为什么抽象数学往往非常实用，而精通某款电子游戏的细节却极少能在其他领域派上用场？本文将数学与速通（Speedrunning）游戏进行了对比，指出数学文化倾向于挑选那些能跨问题复用的思想与方法。同时，文章还将这一过程与学习、创造力以及人工智能联系在了一起。
电子游戏最大的问题在于，如果一个人活在 1820 年代的德国，他原本可能会去记录当地省份的所有甲虫种类，结果现在却跑去在 YouTube 上做了个 26 集的系列视频，专门教人怎么在历代《刺猬索尼克》游戏里收集所有金环。
——owen cyclops，2020 年 7 月 30 日
这话虽然听着好笑，但并不符合事实。而且我们也没必要为那种视频痛心疾首——它多半并没有挤占什么真正重要的事情。 对于为什么我们能如此笃定，大部分读者大概并不感兴趣（大家多半觉得这是理所当然的），所以这部分就不展开了，直接进入下一个话题。 不过，如果有人好奇，我会在另一篇文章《速通，真的没那么浪费天赋》[1]中详细探讨。
在这里，owen cyclops（OC）其实还暗中否定了这类 YouTube 系列视频本身的价值，而这一点恰恰让我觉得更发人深省（虽说 OC 当时写下这段话时，几乎肯定没往这方面想）。
如果要找一个比做 YouTube 系列纪录片更能体现「浪费」的例子，那不该是一个老老实实做视频教人怎么全收集金环的玩家——毕竟这事没多大难度：想必早就有各种百科或攻略把这些摸得一清二楚了，做成系列视频也花不了太多时间——真正能体现「浪费」的，是那些为了比现有速通（Speedrunning）世界纪录更快集齐金环而拼死拼活的速通玩家。
那可就完全不一样了。 为了以某种特定方式创下游戏速通的新纪录，速通玩家可能会投入令人咋舌的精力去分析和练习。 更夸张的是，这些纪录的条件往往苛刻且小众得令人发指。
比如，我在 YouTube 上看过的最有趣的速通视频之一，是教人如何在不完全按下跳跃键的情况下通关《超级马力欧 64》（Super Mario 64）关卡。 （具体来说，是 pannenkoek2012 搞出的「平行宇宙」玩法，借此在完全不用跳跃键的情况下通关《超级马力欧 64》；同样值得一提的，还有利用整数溢出 bug 和取模绕回机制让马力欧加速到接近无限快，在地图里来回穿梭无数次，最后精准停在目的地的速通玩法。） 另一个令人惊叹的例子是用 TAS 工具暴力破解《打砖块》（Breakout）的视频：作者建了个简化的模拟器，耗费 6 个 CPU 年的时间，遍历了关卡中每一种可能的操作，硬是找出了莫名其妙就能奏效的最优操作序列（这就好比国际象棋残局库）。 此外，还有些速通玩家干脆把游戏重开一万遍（字面意义上的），就为了祈祷随机数生成器大发慈悲，让他们能完美打出策略，把纪录再往前推进个一两秒。
当然，速通这种行为根本没有任何现实的实用价值。 尽管几十年来，这个领域吸引了无数宅男极客前仆后继，有时甚至是全职投入、动力十足（且成绩斐然），甚至还积极引进了诸如人工智能、决策论或概率论等其他领域令人惊艳的技术，但在我印象中，速通领域本身的任何突破，绝无仅有地没有产出过任何能造福其他理工科（STEM）领域的重大成果。 这纯粹是「为艺术而艺术」（l’art pour l’art）的极致体现。 如果你不喜欢这种调调（我坦白我也无感），那就由着喜欢的人去折腾吧，把它当成一种社会现象来欣赏就好。 谁能想到速通居然能发展成这样一种文化呢？ （要是我小时候有人跑来跟我说，以后会有一群人把尽可能快地打通 FC 或 N64 游戏当成职业，我绝对不会信。）
对我来说，最有趣的一点（除了将 TAS 作为 AI 风险类比之外）是，速通并不满足于「尽可能快地打通游戏」这个显而易见的目标。 它在不断发明各种新奇且极其小众的速通类别。 如果你对新游戏不感兴趣，那就干脆给老游戏加上些莫名其妙的限制：你通关了简单模式，那就来挑战困难模式吧。 或者试试全程无伤通关。 再或者全程只用初始武器？ 你能在几分钟内打通《超级马力欧 64》——行，那让我看看你能不跳跃通关吗！ 正因为这些限制条件如此随意，导致硬件上哪怕极其细微的差异都会毁掉一项纪录，这就成了个大麻烦（就像体育比赛中吃兴奋剂是件坏事，而非好事一样）；因此，如果在某一天你猛然发现，把超任（SNES）游戏机塞进冰箱里至关重要，你也只能认命，因为这已经是你生活的全部了。
值得注意的是，这种情况在许多其他类型的游戏中并不常见。 正规的国际象棋锦标赛，不会每年被一堆古怪的新变体取代，比如冒出一条新规则：「你可以王车易位，但前提是你只能用一根小拇指同时捏起这两个棋子，且全程不能碰到其他任何棋子」；19×19 的围棋，也不会仅仅为了搞点新花样就被 18×20 的变体给挤掉。
速通与数学
巧合的是，我最近正在读关于挂谷猜想（Kakeya Conjecture）最新数学突破的报道。这是一个关于如何高效地原地转笔的几何猜想。 当我从最初那个具体、直观的挂谷猜想，一直读到它如何被推广到高维度乃至截然不同的数量级等各种更抽象的版本时，我越来越感到迷茫，实在搞不懂数学家们为何会对这些谜题如此痴迷。 （借用一位对数学彻底绝望的前理论物理学家的话来说，「这些玩意儿跟物理学到底有什么关系？」） 数学家永远不缺要解的谜题，因为每一个被解决的问题，都不过是个添砖加瓦、修改规则的好素材，这么一来，他们马上就有了新的谜题可以解。
如果你解决了一个已经存在了几个世纪的问题，你应该用另一个问题来取代它，给后人留点事做。
——Hendrik W. Lenstra Junior 1997
这么看来，数学是不是有点像……速通？
好吧，我确信数学和速通之间的区别远不止一点，但我脑子里蹦出来的第一个念头是：数学有时是有用的，而速通永远没用。
这就有点奇怪了。两者似乎都是由那些往往看似随意的游戏组成的。两者都能引发对某个相当随意的对象进行深入分析。 （想想那些对国际象棋的分析吧，它们完全仰仗于游戏严苛的规则。哪怕是对规则稍作改动的「变体国际象棋」（chmess），这些分析也根本不适用；比如，如果把马的走法改成直走两格再拐两格，而不是原来的一格，那一大半的国际象棋研究立马就成废纸了。） 为什么在课桌上转笔能引出几个世纪的深刻数学分析，而对《超级马力欧 64》的深刻分析，最终得出的却大多是那种令人沮丧的结论：又有一个程序员用 C 语言写出了不安全的代码？ （或者同理，为什么对安全漏洞或 bug 的分析总是让人觉得如此缺乏智力上的成就感？预防或检测它们固然极具挑战，甚至需要动用高等数学，但这些 bug 本身要么无聊透顶，要么气得人半死。）
这当然就引出了那个经典的数学哲学问题：数学的超常有效性（the unreasonable effectiveness of mathematics）。
为什么人类的数学应该或者确实有效？ 既然数学包罗万象，想要批量炮制出一堆毫无意义的定理简直易如反掌（随便问个自动定理证明器就知道了！），而且那么多数学研究根本看不出跟现实世界有半毛钱关系，数学到底是如何登上「科学女王」宝座的？
为什么这些关于「转动一支抽象的笔」之类看似荒诞的数学游戏，在千年之后往往能以一种完全出乎意料的方式变得至关重要——而转动一支真实的笔，或者游戏里的笔，却永远做不到？ 为什么这一种荒诞的游戏能「奏效」，而其他那些就纯粹只是荒诞的游戏？
简而言之：数学到底有什么是速通没有的？
（考虑到目前进展的飞速步伐以及大型语言模型（LLM），这个问题显得尤为迫切。当我们在思考创造力和新想法的源泉，以及为什么 LLM 在数学能力飞速提升、知识面远超人类的情况下，依然无法提出真正新颖的想法，且在几乎所有基准测试中都碾压人类，却依然无法作为与人类比肩的同行时，我们更需要直面这个问题。）
可复用的模式
关于速通，我脑海中浮现的一个念头是：电子游戏既太复杂，又太简单。
在机制的实现方式上，它们极其复杂，但究其核心，这些机制往往非常简单。 一款角色扮演游戏（RPG）可能塞进去几千种特色道具，但真正有用的寥寥无几；或者写了几万行台词，却根本不影响剧情走向，纯粹是个背景板。 你可能写了上百万行代码，画了几个 G 的华丽美术资源，结果做出来的游戏本质上不过是反复在玩石头剪刀布，或者只是在测试你狂按「A」键的手速。 一项速通纪录，说白了可能只是看你愿不愿意耐着性子掷足够多次骰子，直到摇出那个幸运数字罢了。
其实很多挑战来源于无视游戏原本设计的 UI/UX（用户界面/用户体验），去寻找像整数溢出这类能直接操纵底层游戏引擎的诡计。 但说到底，这根本教不了你任何关于其他游戏的知识——这玩意儿几乎没有任何远迁移能力。 你玩的下一款游戏里肯定也有整数溢出，但它们出现的地方和方式截然不同，对速通来说可能毫无卵用。
而在数学领域，许多最伟大的发现往往关乎发现隐藏的共性：关于某个事物的发现，最终被证明可以转化并等价于对另一个看似八竿子打不着的事物的发现。 这种转化或等价通常并非严丝合缝、毫无遗漏，而是局部的，或者带着某种附加条件。 当然，这算不上什么问题，因为对数学家来说，天下没有解不开的难题，无非是换了个新游戏接着玩。 但这种现象频繁发生，意义深远，甚至有时候，这种隐藏的共性居然跟现实世界扯上了关系——原本枯燥乏味、专门研究如何高效分解特定大合数的数论问题，最后竟成了决定美国国家安全局（NSA）能不能偷看你所有邮件的关键。
（要是这种事搁在电子游戏里，听起来该有多荒谬：如果明天有个主播跳出来宣布，你一直玩得津津有味的《俄罗斯方块》，其真实面目其实是暗藏在 3D 空间里旋转视角的《打砖块》，只不过把某条规则反了过来，计分规则又微调了一下；或者你玩的那款打飞机游戏，实际上是你代表人类指挥着一支星际舰队，并且正在不知不觉中进行着种族灭绝。）
我们也许可以这么说，速通的弊端在于它玩的是一种庞大、复杂、且极端孤立的游戏，这种游戏在别处根本见不到；而数学呢，那些问题哪怕表面上看起来再「复杂」，其内核也足够简单，简单到它们就像个挥之不去的阴影，总是在各个角落反复出现。 借用冯·诺伊曼的话来说：如果人们觉得数学不简单，那是因为他们根本不知道现实世界到底有多复杂。
像整数这种东西，其本质简单到了极致，以至于类似整数的模式几乎无处不在。 像在《马力欧》的城堡护城河里原地奔跑触发整数溢出从而获得加速这种事，除了在那款特定的《马力欧》游戏里，其他地方……几乎找不到。
这就是全部解释了吗？ 我觉得还不够；数学固然简单，但也没简单到那种地步，而且似乎还有大把大把的简单陈述，根本入不了数学研究的法眼。
如果单纯只是为了模式复用，那为什么数学研究没有被各种简短的算术命题给淹没，反而花了那么多时间去探索奇形怪状的异域风情呢？ 肯定还有海量的简短加法或乘法，根本没人费心思把它们写下来。
嗯，原因之一是，如果你真需要算那些，自己动手算就是了。 曾几何时，数学家确实花了大量心血去编撰对数表、利率表、正态分布表等参考书，这些书对他们自己和别人都有用；但现在他们不这么干了，因为你直接用软件算就行了。
把数学看作标准库
我们先退一步看；如果深度学习和人工智能真的是大势所趋，那么它们至少应该在人类和数学这块给我们不少启示——我们是怎么做数学的？为什么要这么做？到底是什么让它行之有效的？
从宏观角度来看，当我们观察神经网络的缩放规律及其内部结构（尽我们所能去解读）时，它们看起来就像是一个个由小型启发式规则、死记硬背的知识点，以及简短简单的「回路」或程序构成的大杂烩，在运行过程中被灵活地揉捏在一起；随着规模的适度扩大，它们能够重组用来解决问题的小部件也就越多。 我认为，人类神经网络也是如此。 简单粗暴地总结一下：
「数学，以及或许像物理学这样的其他科学，肩负着为人类大脑——无论是单一个体的大脑还是全人类的集体大脑——做好准备或进行优化的使命，以迎接那些尚未到来的发展。 就像动物在幼年时期通过游戏来为日后生活中可能遇到的场景做演练一样，数学在很大程度上可能也是一系列游戏的集合。 从这个角度来看，它扮演着同样的角色，也许还是唯一能够改变个体或集体心智、让其为无人能预见的未来做好准备的方式。」
——Stanislaw Ulam
那么，基于这种视角，数学究竟是什么呢？
数学就像是在研究纯粹的图灵机，研究那些摆脱了现实世界杂乱细节的形式化模式与计算过程。 比方说，我们不去研究一长串苹果和橘子交替出现的情况，甚至连整数序列都不去研究；我们研究的是一个二进制序列，这个序列由一个极其简短、简单的图灵机计算得出，它只是在两个任意但截然不同的输出之间来回切换。
好吧，要是愿意，我们完全可以这么来看待数学，并根据需要去扭曲各种定义或概念（比如丘奇-图灵论题、通用图灵机、超有穷主义等等）。 但这视角的转换到底能带来什么好处？ 本来我们是要问为什么数学家偏爱那些「有用」的定理、公理或课题，现在倒好，问题变成了他们为什么要挑选那些「有用」的图灵机，这听起来也没比原来高明多少。
然而，如果我们将智能视为一堆根据需要拼凑在一起的图灵机，那情况就截然不同了。 如果一位数学家深入钻研某台图灵机，他们可能会发现它的一些重要特性，比如无需耗费算力让它一直运行下去就能预测它停机时的输出结果，或者断定某些输出结果永远不可能出现，又或者将其与另一台已被透彻研究的图灵机联系起来。 其实，光是能说出「这台 X 图灵机跟那台 Y 图灵机长得很像」，本身就已经非常管用了。
打个编程的俗例，数学开始像是一个庞大、经过高度优化且除净了 bug 的代码标准库。 如果你手头有个问题，恰好跟标准库里的某个函数高度契合，那就能省下大把的时间和精力。 就算标准库里的函数没法彻底解决这个问题——也许是因为没法完全对上号，或者你还没吃透它——它们通常也能帮你精简最终的解决方案，让你少写点那种枯燥乏味、重复劳动的模板代码。
那么，怎样才算是一个好的标准库呢？ 评判一个标准库的好坏，通常看它能帮你省下多少代码量。 如果它能帮你省下一大堆代码，那就是好库：一个设计精良、号称「自带电池（开箱即用）」的标准库，往往能把许多复杂的任务变得轻而易举，化简为区区几行代码。 编写这些库可能极其艰难——你都不敢想，写个好用的掌上计算器到底有多难——但绝对物超所值。它们在未来几十年里，能为数以百万计的程序员节省海量的时间，不仅让写代码变得更轻松，更重要的是，让读代码变得更容易。
而一个糟糕的标准库呢，里面塞满了函数……可每到节骨眼上，你要么发现没一个用得上，要么就是带着让人抓狂的限制，或者干脆就是它定义的方式根本不符合你的需求，总是掉链子。 如果用了这破库写出来的代码长度，跟你不用库、硬核用「核心」语言吭哧吭哧写出来的长度差不多，那这就是个烂库——既然如此，你费那劲用它干嘛？当年写它的人又何必浪费时间去写呢？ 而且你每次都得从头手写一遍，别人每次读你那风格清奇的代码时，也得跟着遭罪。
说到底，好代码是能摊薄成本的，因为会被反复使用（无论是运行还是阅读）；烂代码则不然——可能就跑那么一次（甚至一次都没有），而且读起来还晦涩难懂。 一个好的数学理论、定理或公理也是如此：如果它从来没在别的地方被派上过任何用场，那它到底是真有用，还是仅仅算个无关痛痒的琐碎结论——就跟记录下随便挑两个大整数相加的结果一样，除了本身毫无价值？
这里我们可以做一个跟「摊销推理（amortized inference）」（如神经网络）的类比：不同于许多机器学习或统计推理方法，神经网络在训练阶段成本极其高昂（通常得跑上几十亿遍），但一旦训练好，单次运行的成本就极低（这也是必须的，因为单单是为了训练，你可能就得跑它几十亿遍！）。 训练的成本被「摊销」到了未来所有的使用中：如果你用神经网络的次数不够多，成本就摊不薄，那么每次使用的代价就会非常昂贵；但如果你经常用，它就会变得极其高效。
因此，我们可以把数学看作是「基于图灵机的摊销推理」。只不过，数学的这种方式是显性且符号化的，而不像神经网络那样隐性地藏在庞大的权重网络中。
好吧，这个类比听起来有几分道理，但依然没有回答核心问题：衡量一个新的标准库函数或数学成果的质量，往往可以通过考察现有语料库，看它能帮上多大忙。比如，如果你刚证明了一个许多其他结论都仰仗于它的猜想，这很容易判断它的价值。 但是，这依然无法解释真正让人困惑的现象：数学成果为何总能像阴魂不散的幽灵，在其他领域那些当时根本没人能想象到的问题或课题中，以一种极其诡异的方式现身？
学会该研究什么
回到神经网络，摊销推理的一个重要例子是元强化学习（meta reinforcement learning）：它不单单是学习如何解决某个具体问题，而是学习如何解决一整类相似的问题——这些问题它以前从未见过，以后大概率也不会再见。 神经网络通过被不断抛入瞬息万变的问题环境中来学会「元学习」（meta-learn），它会掌握如何更新策略以及如何探索；它能学会一些启发式规则，比如在迷宫的每个角落都看一眼，哪怕只是为了弄清楚会发生什么。
一个元强化学习智能体不需要知道自己在干什么，也不需要知道为什么，它只管去做；它的行为可能就是一个异常复杂、艰深且计算成本极高的问题的贝叶斯最优解，但在经历了无数个回合的摸爬滚打后，它已经慢慢学会了去逼近这个最优解。 （它甚至可能并不是通过随机梯度下降等我们熟知的方式「学习」来的；它可能是通过进化而来的——通过不断让神经网络的权重发生变异，并保留那些表现优于平均水平的变异。）
那么，如果我们把数学家想象成在历经无数代演化的元强化学习智能体，他们在优化什么？奖励又是什么？
依我看，他们是在为了那些当下有用或将来会变得有用的成果而进行优化：那些能在某个新兴领域初露锋芒时证明关键定理的数学家，将收获更多的引用、声望、经费、研究生，以及同行们的赞誉。同行们会蜂拥而至，纷纷效仿。 需要注意的是，所谓的「变得有用」并不一定要在数学家有生之年发生；哪怕你不在人世了，未来的数学家依然可以效仿你。
换言之，他们得到的奖赏，并非因为他们证明了关于简短图灵机的什么理论，也不是因为他们写出了简短的证明；真正让他们获得奖赏的，是他们证明的东西，恰巧还能让后来的证明变得更加简短。 这种奖赏，其实就是压缩率的二阶导数。碰巧的是，这也是 Schmidhuber 关于创造力的最优新颖性生成/探索（optimal novelty generation/exploration for creativity）[2]的解读。
到了某个阶段，像欧几里得几何这类领域可能已经没什么好说的了，除非能从其他领域引入什么新奇的视角，于是它在大家纷纷奔向更丰美的草地时「寿终正寝」了。 幸好，既然没什么好说的了，那也就没什么好损失的了。
但还有许多领域之所以「死气沉沉」，纯粹是因为里面根本没有能说出点门道的东西。 它们要么是无法计算的，要么是不可判定的命题，要么想弄明白它们所需的计算量大得离谱，又或者是那种毫无规律可循的「混沌」状态。 在我们眼里，它们就像是「赤裸裸的事实」（brute facts），任何描述都不可能比事实本身更简短；就像试图解释国际象棋残局中的某一步棋——对于绝大多数残局的走法，除了「根据规则，这就是国际象棋里最好的一步棋，就这么简单」，根本不存在，也不可能存在其他任何解释。 从可计算性理论可知，在某种意义上，这类赤裸裸的事实几乎占据了所有事实的全部。 万幸的是，知道这些事实也没啥用处：我们既不能提前预判它们，它们也不会反复出现。
于是，我们得出了一个类似「押注稀疏性」的人择原理：唯一值得分析的图灵机，是那些身处压缩率二阶导数为正的类别中、短小精悍的图灵机。因为只有它们是尚未被彻底解剖、尚有分析余地，且极有可能在未来的分析中被重复利用的。
当然，这类图灵机的数量无穷无尽，但数学家们已经进化出了挑选出高回报类别的本领；那些眼光不行、误入死胡同的人，根本没法让他们那套「数学」流派开枝散叶。 （Quine 1969：「那些在归纳推理中总是大错特错的生物，有一种可悲但值得称赞的倾向：在繁衍后代之前就死光了。」）
数学的品味
历经无数代的积淀，各种启发式规则、态度、经验法则、庞大的成功案例库以及出版惯例等，会慢慢积累起来。 这就是我们所说的「品味」或「美感」；就像许多审美或智力上的欣赏一样，它们并非与生俱来，而是需要后天学习的——很少有人能天生领会一个「优美」或「优雅」定理的妙处，就像极少有小屁孩会天生懂得欣赏一杯醇厚的咖啡或一出精彩的歌剧。 （这也许正是为什么定义这些特性如此出了名的困难，需要一种「教外别传，不立文字」的顿悟：也许根本就不存在什么单一的特性，它们最终都能归结为一些无趣的事实，比如「我们之所以这么喜欢喝咖啡，是因为我们的肌肉发生了一点微小的突变，导致像咖啡因这种杀虫剂不但杀不死我们，反而会让我们精神振奋」。） 他们并不是在「为了这辈子的回报而努力优化」，因为他们未必知道自己在干什么，也未必明白自己那些凭直觉做出的选择为何能奏效（而且他们对这些事的理解很可能错得离谱——尤其是当这种错误观念具有适应性时，比如那种近乎宗教般的柏拉图式意识形态，会驱使他们在没有现世回报的情况下依然拼命工作）；他们只是凭着本能去做。
「心有其理，而理智对此一无所知。」我们也许可以说，数学同样拥有它的「不合常理之处」，而其理智对此一无所知。 除了它们在筛选「好」数学时展现出的那种超常的有效性之外，这些不合常理之处根本没有任何合理的解释。 这些不合常理之处摊薄了历代数学家付出的心血，并被提炼注入到这一代人身上——然后，他们被撒向世界，去闯荡出自己的一片天地。
绝大多数都会失败，就像鱼卵试图游向大海，在半道上纷纷「夭折」。 他们盲目地执行着从祖辈那里继承来的那套摊销推理经验包，把重注押在某个特定课题或方法上——结果连个水花都没溅起来。 他们的数学子嗣会越来越少，而他们自己也将沦为警示后人避开该课题或方法的反面教材。 当某个学派（物种）耗尽了他们课题的潜力，随着岁月流逝，再也没人有兴趣去学习或使用他们的成果时，整个数学流派可能就此绝迹；它们同样会被更高产的学派所取代。 事实上，大片大片的领域可能就此实质性地消亡。 但总有少数人会茁壮成长：他们执行着属于他们自己的启发式规则，也许在经历了数十年的苦苦运算后，终于获得了丰厚的回报——他们意外挖到了一座金矿——一个精妙的类比、一条奇特的公理、一个关键的猜想、一个完全出乎意料且极其重要的现实世界应用——并由此开宗立派，繁衍后代。 而这些人，将把他们自己那套经过微调且平均而言更为优秀的「品味」包，传给他们的后代。
更重要的是，正是这些人让「数学」作为一门职业的存在依然站得住脚：他们拉来了经费，也赚足了文化威望。
门外汉们正是推动这一切运转的启动器：他们看着数学这个庞大而隐秘的黑箱，在它面前高声呐喊、指指点点，往里头大把砸钱。偶尔，当某种神奇的玩意儿从里面蹦出来时，那古典的赞歌便会适时响起。 这一切到底是怎么运作的呢？
反馈的层级
综上所述，这里存在一个强化学习的层级结构，或者说是一种一路套娃的「元学习」（见我的最终保障文章[3]）。在这个层级中，每一层的优化都融入了比上一层更深的洞察力，但最终又受到更高层的制约，以确保整体上能产出成果：
- 从国家的视角来看，那些肯砸钱支持「数学」的国家，总是比一毛不拔的国家混得好。他们心里明白「我们必须大力支持理工科（STEM）」——但他们对什么才是好数学一窍不通，只能把砸钱资助「数学」这事，全权委托给大学或非营利机构。
在一个极长的时间跨度（比如几个世纪）里，他们会观察这些黑箱的产出；如果神奇的玩意儿不再蹦出来了，而他们发现别人家的黑箱产出更丰厚，他们很可能会当机立断切断资金，把自家这个黑箱彻底砸碎，换上一个新的。（日本和中国本土的数学传统就是个活生生的例子：尽管当时它们的数学水平已经相当精深，最终还是被原封不动引进的欧洲高等教育体系和数学体系彻底取代。） - 从资助者的视角来看，他们可以奖励那些外行也能根据「到底管不管用」来评判的实际应用；但这种好事太稀罕了，而且往往毫无用武之地。所以，他们只好依赖数学家们捣鼓出来的那些间接指标来决定经费给谁，比如论文引用量、拿了什么数学大奖，或者干脆就是看某人在数学界名气够不够大。
在一个中等时间跨度（比如几十年到几个世纪）里，如果资助者老是挑错赢家，他们迟早会意兴阑珊，或者干脆另寻其他更能听响的领域去烧钱。 - 从数学家这个群体的视角来看，他们往往对其他领域甚至某篇具体论文的细节一头雾水（要彻底吃透可能得花上好几年），但他们可以观察这些成果是否在别处露面，是否被其他数学分支引用；如果这些成果看起来能衍生出更多成果，而且这些衍生出的成果又在别处遍地开花，那这就是个好兆头。
在一个中短时间跨度（比如几代人）里，一个「学派」或「领域」可能会被放养很长一段时间。但如果他们辛辛苦苦吭哧了几十年，领域外依然没人关心，也看不到任何进展的苗头，这个领域就会慢慢枯萎；大家会认定它已经陷入了「为艺术而艺术」的病态、内卷和衰败之中。 - 从某个领域的数学家或最初的数学家的视角来看，他们确实能透彻理解这项工作，但要评估它是否真的有价值，他们就得调动自己内心那个名为「品味」、「美感」或「优雅」的神经网络黑箱，直接凭借直觉去破解难题。
在一个极短的时间跨度（比如几个月或几年）里，如果某条路死活走不通，他们就会立马调转船头换个思路。
正是这一整套机制，塑造了我们今天所见的数学体系：在只偶尔从现实世界获得一丁点反馈的情况下，一群数学家就能自主地在层出不穷的新问题中摸索。他们不断打磨自己的直觉，判断哪些新问题有解，并在未来的某一天哪怕能稍微跟现实世界沾点边；同时，还要时刻提防别掉进那些孤芳自赏、钻牛角尖的死胡同里——那些东西最后只会沦为知识分子的意淫和数字游戏。
为什么速通与众不同
现在，我们终于可以绕回最初的问题了：为什么抽象的数学游戏能「修成正果」，而速通游戏却永远只能沦为艺术或消遣？
因为速通一门心思扑在对图灵机的分析上，而这些图灵机往往是两个极端的混合体：要么极其简单的图灵机（「这个游戏机制本质上就是石头剪刀布」），要么就是赤裸裸的事实（「在这个关卡的这个鬼地方有个缓冲区溢出，咱们可以利用它直接跳关，这全拜超任（SNES）芯片上那点 RAM 填充所赐，因为 1989 年设计这玩意儿的时候，为了省下那 0.1 美分，工程师硬是把最后 1KB 给阉割了」）。 游戏图灵机过于简单，意味着它们极易被人看穿，外人根本没必要了解这些。 （这就像你要跟人解释「石头剪刀布」是啥，结果非得拿 1981 年某款 RPG 游戏里的一套武器/护甲相克系统来打比方——纯属脱裤子放屁，等你把那款 RPG 解释清楚，都能从头教会别人玩 100 遍石头剪刀布了。） 然后，进一步的突破只能仰仗那些根本不会在其他地方复现的「赤裸裸的事实」。 （除非是制作组有意为之，否则绝对不可能再有哪款游戏会拥有一模一样的按键顺序或缓冲区溢出。） 所以，速通注定会像历史学那样，变成「一桩接一桩的破事」（one d—n thing after another）。
正因为缺乏向外迁移的能力，速通文化的黑箱也就失去了扎根的土壤。 速通玩家顶多能从科学或数学方法和文化中借用点皮毛，但也就那样了。 因此，速通的各个小众圈子注定只能「为艺术而艺术」，并最终走向枯竭、过气和不合时宜，而所有人也会转投新游戏的怀抱，或是去追捧新发明的限制玩法。 （这倒不用咱们替他们瞎操心；毕竟市面上永远不缺可供速通的新游戏。）
对人工智能的影响
回到一个更重要的话题：人工智能（AI）。 人们常常指责大型语言模型（LLM）缺乏开放性和创造力；尽管它们在各个领域的知识储备早已碾压人类，却鲜有令人拍案叫绝的独到见解。 在撰写本文时，像 Gemini-2.5-pro 这种最顶尖的 LLM 确实能提供质量高得惊人的反馈和建议，但这一切都建立在「一问一答」的前提下。 那种毫不相干、自发涌现的灵感或点子，在它们身上似乎永远不会发生。 从没人观察到 LLM 有什么「酝酿效应（incubation effect）」——比如 o1-pro 这种系统突然中断当前任务，兴奋地报告它刚想出了一个绝妙的点子。 LLM 里根本不存在类似于人类数学家社区那种东西；你就算让一个数学大模型一直跑下去，它也不会时不时吐出点让人惊掉下巴的新东西。
如果我们把主攻数学的 LLM 类比为数学这门学科，那么 LLM 更像是一个见多识广、啃完了所有教材和课后题，但从来没做过研究的好学生。 你丢给它一个有标准答案的题目，它很可能三下五除二就搞定了。 但它们从来就没学过如何解决「如何提出好问题」这个问题。 因为这根本就没写在任何一本教材里，更不可能有什么配套的课后练习（尽管像波利亚（Pólya）的《怎样解题》算是做过英勇的尝试，但这几乎是由其定义决定的）。
这绝不是靠你乖乖坐下、拉出一棵庞大的定理搜索树就能学会的；你也许能在证明特定定理上达到超人的水平，就像 AlphaZero 在围棋上把人类按在地上摩擦一样，但你该如何学会去构思那些值得去解的、全新的定理——而不是给某个预先设定好的定理当铺路石的引理？ （不管 AlphaZero 下围棋有多牛，它也绝不知道该怎么发明出一种值得让人玩的新围棋变体。）
好消息是，虽然「品味」和「优雅」这种东西既没写在教科书里，也没被塞进哪个数据集里，但它们其实并没有那么复杂。毕竟它们必须是那种能覆盖大片图灵机空间的宏观原则，不可能包含太多琐碎的细节。 更何况，元学习在对付复杂事物时往往力不从心：强化学习（RL）的反馈信息量太少、噪音太大、过于稀疏，而且严重滞后（有时甚至能滞后几个世纪）；而且在整个数学界这个层面上，其实并没有经过太长的时间，也没有足够残酷的生存压力，所以不可能经过了过度极端的优化。 另外别忘了，数学家通常成才很快，年轻时就能干出一番惊天动地的大事。
因此，跟基于人类反馈的强化学习（RLHF）或指令微调等技术类似，我们可以预期，所谓「品味」大概只是某种「表面功夫」——也就是说，它是 LLM 本来就具备的能力，现在只需要稍微调一调参数，就能把它激发出来。
Thoughts Memo 汉化组译制
感谢主要译者 gemini-3.1-pro，校对 Jarrett Ye
原文：The Unreasonable Selectiveness of Mathematics · Gwern.net
发布日期：2025-03-14
上次编辑：2025-04-09
参考
1. 速通，真的没那么浪费天赋 ./1955580086083364669.html2. 创造力、乐趣与内在动机的形式化理论 ./1972234251777840886.html
3. 演化：强化学习的最终保障 ./1944108824375060346.html