问题描述
介绍一下：民国时期的初中算术课程内容包括：自然数，分数，小数的四则运算（包括繁分数和四则混合运算）和其应用（不包括负数），数的质因数，素数的概念，百分比，比例，开方的概念和应用，单位换算和一些基础的商业算术。
个人认为：我其实觉得初中可能真有必要把民国的初中算术再加回来，因为1。从目前的情况来看，国内许多初中新生的算术基础真的需要加强。因此我个人意见是对于能力较强的学生可以通过测试达到标准的话免修，但如果没达到那真的有必要学学。2。世界上有成功的先例，比如朝鲜就部分保留了民国初中算术的内容，比如自然数，分数，小数的四则运算（包括繁分数和四则混合运算）和其应用，但没有影响到教育水平。
本质上还是打补丁，给小学教育擦屁股，有当然好，能解决部分问题。上完小学真不一定能熟练掌握算术，所谓“九漏鱼”并非调侃，而是一种常见现象。这种情况会对学生的长期数学发展造成严重影响。这里我用汉化组的译文节选，从认知心理学和教育学的角度解释一下引发这一现象的原因，以及可能造成的结果。
原因
基于年龄分组的大锅饭，必定会有夹生
来源：第一章 两个标准差问题的解决方案
⠀⠀⠀「学校的课程安排和教学标准的制定主要基于学生的年龄。课程内容和学习体验据说是适合该年龄段或年级的大多数学生。尽管可能会根据学习进度的差异做一些调整，也可能在同一年级或班级内针对个别学生调整教学标准，但每个学生基本上都是作为群体的一员接受教育，教师和教学材料都尽可能给予所有学生同等对待。
⠀⠀⠀……
⠀⠀⠀在学校的教学过程中，群体是核心，针对个别学生的调整极其有限。如果整个群体在学习中遇到困难，教师会反复讲授该任务或技能，直到部分学生掌握为止。然而，通常情况下，并不期望所有学生都能将一项任务或技能掌握到相同的水平，也很少使用反馈-纠正的方法来帮助所有学生达到同样的成就标准。
⠀⠀⠀由于无法期望每个学生都达到相同的标准或水平，学校采用因人而异的评价标准，但布置给所有人的学习任务仍保持一致。某些学生被期望能够将一项任务掌握到较高水平，而其他学生则只被期望达到相对低得多的水平。」
小学老师给初中老师留下烂摊子，但又不用为之负责
来源：第五章 问责与激励
教育领域的公地悲剧与此如出一辙。在教育中，「乱扔垃圾」的行为相当于允许那些严重缺乏课程知识的学生轻易通过考试。一个愿意「捡起他人垃圾」的教师，就是一位会督促学生对课程内容负责的教师，这不仅包括当前课程的内容，还包括要求学生掌握他们欠缺的任何前置知识。
当教育环境中积累了大量「垃圾」，也就是学生严重缺乏必要的基础知识时，一位愿意「捡起他人垃圾」的教师会投入巨大精力。这位教师会通过补习作业、额外评估和辅导课程来帮助学生，同时坚持高标准，并忍受那些猛然意识到需要付出大量额外努力来弥补基础知识缺失的学生的抱怨。然而，像这样的教师少之又少，就如同很少有人会主动清理他人丢弃的垃圾一样。相反，面对这种情况，大多数教师只会按部就班地进行教学，通过调整评分标准（或其他方式）来抬高学生成绩，把问题留给下一年的教师去应对（或干脆置之不理）。
尽管在公共场所，罚款制度和有偿清洁工作往往能提供必要的问责机制和激励措施来保持环境整洁，但在教育领域，情况却大不相同。教师允许知识严重欠缺的学生通过考试通常不会受到任何惩罚，同时他们也没有经济动机去努力解决其他教师遗留下来的这类棘手问题。因此，学生在严重缺乏课程知识的情况下依然顺利通过已成为一种普遍现象。
学生知识结构自然趋向多样化
来源：第二十三章 利用认知学习策略需要技术
即使在一个不切实际的假设情境中，班级里所有学生都是彼此的学业「复制品」，拥有完全相同的知识结构、学习速度和学习动机，随着课程的进行，他们的知识结构也会随着时间自然地呈现分化。尽管拥有相同的学术背景，每个学生会在不同时间缺课或走神，这导致某些学生在特定主题上比他人遇到更多困难。（缺课和走神本质上是同一回事，只是时间尺度不同：它们仅在频率和持续时间上有所区别。）
每个人都会有走神的时候——即使是成年人也不例外。这种情况频繁发生，哪怕是那些有意识地试图保持专注的人也会如此。当人们脑海中有其他事情时，很难保持专注：比如思考午餐要吃什么，周末的计划，对个人关系的焦虑等等。本书作者在撰写本小节的四段文字时也至少走神了两次。
对于学生来说尤为如此，他们在教室里还面临着无数微小干扰。例如，一个学生可能需要花 30 秒钟翻找背包寻找另一支笔或一张纸（或者被朋友借用这些物品）。又或者，一个学生可能需要离开课堂几分钟去上洗手间。
无论是否出于他们自身的原因，学生会在不同时间短暂分心，因而错过一些内容。这些差异会随着时间不断累积，除非教师能在问题出现的瞬间立即发现并完全补救——但这需要超出人类能力的工作量，所以除非教师有能实现这一点的技术支持，否则他们无法做到这一点。
结果
学生在更高级的数学知识上遇到困难，甚至无法继续学习数学
来源：第七章 个体差异：学习过程中的迷思与现实
随着年龄的增长，人们会积累生物损伤，最终达到一个临界点，引发一连串的健康问题。学生在学习数学时也会出现类似的情况。
学生在数学学习中会积累弱点和知识缺口——即便成绩是 B+ 或 A-，也意味着课程中有些内容学生并未完全理解，更不用说掌握。此外，如果学生所学课程不够全面，未涵盖一些在高阶课程中被视为前置知识的主题，也会导致知识缺口。一旦学生积累了足够多的知识缺口（顺便说一句，一个缺口会引发更多缺口），那么除非采取适当的补救措施来填补这些缺口，否则学生将面临持续的困难。
学生通常在积累了大量知识缺口后就停止选修数学课程。通常的情况是，学生尝试按步骤模仿操作，而没有真正理解其中的原理，因为他们无法直观地领会所教授的新内容。不久之后，他们发现自己无法解决任何需要批判性思维或多步骤的问题。
这类似于职业运动员通常不是因为年纪太大而退役，而是因为积累了太多伤病。正如 Indiana Jones 所说：「不是年龄的问题，而是磨损。」或者如数学作家兼漫画家 Ben Orlin 幽默地描述的那样，这是「破沙发定律」：一个小小的缺失，随着时间的推移，会导致整个沙发变形，最终无法使用。
学生几乎可以肯定会在传统课堂中积累这些缺失。只有那些最有天赋和动力的学生才有能力和意愿自己识别并「自我修复」这些知识缺口。
- 在传统课堂上，学生常常在基础知识上遇到困难，但仍被要求完成更高难度的作业，这导致他们在没有真正理解内容的情况下「勉强应付」。
- 学生也不复习之前几年学过的内容，甚至通常不复习当前课程的内容，除非是在准备考试时。这导致他们很快遗忘所学知识，如果这些主题将来再次出现，他们需要从头开始重新学习。
- 传统课程通常也不够全面！教师在学年结束前常常时间不足，跳过教材中的部分章节，这种情况并不少见。
补充论证
计算是有必要的
来源：第八章 有效练习的迷思与现实
为什么学习数学必须练习计算，以下是几点理由。
- 没有计算，我们很容易对各种符号、过程、想法的具体含义感到陌生。有了计算，有了具体的数字，学习者才能明白这些概念的含义。其实抽象概念的意义就是整合统一具体例子。例题之于数学就像经历之于人生。
- 投不了篮的人，再能夸夸其谈篮球战略，能算是打得好篮球吗？不。同样，能娓娓道来数学概念但不会计算的人，也不算真正掌握数学。
- 没有掌握各部分的技能，是无法获得对一门学科的完整理解的。如果有人不能投篮，他怎么能理解不同投篮方式的难度，如何比赛才能投好篮？数学也是同理。
- 计算往往有助于概念性的理解。数学到处都是没有上手算过就没办法理解的概念。（一个很清晰的例子就是二次方程的判别式：如果学生使用二次方程公式计算过二次方程的根，他很快就能理解，b^2-4ac 这个被称为判别式的式子，能够控制解的个数。）
有些数学资料对计算不够重视，以至于只能给课程注水简化，精挑细选简单问题，避免考察学生太多基础技能。对学生来说还挺不错，因为他们学完感觉自己也学得挺深，但他们其实只是半瓶水晃荡。
基础算术的自动性是高层次思维的基石
来源：第十五章 培养自动性
⠀⠀⠀「内化的事实知识能够促进高效的心算，这使得解决多步骤问题或认识并建立各种数学概念之间的联系变得更加容易，比如乘法和除法、比率比较、分数等价以及几何中的图形关系探索等（Chapin & Johnson, 2006; National Research Council, 2005）。
⠀⠀⠀……
⠀⠀⠀当一个人内化了乘法口诀，在执行需要更复杂或连续算术操作的任务时就能节省脑力（Geary, 1999; Geary, Saults, Liu, & Hoard, 2000）。当不需要通过反复加法或查看表格来计算乘积时，数学概念之间的灵活思考和概念性跳跃就成为可能（Royer, 2003）。因子和乘积之间的关系成为探索更具挑战性数学的起点。如果每次面对新的数学问题都要回归到将乘法视为重复加法或依赖视觉辅助，可能会阻碍直觉性数学思维的形成（Goswami, 2008）。
⠀⠀⠀如果工作记忆需要大量资源来确定两个数的乘积或某个乘积的因子，流畅的心算就会受到阻碍。通过记忆基本数学事实可以减轻认知负担，使工作记忆能够更好地分配资源来处理更复杂数学问题所需的数字关系（Goswami, 2008; LeFevre, DeStefano, Coleman & Shanahan, 2005）。」
案例研究：比较有无乘法和加法自动性对指数计算的影响
来源：第十五章 培养自动性
为了充分说明自动性的重要性，我们不妨通过一个案例研究来观察不同自动化水平的学生是如何解决同一个问题的。通过这个案例，我们将会看到，学生的整体学习体验可能会因为其自动性的不同而产生巨大差异。
假设我们有三位学生——Otto、Rica 和 Finn，他们的名字代表了各自的自动化水平。
- Otto 已经完全自动化了乘法口诀和运算过程。
- Rica 还不熟悉乘法口诀，每次都要重新计算。她能够进行乘法运算，但不够熟练，需要慢慢来，并写下每一个步骤。
- Finn 和 Rica 一样不熟悉乘法口诀，而且连加法也不熟练，所以他什么都要用手指数。他对乘法运算完全不熟悉。
这三位学生都上了一堂关于数的立方的课。在老师解释了什么是数的立方，并用一个例子演示之后，每人都收到一道练习题：计算 4^3。让我们来观察每位学生解决这个问题时的思维过程（包括推理和情感反应）。
Otto 对乘法和加法非常熟练，他在 10 秒内就在脑中解决了这个问题。他觉得这很容易，迫不及待地想要尝试下一题，甚至期待更具挑战性的问题，比如计算负数、小数和分数的立方。
- 4^3 就是 4 × 4 × 4。4 × 4 = 16，这个简单，然后 16 × 4 嘛……10 × 4 = 40，6 × 4 = 24，加起来就是 40 + 24 = 64。搞定，太简单了！下一题是什么？
Rica 用了 2 分钟解决了这个问题，但答案不对。她又花了 2 分钟纠正错误，但已经感到疲惫，想在继续下一题之前休息一下。她对接下来可能遇到的更难的问题感到有些担忧。
- 4^3 等于 4 × 4 × 4。4 × 4 是多少来着？我得算一下。
- 4 × 4 就是 4 + 4 + 4 + 4，也就是……嗯，4 + 4 = 8，再加 4 是 12，再加 4 是 16。
- 我刚才算到哪儿了？哦对，4 × 4 = 16，然后还要算 16 × 4……唉，又得用那个乘法步骤了。
- 把 16 写在上面，下面乘 4，然后按步骤来。先算 4 × 6 = 6 + 6 + 6 + 6，数一下是 6 + 6 = 12，加 6 是 18，再加 6 是 22。写下 2，进 2。然后 4 × 1 = 4，加上进位的 2，写下 6。
- 好了。结果是 62。哎呀，老师说接近了但不太对。行吧，再算一遍。
- （Rica 重复了上述整个过程，这次得到了 64。）
- 太好了，老师说 64 是对的。我知道还有更多题要做，但这一题就有点难了，我有点累了。老师，我能休息一下再做下一题吗？
Finn 花了 10 分钟解这道题，但答案不对。他又试了 10 分钟，但犯了另一个错误。老师不得不陪着他又花了 10 分钟帮他完成这道题。等 Finn 终于搞定这道题时，差不多一节课都过去了。他筋疲力尽，感到无比沮丧，对剩下的作业充满恐惧。
- 4^3 就是 4 × 4 × 4。4 × 4 等于多少？不知道，得算一下。
- 4 × 4 就是 4 + 4 + 4 + 4，这个……唉，得全部数出来。真烦人。
- 从 4 开始，再加 4 是 5、6、7、8。
- 从 8 开始，再加 4 是 9、10、11、12。
- 从 12 开始，再加 4 是 12、13、14、15。
- 呼，算了好久，现在得到 4 + 4 + 4 + 4 = 15。我刚才为什么要算这个来着？哦对了，我是在算 4 × 4 = 15。
- 等等，还没完呢。我算出了 4 × 4 = 15，但我其实是要算 4 × 4 × 4。好吧，现在还得算 15 × 4。天啊，这个更难了。我真不想做。但没办法，继续吧。
- 15 × 4 就是 15 + 15 + 15 + 15，这些数字太大了，得在纸上排好才行。
- 把 15 写在最上面，下面再写一个 15，再下面一个 15，最后一个 15。
- 现在加右边那一列：
- 从 5 开始，再加 5 是 6、7、8、9、10。
- 从 10 开始，再加 5 是 10、11、12、13、14。
- 从 14 开始，再加 5 是 15、16、17、18、19。
- 写下 9，进 1，然后加左边那列：从 1 开始，再加 1 是 2，再加 1 是 3，再加 1 是 4，再加 1 是 5。写下 5，我们得到 59。
- 答案是 59。终于算完了。花了好长时间。哎呀，老师说不对。别吧……难道我得重来一遍吗？！这也太累人了。
- （Finn 又重复了一遍上述过程，这次得到了 66，还是不对。他明显变得很沮丧，老师只好坐下来和他一起检查。他们找出并纠正了几处错误，最后得到了正确答案 64。）
- 我今天实在做不动了。太累了。我讨厌数学，老师给的作业太多了。而且下一题看起来更难，作业上还有那么多题！太糟糕了。快下课了，我就等着铃响吧。
这个案例研究清楚地表明，学生在基础技能上的自动性越高：
- 他们就越容易掌握新的高级技能，
- 他们就能更快速、更独立地运用这些技能，
- 他们对整个学习过程的感受就越积极，
- 他们就越有兴趣继续学习更深入的内容。
总的来说，培养出自动性的学生会感到自信有力；而没有培养出自动性的学生则会感到不知所措和沮丧。
解决方案
说了那么多理论，可能有人就要问了，有什么解决办法吗？
那当然是有的，比如精熟学习。
精熟学习
来源：第一章 两个标准差问题的解决方案
在精熟学习中，学习任务是基于每个学生的具体需求来设计的，每位学生在进阶到更高级的技能之前，必须将每项技能掌握到足够精通的水平。学生们掌握技能的速度各不相同，但最终都需要达到同一个基准线。评估学生进步的依据不再是他们在已修课程中的学习水平，而是转变为他们能够达到合格标准的最高级技能水平。
精熟学习未被充分利用
来源：第十三章 精熟学习 - 知乎
精熟学习要求学生在学习更高级的主题之前必须熟练掌握前置知识。真正细致的精熟学习需要完全定制化的教学，而这只能通过一对一教学来实现。
有一些办法能让教师大体上实现精熟学习，比如 Bloom 的为精熟而学习策略（Learning For Mastery, LFM），和 Keller 的个性化教学系统（Personalized System of Instruction, PSI）。Kulik, Kulik, & Bangert-Drowns (1990) 总结道：
⠀⠀⠀「采用 LFM 和 PSI 的课程中，需要学习的材料被划分成了一系列简短的单元，学生会参与阶段性单元测试，评估自己对每个单元的掌握程度 (Bloom, 1968; Keller, 1968)……其中LFM 课程中的单元是由老师提供的，学生按照老师掌握的统一节奏推进学习。而PSI 课程中的单元主要以书面材料体现，学生按照自己的节奏推进学习。」
然而，Bloom 在描述两个标准差问题时也发现了，一个教授 30 个学生的老师，如果执行精熟学习，那么学习效果提升的效应量是 1 个标准差（一对一辅导有 2 个标准差）。尽管大量研究都证实了非常粗略的精熟学习（由一个老师手动管理）能得到非常显著的学习效果，但大部分研究没能复现所谓 1 个标准差的强度（平均的效应量是 0.5 个标准差） (Kulik, Kulik, & Bangert-Drowns, 1990)：
⠀⠀⠀「数据显示精熟学习方法对学生学习效果有积极作用。在大学，高中和小学高年级中，这种方法平均能将期末考试成绩提升 0.5 个标准差左右，或者将学生水平从 50% 提升到 70% 。 尽管 PSI 和 LFM 策略有一些地方有所不同，并且对两种教学方法的研究差异也非常大，但针对 PSI 和 LFM 的研究的结果都有类似的提升。PSI 对考试成绩有平均 0.48 标准差的提升；LFM 对考试成绩有平均 0.59 标准差的提升。」
遗憾的是，尽管精熟学习（甚至是粗略的）在课堂中已被充分证明能提升学习效果，但其并没有被广泛采用，原因在于它既偏离了传统教学范式，又需要教师和管理者付出更多努力（Sherman, 1992）。（的确有一小部分老师在尝试某种差异化教学，但这和真正的精熟学习并不一样，真正的精熟学习对所有学生一视同仁，其教学也是完全个性化的）
John Gilmmour Sherman (1992) 是 Keller 的个性化教学系统（PSI）的共创者，研究者，实践者，他悲叹道：
⠀⠀⠀「有些 PSI 课程虽然很成功，但是被禁止了。我知道有些同事收到了禁令。有些人是研究中大名鼎鼎的人物，他们的课程是有效的，有客观数据为证。
⠀⠀⠀我也有这种经历。为了避免正面冲突，乔治亚镇大学的心理系主任宣布，对于 50% 左右的课堂时间必须用来教学。如此一来，自主安排的可能性便几乎归零，那么有效 PSI 课程也更无从说起了。
⠀⠀⠀他发布这条规定，是因为对于课堂来说『是课堂中智力的迸发才能启迪学生』。但没有数据支持这点！自以为是捍卫学术，但又武断地评估教学方法的好处，这种行为太过不妥。
⠀⠀⠀这些案例令人忧心的地方在于：这些决策完全没有数据支持。对教育过程的研究究竟有没有用，我们甚至要怀疑这点，令人忧心。」
Buskist, Cush, & DeGrandpre (1991) 写到，类似 PSI 的精熟学习方法被禁止，是因为这些方法威胁了传统教育机构：
⠀⠀⠀「任何机构的头等大事都是延续自身的存在。一旦目标设立，就必须维持现状，如果可能的话，去前进改观。如果目标没有实现，那么机构自然命悬一线。PSI 的潜在后果会威胁教育机构的延续和教育机构守护者的地位，根据 Keller 所言，
⠀⠀⠀『如果类似 PSI 的系统得到官方认可，在教育系统从上到下展开应用……每个学生都自己安排学习，那么什么时候要开始正式教育呢？对于上课时间，大学，学期，学年又会如何呢？而谁能获得奖学金和那些奖品？谁又可以成为优等生荣誉学会（Phi Beta Kappa）？谁又会成为班级毕业致辞代表？……如果课程学习长度改变，那么学费的支付又该怎么改变？课程学习的计划又该如何定义？』
⠀⠀⠀换句话说，教育改革最大的阻碍就是教育系统本身。这就是为什么，本世纪所有重大教育改革，最终都被引到了改革课纲上，而没有改变教师如何教学（参考Skinner, 1984; McGovern, 1990）。
⠀⠀⠀改革课纲不需要对教育机构动刀子。因为课纲虽然有些变化，但也到此为止了。课还是一堂堂，一学期一学期地上。成绩分布仍然要拟合正态分布，学生在上更进一步的课程前也并不需要掌握基础知识。学生仍然需要花上四年来完成高等教育的要求。
⠀⠀⠀Keller 的计划与这套策略完全相反。他想要大刀阔斧地改革教学。在一个完全基于 PSI 的学校里，学生可能在两年就能学完大学课程，甚至更早，学得更多。设想整个教育系统都是基于 PSI 的：大批仍处于青春期的人将会从大学毕业。这对许多教育者而言是不安的。由此可见，PSI 将对教育系统及其拥护者产生威胁。
⠀⠀⠀PSI 在我们的现代教育系统中没有容身之地。基于课堂教学的悠久传统积累已久，难以根除。为了自我延续，教育机构只会支持改革教学的内容，而非教学方法本身。」
更多关于数学教育的理论和方法，请参阅我们汉化组的这个专栏：
The Math Academy Way - 知乎