即只去寻找正面的例子。

我们可以将举例的过程，类比为在编程中编写单元测试。提供一些显而易见的例子固然很好，但我们更希望通过一些出人意料的案例（即所谓的「边界情况」）来测试软件，以确保软件真正可靠。

人类思维有一种倾向，就是让想法仅仅停留在口头层面，即想法本身并不能约束我们对未来的预期。[1] 提供出人意料的例子和反例，正是揪出并纠正人们模糊思维的一种方法。

（我认为这里可以引入一个与「过拟合」的类比，这会是个很好的解释。）

	按定义是例子	按定义不是例子
凭直觉是例子	「显而易见」的例子，或称核心例子。	出人意料的反例。即假阳性，也称作第一类错误。
凭直觉不是例子	出人意料的例子。即假阴性，也称作第二类错误。	显而易见的反例。

显而易见的例子

「显而易见」的例子，或称核心例子。

设 $f:\mathbf {R} \to \mathbf {R}$ 由 $f(x)=2x^{2}-3x+5$ 定义。这确实定义了一个函数。而那些认为函数就是「能用公式表达的东西」的人，也会认为这是一个函数。

出人意料的反例

出人意料的反例。设 $f:\mathbf {Q} \to \mathbf {Z}$ 由 $f(a/b)=a$ 定义（即一个输出分数之分子的函数）。这并没有定义一个函数。为了说明这一点，请注意 $f(1/2)=1$ 且 $f(3/6)=3$ 。但 $1/2=3/6$ ，因此我们必须有 $f(1/2)=f(3/6)$ （根据定义，一个函数必须对任意给定对象输出唯一的结果），但 $1\neq 3$ ，所以这里出了问题。原因在于，每个分数都有多种表达方式，「取分子」这个操作本身是无意义的，除非我们对分数的表达方式加以限制（例如，要求分数必须是既约分数，且负号总在分子上)。那些认为函数就是「能用公式表达的东西」的人，可能会错误地认为「既然这个东西能用公式表达，那它一定是个函数」。

再举一例，设 $f:A\to \emptyset$ 是一个函数，其中 $A\neq \emptyset$ 。这并没有定义一个函数。因为既然 $A\neq \emptyset$ ，那么集合 A 中必定存在某个元素 $a\in A$ 。根据函数定义，必须有 $f(a)\in \emptyset$ ，但这与 $\emptyset$ 是空集的事实相矛盾。熟悉空函数（见本表下一格）的人可能会将这个例子与空函数混淆，从而误认为这是一个函数。

此单元格中的例子属于假阳性，也称作第一类错误。

出人意料的例子

出人意料的例子。设 $f:\mathbf {N} \to \mathbf {N}$ 由 $f(n)=\pi \text{的第} n \text{位}$ 定义。这确实定义了一个函数，但那些认为函数就是「能用公式表达的东西」的人，则不会认为它是一个函数。

另一个例子是空函数 $f:\emptyset \to A$ ，其中 $A$ 是任意集合。这确实定义了一个函数，但这个函数什么也不「做」。因为它是一个函数的「极端」情况，所以那些只习惯于处理「看起来正常」的函数的人（或者不习惯于处理空集或无约束条件的人)可能会将这个例子排除掉。

第三个例子，设 $\mathcal {M}$ 为所有图灵机的集合，并设 $f:{\mathcal {M}}\times \mathbf {N} \to \{{\text{true}},{\text{false}}\}$ 由 $f(M,n)={\text{图灵机}}M{\text{在输入}}n\text{上停机}$ 定义。这确实定义了一个函数，尽管这个函数是不可计算的。熟悉停机问题的人可能会将「一个良定义的函数」与「一个可计算的函数」混为一谈，从而声称这不是一个函数。在这个例子中，造成阻碍的并非是人们对「函数」的直觉概念，而是另一个不同的技术概念（即可计算函数的概念）。

此单元格中的例子属于假阴性，也称作第二类错误。

显而易见的反例

显而易见的反例。设 $f:\mathbf {R} \to \mathbf {R}$ 由 $f(x)=x/0$ 定义。这并没有定义一个函数，因为除以零是未定义的操作。熟悉除零问题的人会识别出这一点，并正确地否定这个例子。

例子的层级性

一个事物是「具体的」还是「抽象的」，取决于其所处的语境。以「度量空间」这个术语为例。我们可以举出度量空间的各种例子。但从另一方面看，度量空间本身也是一个例子（比如，它是一个结构化空间或一个拓扑空间的例子）。

[1] https://www.readthesequences.com/A-Technical-Explanation-Of-Technical-Explanation

Thoughts Memo 汉化组译制
感谢主要译者 gemini-2.5-pro，校对 Jarrett Ye
原文：Examples in mathematics - Learning
作者：Issac Rice

从更普遍的意义上来说，例题示例有助于减轻数学学习过程中的认知负荷，提高学习数学概念的效率：

解题示例效应 Sweller & Cooper (1985)：《以解题示例替代做题来学习代数》

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