如何科学评价一本教材？

在评价教材、学习材料方面，我也没读过什么成体系的科学评价方法。这里分享两篇关于评价教材和编写教材的文章，希望能抛砖引玉一下。

以下内容摘自 @Thoughts Memo 汉化组的译文《别跟教材客气：优质（数学）书籍挑选指南》

垃圾教材太多了。快速判断出教材是否垃圾的能力很重要。我写这篇文章来帮助自已，也帮你们。

在使用带有自动反馈、抽认卡、模拟等功能的交互式媒介进行学习之前，我们必须依靠教材。而这份清单就是为了帮助大家！

留意你的教材…

…有带答案的练习吗？

对我来说，这是最重要的，没有之一。

• 在 Vector calculus, linear algebra, and differential forms: a unified approach[1] 一书中，每个概念后，读者可以做一道简短练习。解答就写在脚注里，与练习同页。这样超方便，特别是读 PDF 的时候。

…解释原因并提供背景信息吗？

为什么某个领域很重要或者很有趣。为什么作出这样的假设？诸如此类。

• Analysis I 这本书从「为什么要学分析？」开始。[2]同样的，在 Linear Algebra, Pillar I 的行列式一章中，开头就讲了「为什么要行列式？」。
  
• 在 Precalculus[3] 一书中，读者能找到关于为什么或什么时候某些技能会很重要的注解。
  

...提供许多正例、非例与反例吗？

• Seven Sketches on Compositionality[4] 中的定义和例子数量大致相当。

…给出了进阶主题的预览，并传达了目前的局限性吗？

• 在 Precalculus[5] 中，作者提到了朴素集合论及其根本性缺陷，还为感兴趣的读者提供了进一步的阅读材料。

…关心术语吗？

读者需要信号，告诉他们何时符号被过度使用，或者何时短语只是某人的错误残留。

• 在一些不严谨的生物书中，你会学到「化学键断裂释放能量」。但是事实上，化学家要说的恰恰相反！

…对读者是否诚实？

Thurston 在他的论文 On proof and progress in mathematics[6] 中分享了他的观察，即论文与教科书的正式形式反而成为了理解它们的障碍。作者是否华而不实？他们是否提及背景或非正式的原因来解释他们的做法？

地位使作者无法坦诚相待。例如，作者可能避免提及某些章节很无聊。为什么呢！？对于可能认为自己对某章节有疑惑的读者来说，知道这一信息是有非常价值的。

我喜欢作者不掩饰自己的热情。知道某个特定片段是作者特别感兴趣的领域，会给教科书带来更加引人入胜的「对话式」活力。

我也喜欢在其中看到一些笑话或彩蛋。我认为这是一个标志，表明作者感到自在，没有被出版商当作机器人对待。

• 在 Introduction to abstract algebra[7] 中，作者写到「如果你读得无聊，我很同情你。我打字的时候也很无聊。」
  
• 《线性代数应该这样学》第 21 页的页码写着「≈ 7π」。
  
• 在 The integrals of Lebesgue, Denjoy Perron, and Henstock[8] 中，你会看到与元建议结合的 c 笑话：

请看同一本书的这句话：「这个引理被称为维塔利覆盖引理，起初你可能会感到很奇怪，可能需要读几遍才能理解。在欣赏它之前，有必要多次观察该引理在实际操作中的应用。」

…提及了元认知的层面吗?

如何思考这个主题？哪些类比和图片会有帮助？

你目前的知识会不会干扰你即将学习的内容？

...有整洁的图像与布局吗？

我们应该知悉图片是否按比例绘制，以及它的局限性等等。

我喜欢教科书里的手绘图。它们看起来更直观。

• 一些生物学教科书关心的是尺度，等等。这很糟糕。与之相反的优雅的示例参见 Cell Biology by the Numbers。[9]
  
• 在《通向实在之路》[10]中，作者画了很多图。你可以了解作者对相关主题的感受。
  

...用的语言简单吗？

...提供了每一章的总结和重点吗？

• 《线性代数应该这样学》[13]中每一章节都总结了重点和动机。
  
• 在 Online notes for MAT237: Multivariable Calculus, 2018-9 的每一章中，作者 Robert Jerrard 都写了「基本技能」小结。
  

怎样的教材是优质的？

定义：当且仅当教材具备以上所有特点（至多不具备两个），它才是优质的。

定义：没达到优质标准的教科书就是垃圾。

参考书目

[1] Hubbard and Hubbard, Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms.

[2] Tao, Analysis I.

[3] Stitz and Zeager, Precalculus.

[4] Fong and Spivak, An Invitation to Applied Category Theory.

[5] Stitz and Zeager, Precalculus.

[6] Thurston, "On Proof and Progress in Mathematics."

[7] Siksek, "Introduction to Abstract Algebra."

[8] Gordon, "The integrals of Lebesgue, Denjoy Perron, and Henstock."

[9] Milo and Phillips, Cell Biology by the Numbers.

[10] Penrose, The Road to Reality.

[11] Tong, "University of Cambridge Part IA Mathematical Tripos."

[12] Halliday, Resnick, and Walker, Fundamentals of Physics.

[13] Axler, Linear Algebra Done Right.

以下内容摘自 @Thoughts Memo 汉化组的译文《为什么垃圾教材遍地走？关于解释的科学。》

将解释作为科学：一些关于发展解释学的想法

在前一篇帖子^[1]中，我认为，把解释当作一个科学领域对待，是促进大众创建更多优质解释的最佳策略。然而，我尚未详细说明「把解释当作科学」是什么意思。所以在这篇帖子中，我会解释更多细节，主要是举例说明什么是促进优质解释的进步，以及一些进一步发展的想法。

这个列表没什么条理，可能要怪到我自己的想法也没什么条理。列表里有些条目，甚至和其他的条目都不属于同一「类别」。我希望在未来，我（或者其他人）能够为这个领域设计更好的分类法/分类/路线图。

（这篇文章的大部分章节可以独立阅读。有几处我提到了其他章节。）

选择一种解释类型（比如练习册的「参考答案」），尝试为其制作最佳版本，看看你可以发现什么技巧或学到什么教训

在 2020 年 3 月，我建了一个博客，为《陶哲轩实分析》写习题解答，这本书是面向本科生的实分析教材。开展这个项目的动机有很多，其中有一项是「为什么参考答案都这么烂？难道以目前最先进的技术，创作出『史上最佳的参考答案』不是应该很容易吗？」我为这本书中三分之一的练习写了参考答案，之后便搁置了这个项目，所以我并没有创作出「史上最佳的参考答案」。不过我觉得至少有 50 道题目的解答的平均水准是很高的。在数学解释的质量上，我觉得这些文章的水平挺不错的，但还没有达到无可匹敌的地步。

我想出了一系列「技巧」来写出更好的习题解答材料，包括：

• 将习题解答组织为博客，这样就可以通过网络搜索找到每道练习
  
• 给每道练习开评论区，这样读者可以提问或提交其他证明
  
• 如果练习可以有多种解法，那就给出各种不同的证明
  
• 规范化一些章节，最重要的是，我设置了「如何思考练习」这一小节，来谈谈我是如何想出解法的，而不是仅仅写出证明
  
• 付费获得独立评议，让读者了解解法的质量
  

上述想法的构想和实现都很容易，但参考答案这类材料尚未采纳过任何一条。（对于其中的某些想法，我甚至觉得无可替代。）

通过开展这个项目，我发现没什么人很在意怎样写好参考答案。（参考答案主要是为方便教授或助教给作业评分而写的，甚至没有惠及最能从中受益的受众。）

参考答案只是我选择的一种类型。我认为还有很多其他类型值得精进（比如教科书、录制课程、数学解释视频、概念发现故事（参见下文详细列表）、选择题、间隔重复卡片^[2]、个人思考问题的过程记录）。我觉得，探索这些材料的过程中，可以发现很多技巧，并提升创作一般解释材料的能力。

发现能够提升特定解释环节的技巧（比如：如何在解释数学时更好地举例）

在 Learning Subwiki 上，我写了一篇关于数学中的例子的页面，在那里我将例子划分为四类：显然正例、意外反例（译注：例如黑天鹅）、意外正例、显然反例。（我不会重复那篇文章的内容，但理解那些内容对下文很重要。）

就我的经验而言，大部分数学教科书在举例子时都不会给全四种例子，而是基本上只给出最显然的例子，偶尔会给出意外反例。我觉得，大部分教科书作者在写教科书举例子时，并没有这四种概念的意识。换句话说，他们不会想「我应该给全四种例子吗？我不会给出显然反例，因为我知道我的受众数学水平比较高，但我会给其他三种例子。」相反，他们只会这样想「啊对了，我应该给个例子。」然后就开干了。我觉得由于这种缺乏反思/缺乏正确概念，以及四种例子的做法没有更广泛地执行，导致数学材料对学生来说特别难以理解。

我刚刚就改善数学中的举例给了一个例子。有其他改善举例的办法吗？有更好描述定理的方法吗？证明呢？非数学解释材料里有类似的组成部分吗，我们如何改善这些组分呢？我觉得改善唾手可得，只要有心问问这些简单的问题。

有人可能会反驳，找出各种例子这个方法，本来就是好学生会做的事情，而且举例子应该是学生做的事，而不是解释者。我喜欢换个角度问一问：我们能不能找出好的学习者的做法，使其自动化，或者清晰地表述出来，这样即使是不太会学习的人也能完成？在这种角度下，这四种数学例子只是我发现的一种原则而已。还有什么原则？

可以与各种写作做类比，比如数学证明写作，程序写作，以及文学写作。数学证明有分类讨论和「不失一般性（译注：Without loss of generality，缩写：WLOG、WOLOG 或 w.l.o.g.）」；编程有各种循环结构，还有诸如模块化的各种思想，不同的编程范式等等；文学的技巧众多 [1]。那么，对于解释又有什么类似的技巧？

找出领域中的视角变换

有时候，人们会提出看待同一学科的不同视角，从而创作出前所未有的解释。我比较熟悉两个例子：

• Sheldon Axler 的《线性代数应该这样学》在解释线性代数时，尽可能推迟了行列式的引入。很多证明都要重写以避免提及行列式。
  
• Noson Yanofsky 的论文《A Universal Approach to Self-Referential Paradoxes, Incompleteness and Fixed Points》（以及 Lawvere 的先前作品，不过不容易获取）将很多计算理论和逻辑学中出现的对角化/自我指代结论结合在了一起，并说明「这些都是一回事」。
  

还有第三个例子值得提及：

• Tristan Needham 的《复分析可视化方法》一书，在解释复分析时使用了很多高质量的插图。我只读了一点点，但看起来很不错。

我觉得在数学和其他领域，肯定还有很多例子。找出这些例子当然很有帮助，但目前而言，更重要的的任务是制造出这样的例子。有哪些主题是太过难以理解的？有什么证明是容易忘记的？也许有一些子领域，通过一些截然不同的视角审视，理解和记忆会更加「自然」？

有一个有趣的问题，这项任务是解释者应该做的，还是「这个领域的研究者」应该做的？也许是两者都应该做的？也许应该合作？也许解释和研究之间没有什么差别？我目前只想出了这些容易想到的问题。

某种意义上，解释文章的最高境界就是视角变换：可能你用了每一项小「技巧」，但有件重要的事没做到，结果文章仍然难以理解。

有一种视角变换是创造新的符号系统。Adam Shimi 跟我分享了这个页面，上面分类了符号系统如何影响学科的思考方式。

发明新的解释类型或者解释风格（比如「概念发现故事」）

概念发现故事^[3]是一种解释风格，其中解释者要虚构一个故事，描述一个概念可能是如何被发现的。做得好的话，读者能清晰地了解概念的起源，为什么概念的原理是这样的等等。概念发现故事也能教授一点如何发现新概念的心理习惯。

多创作一些概念发现故事，弄清楚如何写出很好的概念发现故事是不错的做法。参见「考虑一类解释」一节。而本小节是关于创建一种新的类别，相当于「概念发现故事」，或者「习题答案手册」，或者「教科书」或者「可互动视频」，或者「嵌入了间隔重复卡片的文章」。我不指导怎么创建类别。我应该只做过一次。[2] 我觉得没有人知道如何可靠地创造新类别。但似乎有弄清楚的价值。

发明心理技巧来辅助解释写作（比如「像写儿童绘本一样解释这个话题」）

Jessica Taylor 写过《创作儿童插画书》，而 Eliezer Yudkowsky 之前写过《解释者要心怀高远，脚踏实地》，两篇文章都描述了一种用于提高解释材料质量的技术：想象自己解释的对象，是比实际受众背景知识更少的人。我怀疑有其他类似的「心理」技巧可以派上用场。这里「心理」技巧指的不是检查清单或者局部动作（比如我前文说过的四种数学例子），而是全局的「思维模式」或者「心境切换」，这会引起解释者行为的一系列变化。

将教学工具移植到其他领域，看看会有什么效果

编程这个领域有很多有意思的学习工具，比如 LeetCode，Exercism，Scrimba 等等。电子游戏社区有「直播实况」类视频，速通等等。如果将这些工具移植到其他领域会有什么？数学版 LeetCode 会是什么样？钢琴版 Scrimba 又会是什么样呢？诸如此类。

别急着把教科书塞满，而是写出更多解释材料的「攻略手册」或者「大纲」

我认为，解释主题的「攻略手册」或者草稿大纲，和完善的解释材料，是同等重要的。大部分实分析教材的作者会采取稍微不同的策略。但对于一些部分，他们的解释方法都应该是相同的。这里面有很多重复劳动。我觉得，如果能先讨论一下教科书解释，或者完成一些对立统一的合作，写出书的「大纲」，然后基于大纲进一步讨论，在课上教学，之后再写教科书，会好很多。

考察教科书，找出作者（或许是下意识）使用的模式和技巧

不同教科书的质量参差不齐。我们最终的目标是制作出不世出的高质量解释。但这个目标很难实现，所以有个办法是考察优质的教科书和劣质的教科书，看看什么办法有用，什么办法不行。我对《陶哲轩实分析》做了这样的考察。

更多小规模实验与原型

有人容易陷入这样的误区。他们认为，既然解释学的最终目的，是出品容易理解的解释材料，那么所有解释学的相关作品，都应该是通俗易懂的。然而，正如其他领域的一些材料，是其他领域的专家为彼此而撰写的一样，我认为，在「解释学」里，应该有一些原型，是面向熟悉解释学的人制作的。

创造更多像 X 的东西，然后看看会有什么效果

我比较感兴趣的 X：

• 非常细致的学习指导，比如 Teach Yourself Logic 指南。很多学习指南都比较简略。我想看到更多像 Teach Yourself Logic 这样的指南，而不是教科书。
  
• Youtube 的 HaskellRank 频道。
  
• 关于 Tricki 的文章。
  
• Tricki 网站本身。
  
• 量子国度。
  
• Tim Gowers 的 博客和上面的文章，还有一些老网页。
  
• Subwiki.
  

对读者的理解建立具体的模型，写作时努力让读者的理解达到理想状态

我觉得，很多解释不奏效的原因，是作者没有针对读者的理解建立足够细致的模型（比如他们没有考虑到读者的工作记忆容量有限^[4]，或者没发现有个地方很容易误解，或者没想到读者的参与度不够，或者读者会忽略某个地方的解释）。优秀的作者对读者的思考有不错的把握，并会由此预测读者会产生什么问题，并积极解决读者的误解。但是我觉得这些优秀的作者是靠直觉行事的，没有正式的模型。显式地考虑读者理解会更好吗？换句话说，我们能显式地建立读者阅读时的思想状态的模型，并利用这个模型写出更好的解释吗？能不能从「读者充分理解材料」的理想状态反推，让写解释像按图索骥一样容易呢？这里面很多问题的答案我都不知道，但我很好奇，想试着一一解答。

致谢

感谢 Adam Shimi 对本文草稿的有益讨论和评论。也感谢 Vipul Naik 阅读本文草稿并提醒我加了一段内容。

尾注

[1] 感谢 Adam Shimi，他点出了修辞技巧这一项。

[2] 我想出了「数学直播视频」的主意，但并没有自己真去开直播。在那之后，Tim Gowers 得出了相同的想法（几乎可以肯定是独立想出的），并真的做了不少视频)。（译注：国内有皮套人讲数学呢）

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