都说美国教育高大上，为什么他们数学还辣么差？

美国教育高大上吗？恐怕美国人自己都不一定认同吧。至少美国知名数学教育者 Paul Lockhart 认为美国学校完全毁掉了数学。

一位数学家的哀歌——学校毁掉了数学

一位音乐家从一场可怕的噩梦中醒来。在他的梦中，他发现自己身处一个音乐教育被强制推行的社会。 「我们正在帮助我们的学生在一个日益充满声音的世界中变得更有竞争力。」教育工作者、学校系统和国家负责这个至关重要的项目。研究被委托，委员会被组建，决策被做出——所有这些都没有征求过任何一位在职的音乐家或作曲家的意见。

由于音乐家们习惯以乐谱的形式记录他们的想法，这些奇特的黑点和线条就构成了「音乐的语言」。如果学生想要达到任何程度的音乐能力，就必须精通这种语言；的确，如果一个孩子没有对音乐符号和理论有深入的了解，就期望他唱一首歌或弹一种乐器，那是荒谬的。演奏和聆听音乐，更不用说创作一首原创作品，都被认为是非常高级的话题，通常要等到大学，甚至更多的是研究生阶段才能涉及。

至于中小学，他们的任务是培养学生使用这种语言——按照一套固定的规则来摆弄符号：「音乐课就是我们拿出五线谱纸，老师在黑板上写一些音符，我们抄写或者把它们变成另一个调式。我们必须确保正确写出谱号和调号，而且老师非常挑剔，要求我们把四分音符填满。有一次我们做了一道半音阶的题，我做对了，但是老师却没有给分，因为我把音符的杆画反了。」

稍微聪明的教育者很快意识到，即使是非常小的孩子也可以接受这种音乐教学。事实上，如果一个三年级的孩子还没有完全记住五度圈，那是相当可耻的。「我得给我儿子找个音乐课外辅导老师教。他根本不会用心做他的音乐家庭作业。他说这很无聊。他就坐在那里望着窗外，哼着曲调，编着傻歌。」

在高年级，压力真的很大。毕竟，学生们必须为标准化考试和大学入学考试做好准备。学生们必须学习音阶和调式（Scales and Modes）、节拍（Meter）、和声（Harmony）和对位法（Counterpoint）等课程。「他们要学的东西很多，但是等到大学的时候，当他们终于听到所有这些东西的时候，他们会真正感激他们在高中所做的努力。」当然，没有多少学生真的会专注于音乐，所以只有少数人会听到那些黑点代表的声音。尽管如此，每个社会成员都能够识别一个转调（modulation）或一个赋格段（fugal passage）是很重要的，不管他们是否有机会听到一个。「说实话，大多数学生对音乐都不太擅长。他们在课堂上感到无聊，他们的技能很差，他们的作业字迹几乎无法辨认。他们中的大多数人对音乐在今天的世界有多重要毫不关心；他们只想选最少的音乐课程，然后就完事了。我想有些人就是擅长音乐的那种人，有些人就不是。不过我有一个学生，哇，她真是太棒了！她的乐谱无可挑剔——每个音符都在正确的位置上，完美的书法、升降号（sharps and flats），真是太漂亮了。她将来一定会成为一个了不起的音乐家。」

惊醒后，音乐家惊出一身冷汗，他感激地意识到，一切只是一个疯狂的梦。他安慰自己说：「当然了！没有哪个社会会把这样一种美丽而有意义的艺术形式降低到如此无脑（mindless）和琐碎（trivial）的程度；没有哪种文化会对自己的孩子如此残忍，剥夺他们这样一种自然而令人满意的人类表达方式。多么荒谬啊！」

与此同时，在城市的另一端，一个画家刚从一个类似的噩梦中醒来…

我很惊讶地发现自己在一个普通的学校教室里——没有画架，没有颜料管。「哦，我们实际上直到高中才开始涂画，」学生们告诉我。「在七年级，我们主要学习颜色和涂画工具（applicator）。」他们给我看了一张作业纸。一边是一些色块，旁边有空白的地方。他们被要求写出颜色的名字。「我喜欢画画，」其中一个说，「他们告诉我该怎么做，我就照做。很简单！」

下课后，我和老师聊了聊。「那么，你的学生们其实没有画过画吗？」我问。「嗯，明年他们就要学习『预备按数字填色』（Pre-Paint-by-Numbers）了。这为他们在高中学习主要的『按数字填色』（Paint-by-Numbers）课程做好准备。这样他们就能把在这里学到的东西运用到实际的绘画情境中——把画笔蘸进颜料，擦干净，诸如此类的事情。当然，我们也根据学生的能力进行分组。那些非常优秀的填色者——那些对颜色和画笔了如指掌的人——他们能更早地开始真正的绘画，有些人甚至能参加高级课程，获得大学学分。但我们主要还是想给这些孩子一个关于填色的良好基础，这样当他们走出去，在现实世界里给自己的厨房刷漆时，就不会弄得一团糟。」

「嗯，你提到的这些高中课程……」

「你是说『按数字填色』吗？我们最近看到报名人数大幅增加。我觉得主要是来自于父母想要确保他们的孩子能进入一所好的大学。在高中成绩单上，没有什么比『高级按数字填色』（Advanced Paint-by-Numbers）更好看的了。」

「为什么大学会在意你能否按照对应的颜色填充编号的区域？」

「哦，嗯，你知道的，这显示了清晰的逻辑思维。而且，当然，如果一个学生打算主修视觉科学，比如时尚或室内装饰，那么在高中就完成你的填色要求是一个非常好的主意。」

「我明白了。那么，学生们什么时候能够在一张空白的画布上自由地绘画呢？」

「你听起来像我以前的一个教授！他们总是不停地说要表达自己和自己的感受，还有那些类似的东西——真是非常超前的抽象的东西。我自己也有一个绘画学位，但我从来没怎么用过用过空白的画布。我只是用学校提供的『按数字填色」的套装。」

可悲的是，我们现在的数学教育体系正是这种噩梦。事实上，如果我要为了专门破坏孩子的自然好奇心和对模式创造（pattern-making）的热爱而设计一种机制，我也不可能做得像现在这样好——我根本没有那种想象力，能够想出那些毫无意义、摧毁灵魂的想法，而这些想法正是当代数学教育的组成部分。

人人都知道有些事情不对劲。政治家们说，「我们需要更高的标准。」学校们说，「我们需要更多的钱和设备。」教育家们说一套，老师们说另一套。他们都是错的。唯一了解真相的人是那些最常被指责和最少被倾听的人：学生们。他们说，「数学课很蠢很无聊，」他们是对的。

数学与文化

要理解的第一件事是，数学是一门艺术。数学和其他艺术，比如音乐和绘画，的区别只是在于，我们的文化没有把它当作一门艺术。人人都明白，诗人，画家，和音乐家创造了艺术作品，并且用文字、图像、和声音来表达自己。事实上，我们的社会对于创造性的表达相当宽容；建筑师，厨师，甚至电视导演都被认为是从事艺术的人。那么，为什么不把数学家也算作艺术家呢？

问题的一部分是，没有人对数学家到底做什么有一丝一毫的概念。普遍的看法似乎是，数学家与科学有某种联系——也许他们帮助科学家们处理公式，或者出于某种原因把大数字输入电脑。毫无疑问，如果世界要被划分为「诗意的梦想家」和「理性的思考者」，大多数人会把数学家放在后者的范畴。

然而，事实是，没有什么比数学更富有梦幻和诗意，更具有激进，颠覆，和迷幻的特质。它和宇宙学或物理学一样令人震惊（数学家在天文学家真正发现黑洞之前就已经设想出了它们），并且比诗歌，艺术，或音乐（它们很大程度上依赖于物理宇宙的性质）更能够自由地表达。数学是最纯粹的艺术，也是最被误解的艺术。

那么，让我试着解释一下数学是什么，数学家做什么。我想没有比从哈代（G.H. Hardy）的精彩描述开始更好的方法了：

一个数学家，就像一个画家或诗人，是一个制作模式（pattern）的人。如果他的模式比他们的更持久，那是因为它们是用思想创造的。

所以数学家们坐在那里，创造着各种各样的想法的模式。什么样的模式？什么样的思想？关于犀牛的想法？不，那些我们留给生物学家。关于语言和文化的想法？不，通常不是。这些东西对于大多数数学家的品味来说都太复杂了。如果数学中有类似于统一的美学原则的东西，那就是：简单就是美。数学家们喜欢思考最简单的东西，而最简单的东西是想象出来的。

例如，如果我有想象形状的兴致——而我经常是这样——我可能会想象一个三角形在一个长方形盒子里：

我想知道三角形占了盒子的多少？可能是三分之二吗？重要的是要明白，我说的不是画这个盒子里的这个三角形的过程。也不是说一些构成桥梁大梁系统的金属三角形。这里没有别的实际目的。我只是在玩。这就是数学——想象，玩耍，用你的想象力自娱自乐。首先，关于三角形占了盒子多少的问题，对于真实的物理对象来说，根本没有意义。即使是最精心制作的物理三角形，也仍然是一个由颤动的原子组成的难以搞懂地复杂的集合；它的大小每时每刻都在变化。除非你想讨论某种近似的测量。嗯，这就是美学的作用。那种问题不简单，因此它是一个丑陋的问题，它取决于各种各样的现实世界的细节。那种问题还是留给科学家吧。数学问题是关于一个想象中的三角形在一个想象中的盒子里。边是完美的，因为我想让它们这样——这是我喜欢思考的那种对象。这是数学的一个主要主题：事物是你想让它们所是的样子。你有无尽的选择；没有现实的阻碍。

另一方面，一旦你做出了你的选择（比如我可能选择让我的三角形对称，或者不对称），那么你的新创造就会按照它们的方式运作，不管你喜不喜欢。这就是创造想象中的模式的神奇之处：它们会回应你！三角形占据了它的盒子的一定部分，而我不控制这个部分的大小。有一个数字存在，也许是三分之二，也许不是，但我说的不算。我必须去发现它是什么。

所以我们可以随心所欲地玩耍和想象，创造模式并对它们提出问题。但我们如何回答这些问题呢？这根本不像科学。没有任何实验，无论是用试管、仪器还是其他东西，能告诉我关于我想象中的事物的真相。了解我们想象世界中的真相的唯一方法就是使用我们的想象力，而这是一项艰巨的工作。

就盒子里的三角形而言，我确实看到了一些简单而美丽的东西：

如果我像这样把矩形切成两块，我可以看到每一块都被三角形的边作为对角线切成了两半。所以三角形内部的空间和外部的空间一样多。这意味着三角形一定占据盒子的正好一半！

这就是数学的样子和感觉。那个小故事是数学家艺术的一个例子：对我们想象中的创造提出简单而优雅的问题，并构造令人满意的优美解释。没有什么能像这个纯粹的思想领域一样独一无二；它令人着迷，有趣，而且自由！

我这个想法是从哪里来的呢？我怎么知道要画那条线呢？画家怎么知道要把他的画笔放在哪里呢？灵感、经验、试错、运气。这就是它的艺术，创造出这些美丽的思想小诗，这些纯粹理性的十四行诗。这种艺术形式奇妙地富有变换力。三角形和矩形之间的关系是一个谜，然后那条小小的线就让它显而易见。我看不见，然后突然间我就能看见了。不知怎么的，我能够从无中创造出一种深刻的简单美，并在此过程中改变了自己。这不就是艺术的意义吗？

这就是为什么看到学校里对数学的所作所为是如此令人心碎。这种丰富而迷人的想象力之旅被简化为一套需要记忆和遵循的「事实」和程序。取代了关于形状的简单而自然的问题，以及创造和发现的有趣和有益的过程，学生们却要面对这样的东西：

三角形面积公式：A = 1/2 b h

「三角形的面积等于它的底边长乘以高的一半。」学生们被要求记住这个公式，然后在「练习」中反复「应用」它。创造性行为的兴奋、快乐，甚至痛苦和挫折都消失了。甚至连提出问题都不存在了。问题和答案同时被提出了——学生们没有什么可做的了。

现在让我明确一下我反对的是什么。不是关于公式，或者记忆有趣的事实。这在上下文中是可以的，也有它的位置，就像学习词汇一样——它可以帮助你创造更丰富、更细腻的艺术作品。但重要的不是三角形占据它们的盒子的一半这个事实。重要的是用线分割它的美丽想法，以及这个想法如何可能激发其他美丽的想法，并在其他问题中导致创造性的突破——这是单纯的事实陈述永远无法给你的。

通过去除创造性的过程，只留下那个过程的结果，你几乎可以保证没有人会真正地参与这个主题。这就像说米开朗基罗创作了一座美丽的雕塑，却不让我看它。我怎么能从中得到启发呢？（当然，实际上比这还要糟糕得多——至少人们理解有一种雕塑的艺术，而我却被阻止了欣赏它）。

只关注结果，忽略原因，数学就变成了空洞的外壳。艺术不在于「真理」，而在于解释，论证。正是论证本身赋予了真理以背景，决定了真正在说什么和意味着什么。数学是解释的艺术。如果你剥夺了学生参与这种活动的机会——提出自己的问题，做出自己的猜想和发现，犯错，创造性地受挫，有所启发，拼凑出自己的解释和证明——你就剥夺了他们数学本身。所以不，我不是在抱怨我们的数学课上有事实和公式，我是在抱怨我们的数学课上缺乏数学。

如果你的美术老师告诉你，绘画就是填充有数字的区域，你会知道这是不对的。文化告诉你——有博物馆和画廊，还有你自己家里的艺术品。绘画被社会广泛理解为一种人类表达的媒介。同样，如果你的科学老师试图说服你，天文学是根据出生日期预测一个人的未来，你会知道她是疯了——科学已经渗透到文化中，以至于几乎每个人都知道原子、星系和自然定律。但是，如果你的数学老师给你的印象是，数学就是关于公式、定义和将算法记忆，那么谁会纠正你呢？

文化问题是一个自我延续的怪物：学生从老师那里学习数学，老师也从他们的老师那里学习数学，所以我们的文化中对数学的理解和欣赏的缺乏无限地复制着自己。更糟的是，这种「伪数学」的延续，这种对精确而无脑地操纵符号的强调，创造了它自己的文化和价值观。那些在这方面变得熟练的人从他们的成功中获得了很大的自尊。他们最不想听到的是，数学其实是关于原始的创造力和审美敏感度的。许多研究生在发现，经过十年被告知他们「擅长数学」之后，事实上他们没有真正的数学天赋，只是很擅长遵循指示时，陷入了沮丧。数学不是关于遵循指示，而是关于创造新的指示。

我甚至还没有提到学校里缺乏数学批判。学生们从来没有被告知一个秘密，那就是数学，就像任何文学一样，是人类为了自己的乐趣而创造的；数学作品是可以被批评评价的；人们可以拥有和发展数学品味。一篇数学文章就像一首诗，我们可以问它是否符合我们的审美标准：这个论证合理吗？它有道理吗？它简洁优雅吗？它让我更接近问题的本质吗？当然，学校里没有批判——因为在学校没有可供批判的艺术！

我们为什么不想让我们的孩子学习数学呢？是因为我们不信任他们，还是因为我们认为太难了？我们似乎觉得他们有能力对拿破仑进行论证并得出自己的结论，为什么对三角形就不行呢？我认为这只是因为我们的文化不知道数学是什么。数学给我们的印象是数学是一种非常冷酷和高度技术性的东西，没有人可能理解——如果有的话，这就是一个自我实现的预言。

如果我们的文化只是对数学无知，那还不算太糟糕，但更糟糕的是，人们竟然认为他们知道数学是怎么回事——而且显然是在一个粗略的误解之下，认为数学对社会有某种用处！这已经是数学和其他艺术之间的一个巨大差异。数学被文化视为一种为科学和技术服务的工具。每个人都知道诗歌和音乐是为了纯粹的享受和提升和美化人类的精神（因此它们几乎被从公立学校的课程中消除了），但不，数学是重要的。

SIMPLICIO：你真的想要声称数学对社会没有任何有用或实际的应用吗？

SALVATI：当然不是。我只是想说，仅仅因为某件事情碰巧有实际的后果，并不意味着那就是它的本质。音乐可以引领军队作战，但那不是人们创作交响乐的原因。米开朗琪罗装饰了一面天花板，但我相信他的心中有更高远的事情。

SIMPLICIO：但我们不需要让人们学习数学的那些有用的推论吗？我们不需要会计师和木匠之类的人吗？

SALVATI：有多少人真的用到了他们在学校里所谓学到的这些「实用数学」呢？你认为木匠们有机会使用三角函数吗？有多少成年人记得分数除法，或者解一元二次方程？显然，现在的实践培训计划是行不通的，而且有充分的理由：它无聊透顶，而且没有人会用到它。那么，人们为什么认为它是如此重要呢？我不明白，让社会成员带着对代数公式和几何图形的模糊记忆和对它们的厌恶记忆到处走动，对社会有什么好处。不过，向他们展示一些美丽的东西，让他们有机会享受成为有创造力、灵活、思想开放的思考者的乐趣——这种真正的数学教育可能提供的东西，可能会有些好处。

SIMPLICIO：但人们需要能够平衡自己的支票簿，不是吗？

SALVATI：我相信大多数人在日常运算中都会使用计算器。为什么不呢？这无疑更容易和更可靠。但我的观点不仅仅是现在的体制是如此糟糕，而是它所缺少的是如此美妙的东西！数学应该被当作艺术来教授，为了艺术本身。这些平凡的「有用」的方面会自然地作为一个微不足道的副产品而出现。贝多芬可以轻易地写一首广告歌曲，但他学习音乐的动机是创造一些美丽的东西。

SIMPLICIO：但并不是每个人都适合做艺术家。那些不是「擅长数学的那种人」的孩子们呢？他们怎么适应你的方案？

SALVATI：如果每个人都能在其自然状态下接触数学，体验其中充满挑战的乐趣和惊喜，我认为我们将看到学生对数学态度的巨大转变，以及我们对「数学好」含义的重新认识。我们正在失去许多潜在的天才数学家——他们聪明、有创造力，却因为数学看似毫无意义且枯燥，而选择了拒绝。这些人实在太聪明了，不愿在这种无聊的事情上浪费时间。

SIMPLICIO：但是你不认为，如果数学课变得更像美术课，很多孩子可能就什么都学不到吗？

SALVATI：他们现在什么也没学到！与其像现在这样，还不如不上数学课。至少有些人可能有机会自己发现一些美丽的东西。

SIMPLICIO：所以你的意思是要从学校课程中去除数学吗？

SALVATI：数学已经被删除了！唯一的问题是如何处理剩下的空洞无物的外壳。当然，我更愿意用对数学思想的积极和快乐的参与来取代它。

SIMPLICIO：但有多少数学老师对他们的科目足够了解，能够用那种方式教学呢？

SALVATI：很少。而且这只是冰山一角…

在学校的数学

要想扼杀一门学科的热情和兴趣，最可靠的方法莫过于将其作为学校课程的必修部分。把它作为标准化考试的主要组成部分，你几乎可以保证教育机构会吸干它的生命力。学校董事会不明白数学是什么，教育者、教科书作者、出版公司也不明白，可悲的是，我们的大多数数学老师也不明白。这个问题的范围是如此巨大，我几乎不知道从何说起。

让我们从「数学改革」的惨败开始。多年来，人们越来越意识到数学教育的现状已经腐朽不堪。已经委托了研究，召集了会议，组建了无数由教师、教科书出版商和教育者（不管他们是什么）组成的委员会来「解决问题」。除了教科书行业对改革的自利性兴趣（他们从任何微小的政治波动中获利，通过提供他们那些难以阅读的怪物的「新」版本）之外，整个改革运动一直没有抓住重点。数学课程不需要被改革，它需要被废除。

所有这些关于应该按什么顺序教授哪些「主题」，或者使用这种符号而不是那种符号，或者使用哪种品牌和型号的计算器的腾腾挪挪，看在上帝的份上——这就像在泰坦尼克号上重新排列甲板椅子一样！数学是理性的音乐。做数学就是参与一种发现和猜想，直觉和灵感的行为；就是处于一种困惑的状态——不是因为它对你没有意义，而是因为你赋予了它意义，但你仍然不明白你的创造怎样运作；就是拥有一个突破性的想法；就是作为一个艺术家感到沮丧；就是被一种几乎痛苦的美所震撼和淹没；就是活着，该死的。从数学中剔除这一点，你可以召开所有你想召开的会议；这并不重要。医生们，你们尽管动手术吧：你们的病人已经死了。

所有这些「改革」的最可悲的部分是试图「让数学变得有趣」和「与孩子们的生活相关」。你不需要让数学变得有趣——它已经有趣到我们无法承受的地步了！而它的光辉之处就在于它对我们的生活完全无关。这就是为什么它如此有趣！

试图把数学呈现为与日常生活相关的努力不可避免地显得勉强和人为：「你们看，孩子们，如果你们懂代数，那么你们就可以算出玛丽亚的年龄，如果我们知道她比七年前的两倍年龄大两岁！」（好像有人会有那种荒谬的信息，而不是她的年龄。）代数不是关于日常生活的，它是关于数字和对称性的——而这本身就是一种合理的追求：

假设我已知两个数的和与差。我怎样才能算出这两个数本身是多少？

这是一个简单而优雅的问题，不费吹灰之力就能吸引人。古巴比伦人喜欢解决这样的问题，我们的学生也是如此。（我希望你也能享受思考它！）我们不需要千方百计地给数学赋予意义。它有着与任何艺术一样的意义：那就是一种有意义的人类体验。

无论如何，你真的认为孩子们想要一些与他们的日常生活相关的东西吗？你认为一些实用的东西，比如复利，会让他们兴奋吗？人们喜欢幻想，而这正是数学可以提供的——一种从日常生活中解脱出来，一种对实际的工作日世界的安慰。

当教师或教科书屈服于「可爱化」的时候，就会出现类似的问题。这是在试图对抗所谓的「数学焦虑」（实际上是由学校造成的一系列疾病之一）的过程中，数学被塑造成一种「友好」的东西。例如，为了帮助你的学生记住圆的面积和周长的公式，你可能会编造一个关于「C 先生」的故事，他开着车绕着「A 夫人」转，告诉她他的「两个饼（pie）」有多好（C = 2πr），以及她的「饼是方的」（A = πr2）或者其他一些无聊的东西。但真正的故事是什么呢？是关于人类与曲线长度测量问题的斗争；是关于欧多克索斯（Eudoxus）和阿基米德（Archimedes）以及穷竭法的故事；关于圆周率的超越性的故事？哪一个更有趣——用一个没有解释的（而且让你反复记忆和练习）公式来测量一张圆形的纸张的粗略尺寸，还是听一听人类历史上最美丽、最迷人的问题之一，以及最杰出、最强大的思想之一的故事？看在上帝的份上，我们正在扼杀人们对圆的兴趣！

我们为什么不给我们的学生一个机会，至少听听这些事情，更不用说给他们一个机会去真正地做一些数学的事情，发挥他们自己的想法、观点和反应？还有什么其他的学科是经常被教授，却不提及它的历史、哲学、主题发展、美学标准和现状的？还有什么其他的学科是避开它的原始资料——历史上一些最有创造力的头脑创造的美丽的艺术作品——而偏爱三流的教科书的歪曲的？

学校数学的主要问题是没有问题。哦，我知道在数学课上什么算是问题，那些乏味的「练习」。「这是一种问题。这是如何解决它。是的，它会考到。1-35 题中的奇数题留作作业。」这是多么悲哀的学习数学的方式：成为一个受过训练的黑猩猩。

但是一个问题，一个真正的、诚实的、自然的人类问题——这就是另一回事了。一个立方体的对角线有多长？质数是否无穷无尽？无穷是一个数吗？有多少种方法可以对称地铺满一个表面？数学的历史是人类与这些问题的互动的历史，而不是无意识地重复公式和算法（以及为了使用它们而设计的人为的练习）。

一个好的问题是你不知道如何解决的问题。这就是它成为一个有趣的谜题和一个好的机会的原因。一个好的问题不是孤立地存在，而是作为跳板引出其他有趣的问题。一个三角形占据了盒子的一半。那么一个金字塔在三维盒子里呢？我们能否用类似的方法处理这个问题？

我可以理解培养学生掌握某些技巧的想法——我也是这样做的。但不是作为一种目的本身。数学中的技巧，就像任何艺术一样，应该在上下文中学习。伟大的问题，它们的历史，创造性的过程——这才是恰当的环境。给你的学生一个好的问题，让他们挣扎和沮丧。看看他们能想出什么。等到他们渴望一个点子的时候，再给他们一些技巧。但不要太多。

因此，收起你的教案和投影仪，收起你的全彩教科书，收起你的光盘，收起当代教育马戏团的所有其他东西，只和你的学生一起做数学！美术教师不会把时间浪费在教科书和特定技巧的死记硬背上。他们做的是和他们的学科自然相合的事情——他们让孩子们画画。他们挨个画架巡视，提出建议，提供指导：

「我在思考我们的三角形问题，我注意到了一件事。如果三角形是非常倾斜的，那么它就不会占据盒子的一半！看：

「观察得非常好！我们的切割论证假设了三角形的顶点在底边的正上方。现在我们需要一个新的思路。」

「要不要换个切法？」

「当然。尝试各种各样的想法。告诉我你想出了什么！」

那么，我们如何教我们的学生做数学呢？通过根据学生的喜好、个性和经验水平，选择引人入胜的自然问题。通过给他们时间去发现和提出猜想。通过帮助他们完善他们的论证，营造一个健康和活跃的数学批判的氛围。通过以灵活开放的态度对待他们的好奇心可能导致的方向突变。简而言之，通过与我们的学生和我们的学科建立一个真诚的智识关系。

当然，我所建议的在很多方面是不可能的。即使不考虑全州的课程体系和标准化考试几乎消除了教师的自主权，我也怀疑大多数教师甚至都不愿意与学生建立如此紧密的关系。这需要太多的敞开心扉和太多的责任——简而言之，这是太多的工作！

比起自己深入地思考学科的意义，以及如何最好地直接而诚实地向学生传达这个意义，做一个传声筒，使用一些出版商的「材料」，并遵循「讲课，考试，重复」这种就像印在洗发水包装上的指示，要容易得多。我们被鼓励放弃基于我们个人的智慧和良心做决定的艰难任务，而是「按部就班」。这只是一条最省力的路：

教科书出版商 : 教师 ::
A) 制药公司 : 医生
B) 唱片公司 : 唱盘骑师
C) 公司 : 国会议员
D) 以上都是

问题是，数学和绘画或诗歌一样，是一种艰难的创造性工作。这使得它很难教授。数学是一个缓慢和深思熟虑的过程。一件艺术品的诞生需要时间，也需要一个技艺精湛的教师来鉴别。当然，发布一套规则比指导有抱负的年轻艺术家要容易，写一本录像机说明书比写一本有观点的真正的书籍要容易。

数学是一门艺术，而艺术应该由从事艺术的人，或者如果没有，至少由欣赏艺术形式并能够识别它的人来教授。你不一定要从专业的作曲家那里学习音乐，但是你会希望你自己或你的孩子被一个连乐器都不会弹，一辈子都没有听过一首音乐的人教吗？你会接受一个从来没有拿过铅笔或踏进过博物馆的人作为你的美术老师吗？为什么我们接受那些从来没有创造过一件原创的数学作品，对数学的历史和哲学一无所知，对最近的发展毫不关心，事实上除了他们被期望向他们不幸的学生展示的内容之外，什么都不知道的数学老师呢？这是什么样的老师？一个人怎么能教他自己不做的事情呢？我不会跳舞，因此我永远不会假设我能教一节舞蹈课（我可以试试，但是效果不会好）。区别在于我知道我不会跳舞。没有人会因为我知道一些舞蹈单词就告诉我我很会跳舞。

我并不是说数学老师需要是专业的数学家——远非如此。但是他们不是至少应该理解数学是什么，擅长数学，并喜欢数学吗？

如果教学沦为单纯的数据传输，如果没有激情和惊奇的分享，如果教师自己是信息的被动接受者而不是新思想的创造者，那么他们的学生还有什么希望呢？如果对教师来说，分数的加法是一套任意的规则，而不是创造性过程的产物和美学选择和愿望的结果，那么对可怜的学生来说，当然也会有这样的感觉。

教学并非仅仅关于信息传递。它更重要的是与学生建立一种真诚的智力关系。这不需要任何方法、工具或培训，只需保持真实。如果做不到真实，那么你就没有权利把自己强加给无辜的孩子们。

特别是，教学这门艺术是无法教授的。教育学院完全是废话。当然，你可以学习早期儿童发展（early childhood development）等课程，还能被训练如何「有效」地使用黑板，如何准备一个有条理的「教案」（lesson plan）——顺便说一句，这确保了你的课程是有计划的，因此也是不真实的——但如果你不愿意成为一个真实的人，你就永远不会成为一个真正的老师。教学意味着开放和诚实，它需要分享激情，还要有学习的热爱。没有这些，全世界所有的教育学位也帮不了你；有了这些，那些学位又完全是多余的。

非常简单。学生并不是外星人。他们对美和规律有反应，和其他人一样天生好奇。只要和他们交谈！更重要的是，要倾听他们！

SIMPLICIO：好吧，我明白数学是一门艺术，我们没有很好地让人们了解它。但是，但这对于我们的学校系统来说，不是过于深奥，高雅吗？我们不是想在这里培养哲学家，我们只是希望人们能够合理地掌握基本的算术，以便他们能够在社会中发挥作用。

SALVIATI：但事实并非如此！学校数学涉及许多和社会生活能力无关的东西——比如代数和三角。这些学科和日常生活完全无关。我只是建议，如果我们要把这些东西作为大多数学生的基础教育的一部分，那么我们就要以一种有机和自然的方式来做。而且，正如我之前说过的，一个学科恰巧有一些平凡的实用价值，并不意味着我们必须把这个价值作为我们教学和学习的重点。也许你必须会读才能填写机动车管理局的表格，但这不是我们教孩子读书的原因。我们教他们读书是为了更高的目的，让他们能够接触到美丽和有意义的思想。用这样的方式教阅读不仅是残忍的——强迫三年级的孩子填写采购单和税务表格——而且是行不通的！我们学习东西是因为它们现在让我们感兴趣，而不是因为它们以后可能有用。但这正是我们要求孩子们对数学做的事情。

SIMPLICIO：但我们不是需要让三年级学生能够进行算术运算吗？

SALVIATI：为什么？你想训练他们计算 427 加 389 吗？这根本不是很多八岁孩子感兴趣的问题。就此而言，大多数成年人都不完全理解十进制的位值运算（decimal place-value arithmetic），你指望三年级的孩子有一个清晰的概念吗？或者你不在乎他们是否理解它吗？这对于那种技术性的训练来说太早了。当然，这是可以做到的，但我认为这最终会弊大于利。最好等到他们自己对数字的天然好奇心产生。

SIMPLICIO：那么，我们在数学课上应该如何教育小学生呢？

SALVATI：玩游戏吧！教他们下棋、围棋（Chess and Go）、六角棋（Hex）和西洋双陆棋（Backgammon）、芽棋（Sprouts）以及尼姆游戏（Nim），随便什么。自创一款游戏。玩些谜题。让他们接触需要演绎推理的情境。不必担心符号和技巧，帮助他们成为主动且有创造力的数学思考者。

SIMPLICIO：这似乎是一个很大的风险。如果我们过分弱化算术教学，结果导致学生们连加减都不会怎么办？

SALVATI：我认为更大的风险在于，我们可能会创造出一种完全缺乏创造性表达的学校。在这样的学校里，学生的任务仅仅是记住日期、公式（formula）和词汇表（vocabulary list），然后在标准化考试中机械地复述这些内容——「为今天培养明天的劳动力！」

SIMPLICIO：但毫无疑问，作为一个受过教育的人，应当对一些数学事实有所了解。

SALVATI：是的，其中最重要的一点是，数学是一种由人类为了乐趣而进行的艺术形式！当然，如果人们能对数字和形状有一些基本了解，那会很好。但这绝不是通过死记硬背、练习、讲座和习题来实现的。人们通过实践来学习，并记住对自己有意义的事物。我们有数百万成年人，脑海中浮现着「负 b 加减 b 的平方减去 4ac 的平方根，整个除以 2a」，却根本不知道这是什么意思。原因在于，他们从未有机会自己去发现或创造这些东西。他们从未遇到过让人着迷的问题，让他们感到挫败，从而激发他们对技巧或方法的渴望。没有人向他们讲述人类与数字的历史——没有古巴比伦的问题泥板，没有莱因德纸草书（Rhind Papyrus），没有《计算书》（Liber Abaci），也没有《伟大艺术》（Ars Magna）。更重要的是，他们甚至没有机会对一个问题产生好奇；问题还没来得及被提出，就已有了答案。

SIMPLICIO：我们没有时间让每个学生自己发明数学！人们花了几个世纪的时间才发现毕达哥拉斯定理（Pythagorean Theorem）。你怎么能指望普通孩子做到这一点呢？

SALVATI：我不这么认为。让我们明确一点。我在抱怨的是，数学课程中完全缺失了艺术和创新、历史和哲学、背景和视角。这并不意味着符号（notation）、技巧（technique）以及知识基础（knowledge base）的发展没有立足之地。它们当然有其必要性。我们应该兼顾两者。如果我反对钟摆过于偏向一边，这并不是说我希望它完全偏向另一边。但事实是，当产品从过程中产生时，人们学得更好。对诗歌的真正欣赏，不是来自于背诵一堆诗歌，而是来自于自己去写诗。

SIMPLICIO：是的，但在你能够自己写诗之前，你需要先学习字母表。一切总得有个起点。凡事得循序渐进。

SALVATI：不，你必须有一个想要奔向的目标。孩子们在学习阅读和写作的同时，也可以创作诗歌和故事。六岁孩子的作品是件美妙的事情，拼写和标点的错误并不会减损其价值。即便是非常小的孩子们也能创作歌曲，他们对音乐的调性（key）或所用的韵律（meter）一无所知。

SIMPLICIO：但数学不是不同吗？数学难道不是一种自成体系的语言，其中包含了各种必须先学会的符号，之后才能使用吗？

SALVATI：不，数学不是一门语言，而是一场冒险。音乐家们仅仅因为使用小黑点来简化他们的想法，就能说他们「讲另一种语言」吗？如果真是这样，对于一个和她的歌声的幼儿来说，这并不构成障碍。的确，几个世纪以来，一些数学简写形式已经发展出来，但这并非必需。大多数数学活动是在一杯咖啡的陪伴下，与朋友一起，随手在餐巾纸上画着图形进行的。数学一直是也将永远是关于思想的，一个有价值的思想超越了你选择用来表示它的符号。正如高斯（Gauss）曾经指出的，「我们需要的是概念，而非符号。」

SIMPLICIO：数学教育的目的之一，难道不是帮助学生以更精确、更逻辑的方式思考，以及培养他们的「数量推理能力」（quantitative reasoning skills）吗？所有这些定义和公式，不是都在锤炼我们学生的思维吗？

SALVATI：不，情况并非如此。如果说有什么影响，现行体制反而会使思维变得迟钝。不论何种心智敏锐，都源于自己解决问题，而非别人告诉你如何解决。

SIMPLICIO：公平地说，但对于那些有志于科学或工程（science or engineering）领域发展的学生呢？难道他们不需要传统课程提供的训练吗？这不就是我们在学校教授数学（mathematics）的原因吗？

SALVATI：有多少学习文学课程的学生将来会成为作家？这并不是我们教授文学的原因，也不是学生学习文学的目的。我们教授文学，是为了启迪每一个人，而不仅仅是培养未来的专业人士。无论如何，对于科学家（scientist）或工程师（engineer）来说，最宝贵的技能是能够创造性地、独立地思考。最不需要的，就是被训练。

数学课程

数学在学校里的教学方式之所以让人痛心，不在于缺少什么——事实上，我们的数学课上根本没有进行真正的数学活动——而在于其取而代之的东西：那些被称为「数学课程」的混乱而有害的错误信息堆砌。现在是时候仔细看看我们的学生面临的究竟是什么了——他们在所谓的数学名义下接触到什么，以及在这个过程中他们是如何受到伤害的。

这所谓的数学课程最引人注目的是其僵化性。这在高年级尤为明显。无论是从一个学校到另一个学校，从一个城市到另一个城市，还是从一个州到另一个州，教授的内容、方式和顺序完全相同。在这种奥威尔式的局面下，大多数人并没有感到不安或不满，反而已经将这种「标准模式」数学课程视为数学本身的同义词。

这与我所说的「阶梯神话」密切相关。这个观念认为，数学可以被排列成一系列的「科目」，每个科目在某种程度上都比前一个更先进或「更高级」。这种想法把学校数学变成了一场比赛——一些学生「领先」于其他人，家长则担心自己的孩子「落后」。这场比赛究竟通向何方？终点又有什么在等着呢？这实际上是一场悲哀的走向无处的竞赛。最终，你被剥夺了数学教育，你甚至还未察觉。

真正的数学不是现成的——不存在所谓的「代数二」（Algebra II）概念。问题会引领你走向它们自然的方向。艺术不是一场竞赛。阶梯神话是对这门学科的一种误解，教师按照标准课程自己的路径前行，这进一步强化了这一神话，阻止了他们将数学视为一个有机整体。因此，我们的数学课程缺乏历史视角和主题连贯性，只是一系列杂乱的主题和技巧的集合，它们之间的唯一联系是这些内容可以简单地被还原为一步步的程序。

我们本应有的发现和探索，被规则和条例所取代。我们从未听到学生说：「我想看看把一个数的指数设为负数是否有意义，我发现如果你认为这表示倒数，会得到一个非常整洁的模式。」相反，我们的教师和教科书把「负指数规则」当作既定事实来介绍，却没有提到这种选择背后的美学，甚至没有提到这本身就是一种选择。

在数学教学中，我们本可以通过探讨意义深远的问题，综合各种思想，开辟讨论和辩论的新领域，感受数学主题的统一与和谐。然而，现实却是枯燥无味且重复的练习，这些练习仅限于讨论的技术，彼此之间以及与整个数学领域（mathematics）的脱节如此之大，以至于学生和他们的老师都对这些问题的提出缘由一无所知。

在自然的问题情境中，学生本可以自行决定他们想要的词义和想要明确的概念。然而，他们却不得不面对一连串毫无动机、先验的「定义」。课程对术语和命名法（jargon and nomenclature）的迷恋似乎没有其他目的，只是为了给老师提供一些可以考察学生的内容。世界上没有哪位数学家（mathematician）会在意这些无意义的区分：2 1/2 是一个「混合数」（mixed number），而 5/2 是一个「假分数」（improper fraction）。天哪，它们是等价的。这两个数完全相同，属性也完全一样。除了小学四年级之外，还有谁会用这些词呢？

当然，测试某人对无意义定义的了解远比激发他们创造美好事物和寻找自己的意义来得容易。即使我们同意数学基础共通词汇的价值，这种做法也不对头。多么遗憾，五年级的学生被教导使用「四边形」（quadrilateral）而不是「四边形状」，却从未被告知使用「猜想」（conjecture）和「反例」（counterexample）的理由。高中学生必须学会使用割线函数（secant function），即『sec x』，这是余弦函数（cosine function）的倒数『1 / cos x』的缩写（这个定义的智力分量和决定用『&』代替「and」的重要性一样）。这种特定的简写，是十五世纪航海表的遗留物，至今仍在使用（而其他的，如「versine」已经消失），仅仅是历史偶然，对于一个不再需要快速精确船上计算的时代毫无价值。因此，我们的数学课堂被这种毫无意义的术语填满了，纯粹是为了术语本身。

实际上，课程不仅仅是一系列主题或思想的排列，更多的是符号的序列。显然，数学由一份神秘的符号列表和操作这些符号的规则组成。年幼的孩子们先被教授使用『+』和『÷』。只有在稍后，他们才能被信任使用『√』，然后是『x』、『y』以及括号的变化术。最终，他们在使用『sin』、『log』、『f(x)』，如果被认为有资格的话，还有『d』和『∫』上被灌输。所有这些都是在没有经历过任何有意义的数学体验的情况下完成的。

这个课程安排得非常严密，以至于教师和教科书作者能够提前多年准确预测学生将要做的每一件事，甚至到具体练习的页码。在二年级的代数课上，要求学生计算不同函数 f 的表达式 [ f(x + h) – f(x) ] / h 并不罕见，这样做是为了让他们在几年后学习微积分（calculus）时已经对此有所了解。虽然这种看似随机的操作组合为何会引人关注，通常没有给出（也不期望给出）动机，但我确信有许多教师试图解释这种操作可能的含义，并认为这是在帮助学生，实际上对学生来说，这只是又一个无聊的数学问题，需要尽快解决。学生可能会想：「他们想让我做什么？哦，只是简单地代入吗？好吧。」

又一个例子是，培训学生以一种不必要复杂的方式表达信息，仅仅因为在未来某个遥远的时期，这种表达方式才会显得有意义。有哪位中学代数老师能够明白，为什么他要求学生把「数字 x 位于三和七之间」改述为「|x - 5| < 2」？这些能力极差的教科书作者，真的认为他们通过为学生准备未来可能到来的日子——那时他们可能需要在更高维的几何或抽象的度量空间（metric space）中操作——而帮助到了学生吗？我表示怀疑。我认为他们只是在互相抄袭，年复一年，或许更换一下字体或突出色彩，当某个学校系统采用了他们的书，他们便洋洋得意，而这个学校系统则成了他们不知情的帮凶。

数学关乎问题，问题应成为学生数学生活的核心。虽然这个过程可能令人痛苦且充满创造性的挫败感，但学生和他们的老师应始终投入其中——有时灵感迸发，有时又似乎毫无头绪；他们会发现规律，提出猜想，构造实例及反例，设计论证，并相互批评对方的工作。特定的技术和方法将自然地从这一过程中产生，正如历史上的情形一样：这些方法并非孤立存在，而是与问题的背景有机地联系在一起，并由此生长出来。

英语教师了解，拼写和发音最好在阅读和写作的背景下学习。历史教师知道，如果把名字和日期从事件的发展背景中剥离出来，它们会变得枯燥无味。为何数学教育仍停留在十九世纪？对比一下你自己学习代数的经历和伯特兰·罗素（Bertrand Russell）的回忆：

「我被迫死记硬背：『两个数的和的平方等于它们各自的平方之和加上它们的乘积的两倍。』我对这句话的意思一无所知，当我记不住这些词时，我的家教向我头上扔书，这丝毫没有激发我的智慧。」

事情今天真的有所不同吗？

SIMPLICIO：我认为这样说不太公平。毕竟从那时起，教学方法已有所改进。

SALVATI：你是在说教学方法吗？教学本质上是一种复杂的人际关系，它并不需要什么特定的方法。或者，换句话说，如果你觉得非得依靠方法不可，那可能你并不是一名很出色的教师。如果你对自己的学科没有足够的感觉，无法用自己的话语，以一种自然而自发的方式来讲述它，你又怎能真正理解它呢？再说，谈到困于旧时代，难道不令人震惊的是，课程内容本身还停留在十七世纪吗？想想过去三百年里，数学思想中所有惊人的发现和深刻的变革！这些几乎被当作从未发生过一样，无人提及。

SIMPLICIO：但你对我们的数学老师要求是否太高了？你期望他们对几十名学生给予个别关注，引导他们各自发现和启迪之路，同时还要求他们了解最新的数学历史？

SALVATI：你希望你的美术老师能够根据你的画作给出个性化、专业的建议吗？你期待她对过去三百年的艺术史有所了解吗？但说真的，我并不抱这样的期望，我只是希望事情是这样的。

SIMPLICIO：所以你是在责怪数学老师吗？

SALVATI：不，我责怪的是造就他们的文化。这些可怜的人尽其所能，只是在做他们所受的训练。我相信他们中的大多数都爱他们的学生，也讨厌不得不让学生经历这些事情。他们心里明白，这些都是没有意义且令人堕落的。他们能感觉到自己已成为巨大的、压榨灵魂的机器（soul-crushing machine）中的一颗螺丝，但他们缺乏理解这一切的视角，或是与之抗争的能力。他们只知道必须让学生为「明年做好准备」。

SIMPLICIO：你真的认为大多数学生有能力自己创造数学（mathematics）吗？

SALVATI：如果我们真的认为创造性推理对学生来说太「高深」，他们无法应对，那么为什么我们允许他们写历史论文或关于莎士比亚的文章呢？问题不在于学生不能应对，而在于没有老师能应对。他们自己从未证明过任何东西，所以他们怎么可能给学生提供建议呢？无论如何，学生的兴趣和能力肯定会有差异，就像在任何学科中一样，但至少学生会因为数学本身而喜欢或不喜欢它，而不是因为这种扭曲的模仿。

SIMPLICIO：但我们肯定希望所有学生都能学习一套基本的事实和技能。这就是课程设置的目的，也是为什么课程如此统一的原因——我们需要学生知道一些永恒的、冷酷的事实：一加一等于二，三角形的内角和等于 180 度。这些不是意见，也不是模糊的艺术感觉。

SALVATI：恰恰相反。数学结构，无论是否有用，都是在问题背景下发明和发展起来的，并从中获得意义。有时，我们希望一加一等于零（如在所谓的「模 2」算术中）；以及在球面上，三角形的内角和大于 180 度。没有所谓的「事实」；一切都是相对的和关系性的。重要的是故事，而不仅仅是结局。

SIMPLICIO：我已经厌倦了你那些神秘的胡言乱语！基础算术，好吗？你到底同不同意学生应该学习它？

SALVATI：这取决于你所说的「它」是什么意思。如果你指的是对计数和排列问题的理解，分组和命名的优点，表示与事物本身的区别，以及对数系统历史发展的某些认识，那么是的，我确实认为我们的学生应该接触这些内容。如果你指的是在没有任何概念框架的情况下死记硬背算术事实，那么不。如果你指的是探索五组七与七组五相同这一并不明显的事实，那么是的。如果你指的是制定一个规则，规定 5 x 7 = 7 x 5，那么不。做数学应该始终意味着发现规律并构建美丽且有意义的解释。

SIMPLICIO：那么几何呢？学生们不是在那里证明一些东西吗？高中几何难道不是你希望数学课成为的完美例子吗？

高中几何：魔鬼的工具

对于一个严厉指责的作者来说，没有什么比他的主要攻击目标被用来支持他的观点更令人恼火的了。高中几何就像披着羊皮的狼一样阴险，像虚伪的朋友一样背信弃义。正因为它是学校试图向学生介绍论证艺术的尝试，所以它非常危险。

这种病毒伪装成学生最终能够进行真正数学推理的场所，攻击数学的核心，摧毁创造性理性论证的本质，毒害学生对这一迷人且美丽学科的兴趣，并永久性地使他们无法以自然和直观的方式思考数学。

其背后的机制既微妙又狡猾。学生受害者首先被一连串无意义的定义、命题和符号弄得目瞪口呆、麻木不仁，然后通过系统的灌输，逐渐而艰难地被剥夺了对形状及其规律的任何自然好奇心或直觉，转而接受所谓「形式几何证明」的生硬语言和人为格式。

撇开所有比喻不谈，几何课无疑是整个小初高数学课程中对心理和情感破坏性最大的部分。其他数学课程可能会把这只美丽的小鸟藏起来，或者关在笼子里，但在几何课上，它却受到了公开而残酷的折磨。（显然，我无法完全撇开比喻。）

正在发生的是对学生直觉的系统性破坏。一个证明，即一个数学论证，是一部虚构作品，一首诗。它的目标是令人满意。一个优美的证明应该解释，并且解释得清晰、深刻且优雅。一个写得好、构思精巧的论证应该像一股清凉的水，像一盏明灯——它应该沁人心脾，照亮心灵。而且它应该是迷人的。

几何课上的所谓「证明」毫无魅力可言。学生在进行所谓的「证明」时，会被要求按照一种僵化和教条的格式——这种格式就像坚持要求想种花园的孩子用属和种来称呼他们的花一样，既不必要也不合适。

让我们来看这种疯狂的一些具体实例。我们从两条交叉线的例子开始：

通常首先发生的事情是用过多的符号使问题变得不必要地复杂。显然，人们不能简单地谈论两条交叉线；必须给它们起复杂的名字。而且不能是像「线 1」和「线 2」这样的简单名字，甚至不能是「a」和「b」。我们必须（根据高中几何的要求）在这些线上选择随机且无关的点，然后使用特殊的「线符号」来指代这些线。

你看，现在我们得称它们为 AB 和 CD。天哪，你千万不能省略上面的短横线——「AB」指的是线段 AB 的长度（至少我是这么理解的）。不管它有多么无谓地复杂，这就是你必须学会的方式。接下来是实际的陈述，通常被称为某个荒谬的名字，比如

命题 2.1.1. 令 和 相交于点 。那么 ∠APC ≅ ∠BPD。

换句话说，两边的角角度是相同的。好吧，废话！两条交叉线的构型是对称的，天哪。仿佛这还不够糟糕，这个关于线和角的显而易见的陈述还必须被「证明」。

证明：

我们得到的不是一个真正的人以世界上多种自然语言之一撰写的诙谐有趣的论证，而是这封沉闷、没有灵魂、官僚主义的证明信。这真是小巫见大巫！难道我们真的想让这样一个简单明了的观察结果需要如此冗长的前言吗？老实说，你真的读过它吗？当然没有。谁会想读呢？

对如此简单的事情进行如此繁琐的处理，其效果是让人们怀疑自己的直觉。质疑显而易见的事情，坚持要「严格证明」（好像上面的内容甚至构成了一个合法的正式证明），就是在对学生说：「你的感觉和想法是可疑的。你需要按照我们的方式思考和表达。」

毫无疑问，形式证明在数学中有其地位。但这个地位不应该是学生第一次接触数学论证时的内容。至少要让人们先熟悉一些数学对象，并了解对它们的期望，然后再开始形式化一切。严格的形式证明只有在出现危机时才变得重要——当你发现你的假想对象以一种违反直觉的方式表现时；当出现某种悖论时。但这种过度的预防性措施在这里完全没有必要——还没有人「生病」呢！当然，如果在某个时候出现逻辑危机，那么显然应该进行调查，并使论证更加清晰，但这个过程也可以直观且非正式地进行。事实上，与自己的证明进行这样的对话是数学的灵魂。

因此，大多数孩子不仅被这种迂腐弄得完全困惑——没有什么比证明显而易见的事情更令人费解的了——即使是那些直觉依然完好的少数学生，也必须将他们优秀、美丽的想法重新翻译回这种荒谬的象形文字框架，以便他们的老师称其为「正确」。然后老师自我陶醉地认为他在某种程度上磨砺了学生的思维。

再举一个更严肃的半圆内有一个三角形的例子：

关于这个图形的美妙真理是，无论你在圆上将三角形的顶点放在哪里，它总是形成一个漂亮的直角。（如果「直角」这个术语与问题相关并且使讨论更容易，我对此没有异议。我反对的不是术语本身，而是无意义的术语。无论如何，如果学生更喜欢，我很乐意使用「角落」甚至「猪圈」。）

在这种情况下，我们的直觉会产生一些疑问。这个结论是否成立并不明显；甚至看起来不太可能——如果我移动顶点，角度不应该改变吗？我们这里有一个绝妙的数学问题！它是真的吗？如果是，为什么它是真的？多么好的项目啊！多么好的机会来锻炼一个人的创造力和想象力啊！当然，学生们没有得到这样的机会，他们的好奇心和兴趣立即被以下内容打消了：

定理 9.5. 设三角形ABC内接于直径为 的半圆内。那么 ∠ABC 是直角。

证明：

有什么能比这更丑陋、更不优雅的吗？有什么论证能比这更晦涩难懂、不可读吗？这不是数学！一个证明应该是神灵的启示，而不是五角大楼的密码信息。这就是错误的逻辑严谨性带来的结果：丑陋。论证的精神被埋在了一堆令人困惑的形式主义之下。

没有数学家会这样工作。没有数学家曾经这样工作过。这完全是对数学事业的彻底误解。数学不是在我们和我们的直觉之间竖起障碍，也不是把简单的事情复杂化。数学是要消除我们直觉的障碍，并保持简单的事情简单。

将这个令人倒胃口的证明与我一个七年级学生提出的以下论证进行比较：

「将三角形旋转，使其在圆内形成一个四边形的框。由于三角形被完全旋转了一圈，框的边必须是平行的，因此它形成了一个平行四边形。但它不能是一个倾斜的框，因为它的两条对角线都是圆的直径，所以它们是相等的，这意味着它必须是一个真正的矩形。这就是为什么角总是直角的原因。」

这难道不是令人愉快吗？作为一个想法，重点不在于这个论证是否比另一个论证更好，而在于这个想法是否传达出来了。（事实上，第一个证明的想法相当漂亮，尽管看起来有些模糊不清。）

更重要的是，这个想法是学生自己提出的。班级有一个很好的问题要解决，大家提出了猜想，尝试了证明，而这是其中一个学生的成果。当然，这花了好几天时间，是一连串失败后的最终结果。

平心而论，我对这个证明进行了相当大的改写。原版相当复杂，包含了很多不必要的赘述（以及拼写和语法错误）。但我想我已经传达了其中的感觉。这些缺陷都是好事，它们让我这个老师有了用武之地。我能够指出几个风格和逻辑上的问题，学生随后能够改进论证。例如，我对两条对角线都是直径这一点并不完全满意——我认为这并不完全显而易见——但这只意味着有更多的思考空间和更多的理解可以从中获得。事实上，学生能够很好地填补这一空白：

「由于三角形绕圆旋转了半圈，所以顶点必须正好位于起始点的对面。这就是为什么框的对角线是直径的原因。」

这是一个很棒的项目，也是一个美妙的数学作品。我不确定是学生还是我自己更为自豪。这正是我希望我的学生们能够拥有的体验。

标准几何课程的问题在于，作为一个挣扎中的艺术家的私人、个人体验几乎被消除了。证明的艺术已被一种缺乏灵感的形式推理的僵化步骤模式所取代。教材呈现了一套定义、定理和证明，教师将它们抄写在黑板上，学生将它们抄写在笔记本上。然后要求学生在练习中模仿这些内容。那些迅速掌握这种模式的学生被认为是「好」学生。

结果是学生在创造性活动中变成了被动的参与者。学生们在做出符合预先存在的证明模式的陈述，而不是因为他们真正理解这些陈述。他们被训练成模仿论证，而不是有意地进行论证。因此，他们不仅不知道老师在说什么，也不知道自己在说什么。

即使是传统的定义呈现方式也是一种谎言。为了在开始典型的命题和定理的连串之前制造一种「清晰」的假象，提供了一组定义，以便使陈述及其证明尽可能简洁。表面上看，这似乎相当无害；为什么不做一些缩写，以便更经济地表达呢？问题在于，定义很重要。它们来自于审美决定，即作为艺术家，你认为哪些区别是重要的。而且它们是由问题产生的。做出定义就是突出并引起对某一特征或结构属性的注意。从历史上看，这源于解决问题的过程中，而不是作为解决问题的前奏。

关键是你不应该从定义开始，而是从问题开始。在毕达哥拉斯尝试测量正方形的对角线并发现它不能表示为分数之前，没有人想到「无理数」的概念。定义在你的论证中达到某个需要区分的点时才有意义。没有动机地做出定义更可能导致混乱。

这学生被屏蔽和排除在数学过程之外的又一个例子。学生需要能够在需要时自己做出定义——自己提出辩论的框架。我不希望学生说「定义、定理、证明」，我希望他们说「我的定义、我的定理、我的证明」。

撇开所有这些抱怨不谈，这种讲解方式的真正问题在于枯燥乏味。效率和经济性并不能造就好的教育方法论。我很难相信欧几里得会赞同这种做法；我知道阿基米德也不会赞同。

SIMPLICIO：等一下。我不知道你怎么想，但我其实很享受我的高中几何课。我喜欢那种结构化的方式，也喜欢在严格的证明格式中工作。

SALVATI：我相信你确实喜欢。你可能偶尔还会做一些不错的问题。很多人喜欢几何课（尽管更多人讨厌它）。但这并不是对当前体制的支持。相反，这强有力地证明了数学本身的魅力。很难完全毁掉如此美丽的东西；即使是数学的这一微弱影子也仍然可以是引人入胜和令人满意的。许多人也喜欢按数字填色；这是一种轻松而多彩的手工活动。但这并不意味着它是真正的艺术。

SIMPLICIO：但我在告诉你，我喜欢它。

SALVATI：如果你有过更自然的数学体验，你会更加喜欢它。

SIMPLICIO：所以我们应该开始一些自由形式的数学探险，而学生们会学习他们碰巧学到的东西？

SALVATI：正是如此。问题会引出其他问题，技术会在必要时得到发展，新的主题会自然出现。如果某个问题在十三年的学校教育中从未出现过，那它能有多有趣或多重要呢？

SIMPLICIO：你完全疯了。

SALVATI：也许我确实有些偏激。但即使在传统框架内，一位优秀的教师也可以引导讨论和问题的进展，让学生自己发现和发明数学。真正的问题在于官僚体制不允许个别教师这样做。有了固定的课程，教师就无法引导。应该没有标准，也没有课程。只有每个人都在做他们认为对学生最好的事情。

SIMPLICIO：但这样的话，学校如何保证所有学生都具备相同的基础知识？我们如何准确衡量他们的相对价值呢？

SALVATI：他们不能，我们也不会。就像在现实生活中一样。最终你必须面对一个事实：每个人都是不同的，这完全没问题。无论如何，这并不紧急。所以一个人高中毕业时不知道半角公式（好像他们现在就知道一样！）那又怎样？至少这个人会对这个学科的真正意义有一些了解，并且会看到一些美丽的东西。

总之...

为了给我对标准课程的批判画上圆满的句号，并为社区服务，我现在呈现有史以来第一个完全诚实的小初高数学课程目录：

标准学校数学课程

小学数学。灌输开始了。学生们了解到，数学不是你做的事情，而是对你做的事情。数学课的重点是坐好，填写作业纸，遵循指示。孩子们被期望掌握一套复杂的算法来操作印地数字，这与他们的任何真实愿望或好奇心无关，而在几个世纪前被认为对普通成年人来说太难了。乘法表被强调，家长、老师和孩子们也都感到压力。

初中数学。学生们被教导将数学视为一套程序，类似于宗教仪式，是永恒不变的。圣碑志或 "数学书 "被分发出去，学生们学会称呼教会长老为 "他们"（例如「他们在这里想要什么？他们想让我做除法吗？」）。人为和虚构的「文字题」将被引入，以使算术的无脑苦差事显得相对愉快。学生将接受一系列不必要的专业术语测试，如「整数」和「真分数」，而没有任何区分这些术语的合理理由。为代数I作好充分准备。

代数 I。为了不浪费宝贵的时间思考数字及其模式，这门课程转而关注符号及其操作规则。从古代美索不达米亚的板书问题到文艺复兴时期代数学家的高超艺术的顺畅叙述线被抛弃，取而代之的是令人不安的支离破碎的后现代复述，没有人物、情节或主题。坚持将所有数字和表达式放入各种标准形式中，会使学生对同一性（identity）和相等性（equality）的含义产生更多困惑。学生们还必须记住一元二次方程求根公式，尽管原因不明。

几何。与课程的其余部分隔离，这门课程将唤起希望从事有意义数学活动的学生的期望，然后将其击碎。笨拙且令人分心的符号将被引入，不遗余力地使简单的事情变得复杂。这门课程的目标是消除任何剩余的自然数学直觉，为代数 II 做准备。

代数 II。这门课程的主题是无动机和不恰当地使用坐标几何。圆锥曲线在坐标框架中被引入，以避免圆锥及其截面的美学简洁。学生们将学习将二次形（quadratic forms）重写为各种标准格式，尽管完全没有理由。指数和对数函数也在代数II中引入，尽管它们不是代数对象，只是因为它们必须被塞进某个地方，显然如此。课程名称的选择是为了强化阶梯谬误。为什么几何出现在代数 I 及其续集之间仍然是个谜。

三角学。两周的内容被拉长到一个学期，通过无意义的定义绕圈子。真正有趣和美丽的现象，比如三角形的边长如何依赖于其角度，将与无关的缩写和过时的符号约定得到同样的重视，以防止学生形成对该学科的任何清晰认识。学生将学习诸如「SohCahToa」和「All Students Take Calculus」这样的助记技巧，而不是培养对方向和对称的自然直观感觉。讨论三角形的测量时，不提三角函数的超验性质，也不提进行这种测量所固有的语言和哲学问题。为了进一步模糊这些问题，将需要使用计算器。

预备微积分。一个毫无意义的杂烩，充满了不相关的主题。大多是半生不熟的尝试，将十九世纪末的分析方法引入到既不必要也无益的环境中。技术性地定义「极限」和「连续性」，以掩盖直观上清晰的平滑变化概念。正如其名，这门课程为微积分做准备，在那里，任何与形状和运动相关的自然概念的系统性模糊化将达到最终阶段。

微积分。这门课程将探讨运动的数学，并将其埋藏在大量不必要的形式主义之下。尽管它是微分和积分微积分的入门课程，但牛顿和莱布尼茨的简单而深刻的思想将被抛弃，取而代之的是一种更复杂的基于函数的方法，这种方法是为应对各种分析危机而发展起来的，但这些危机在此环境中并不适用，当然也不会被提及。大学时将再次逐字学习。

这就是全部内容。一个彻底摧毁年轻心灵的完整处方——一种经过验证的好奇心的解药。他们对数学做了什么！

这种古老的艺术形式有着令人叹为观止的深度和令人心碎的美丽。讽刺的是，人们将数学视为创造力的对立面。他们错过了一种比任何书籍都古老，比任何诗歌都深刻，比任何抽象都更抽象的艺术形式。而这一切都是学校造成的！无辜的老师给无辜的学生造成伤害，这是多么可悲的无休止循环。我们本可以享受更多的乐趣。

SIMPLICIO：好吧，我彻底沮丧了。接下来怎么办？

SALVIATI：嗯，我想我有一个关于立方体内放一个金字塔的想法……

Thoughts Memo 汉化组译制
感谢主要译者 Unnamed2964、照华堂，校对 Jarrett Ye
作者：Paul Lockhart
原文：A Mathematician’s Lament by Paul Lockhart

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