如何评价网络观点《论教材的‘防自学’设计》?

这么巧，我之前也发表过类似的观点：

为什么当今数学教材写的跟天书一样，根本看不懂？^[1]

原因其实很简单：作者根本就没想过让你自己独立看懂。

为什么呢？

我们来做一个假想：你想要看书学习数学，结果这本书里的内容让你深深地怀疑自己的智商：「我是不是太笨了，没有自学^[2]能力？」。在经过反思之后，你也许会像这个问题的提问者一样，对这本数学书产生深深的不满，感到愤恨与困惑，甚至来知乎提问以发泄情绪。不过，这都无济于事，因为你还是啥都看不懂。

被逼无奈，你只能去听学校里的数学课，听完了之后“豁然开朗”，对学校和教师产生了深深的感激之情，仿佛如果没有他们，你一辈子都学不会这一科目。从此，你每节课堂都紧绷神经，兢兢业业，再也不敢做脱离课堂的尝试。

如果一本中文教材写的通俗易懂，深入浅出，那么学生很快就会发现这样一个秘密：脱离课堂的自学其实是完全可行的，甚至要更加高效。在此之后，他们会发现一个更大的秘密：传统学校课堂模式完全没有存在的必要。

自学的常见问题在于：在学完上一部分的内容后，以为自己差不多都学会了，实际上还存在一些漏洞尚未发现，这些漏洞往往会阻碍你下一阶段的学习。这时候，我们需要一个指导者来帮助我们学习，回答我们的疑问。这个指导者可以是任何了解本专业知识的人：可以是教师、可以是前辈、可以是学长等等。所以，经验丰富的自学者往往懂得主动联系相关领域的专家，或是加入相关的社群互相解答疑问。

其实，一本好的教材 + 指导者的自学模式要强过这个世界上百分之九十九的传统课堂模式。互联网时代，你可以在电子图书馆免费下载任何一本专业书，也可以通过互联网寻找要学习专业中前辈的联系方式，或是加入网络讨论群。互联网的出现大大降低了自由学习的成本，让脱离课堂的高效学习成为可能。

但问题在于，即使自学更加高效，学校也不会希望学生完全脱离课堂自学。学校不愿意面对这一事实：传统的课堂教育越来越没有存在必要。

目前的大多数“狗屁不通”的教材是落后的旧时代的产物，其目的在于维持传统课堂教学的秩序，让学生依赖学校，从而压制学生自主学习的能力。

其实，还是有一些教材对于初学者比较友好的，其教材编写者比较开明，鼓励学生自学（这些教材大多是英文）。即使这些教材的质量和那些垃圾教材完全不在一个水平，可还会有人为那些不说人话的教材辩护。对此，我只说出我自己的观点：教材应该服务于学生的学习，而并非服务于那些教授的官帽子和响亮名声。写教材的原则应该是尽最大努力让学生理解所学内容，而非用生硬的专业语言把学生吓跑。

作为学习者，我们应该有明辨是非的能力。我们应该做出理性的选择，清楚地知道什么是垃圾，坚决地避开这些阻碍我们学习的绊脚石。同时，作为教材的使用者，我们有权利对教材进行批判。

我猜有些读者看到这，就有话要说了：找问题永远是容易的，你自己写本教材试试啊？

虽说我是没写过什么教材，不过各种各样的教程也写了不少^[3][4]。但更重要的是，我们应该搞清楚，怎么编写教材，才能真正考虑到学习者的感受和需求。这一点在国外已经有颇多研究，以下是一些我们汉化组搬运的译文，在这里抛砖引玉一下。

比如，我们可以先提炼出优质教材的特点。

好的文字解释有什么特点？^[5]

• 确立读者所需的前置知识，介绍背景信息，之后以此为基础进一步阐述
  
  
• 模拟读者缺乏经验的心境
  
  
• 预计有哪些常见的误解或错误观念，并一一处理
  
  
• 预计读者会问哪些常见的问题
  
  
• 不要假设读者的工作记忆是无限的（这里说明了如果违反这条规则会有什么后果：解释材料中假设了工作记忆容量是无限的^[6]）
  
  
• 如果文中有指代相同概念的不同词汇/术语/短语，要明确说明（即使是技术领域，同义词也非常常见！）
  
  
• 指出哪些东西不是很重要，初学者不用关心，让读者集中注意力
  
  
• 如果同一个词汇/术语/短语指代了不同概念，也要说明（这个现象即使是在技术领域也非常常见！）
  
  
• 定义概念时要给全四种例子
  
  
• 对抗混淆：相连介绍看起来相似的概念时，停下来要说明这两个概念是否真的相似
  
  
• 告示读者有一些概念会过时，因为后续会进一步阐述
  
  
• 考虑概念的各种组合情况（参见遍历组合技巧，这是更相近的想法）——其实人们写作时会隐式地画一个表格，一列一个属性，一行一个例子，然后把一些单元格填满，但有些单元格没有填；举例说明这个想法不成立的地方：https://github.com/riceissa/project-ideas/issues/18
  
  
• 在具体和抽象之间交替解释
  
  
• 从头到尾都要提供很多例子
  
  
• 给出一个精确/技术性/可操控的模型以便读者摆弄
  
  
• 措辞要保证让读者读得懂（你措辞模糊，可能指代很多东西，或者用词抽象，读者不知道能联系到什么具体东西，读者就看不懂了；）
  
  
• 引入参数和变量时，要说明常见的值，也要说明极端的值
  
  
• 给出高质量的心理表征
  
  
• 比如给出数学概念的定义时也要说明人们在应用时心里是怎么想的
  
  
• 按照概念发现故事^[7]的结构设计
  
  
• 开头给出学习该领域的动机，回答「那又如何」——换句话说，如果有人因为话题看起来似乎有点酷，或者所有人都在讨论，而阅读你这篇文章，看到动机一节时，他们应该会非常感兴趣；你描述的动机，应该能增强读者初始的动机。不要写那种大多数文章里面一点即灭的动机，说什么「这个学科很重要」。这里就要问：什么样的动机是好动机？^[8]甚至很多偏向教学的数学解释材料都会遇到这个问题；虚假动机^[9]。
  
  
• 每个步骤都要说明动机
  
  
• 不仅要说明关键的洞见，而且要说明可用于发现这些洞见的通用方法
  
  
• 说明这个话题下容易想到但是失败了的方法/行不通的办法
  
  
• 定义压轴^[10]放最后
  
  
• 提问方法
  
  
• 请读者在阅读解决方案之前先自己思考一下。但这需要谨慎行事，以提高读者的兴趣，而不是吓唬他们。有关详情，请参阅管理学习中的微动作^[11]。

留意你的教材…^[12]

…有带答案的练习吗？

对我来说，这是最重要的，没有之一。

• 在 Vector calculus, linear algebra, and differential forms: a unified approach[1] 一书中，每个概念后，读者可以做一道简短练习。解答就写在脚注里，与练习同页。这样超方便，特别是读 PDF 的时候。

…解释原因并提供背景信息吗？

为什么某个领域很重要或者很有趣。为什么作出这样的假设？诸如此类。

• Analysis I 这本书从「为什么要学分析？」开始。[2]同样的，在 Linear Algebra, Pillar I 的行列式一章中，开头就讲了「为什么要行列式？」。
  
• 在 Precalculus[3] 一书中，读者能找到关于为什么或什么时候某些技能会很重要的注解。
  

...提供许多正例、非例与反例吗？

• Seven Sketches on Compositionality[4] 中的定义和例子数量大致相当。

…给出了进阶主题的预览，并传达了目前的局限性吗？

• 在 Precalculus[5] 中，作者提到了朴素集合论及其根本性缺陷，还为感兴趣的读者提供了进一步的阅读材料。

…关心术语吗？

读者需要信号，告诉他们何时符号被过度使用，或者何时短语只是某人的错误残留。

• 在一些不严谨的生物书中，你会学到「化学键断裂释放能量」。但是事实上，化学家要说的恰恰相反！

…对读者是否诚实？

Thurston 在他的论文 On proof and progress in mathematics[6] 中分享了他的观察，即论文与教科书的正式形式反而成为了理解它们的障碍。作者是否华而不实？他们是否提及背景或非正式的原因来解释他们的做法？

地位使作者无法坦诚相待。例如，作者可能避免提及某些章节很无聊。为什么呢！？对于可能认为自己对某章节有疑惑的读者来说，知道这一信息是有非常价值的。

我喜欢作者不掩饰自己的热情。知道某个特定片段是作者特别感兴趣的领域，会给教科书带来更加引人入胜的「对话式」活力。

我也喜欢在其中看到一些笑话或彩蛋。我认为这是一个标志，表明作者感到自在，没有被出版商当作机器人对待。

• 在 Introduction to abstract algebra[7] 中，作者写到「如果你读得无聊，我很同情你。我打字的时候也很无聊。」
  
• 《线性代数应该这样学》第 21 页的页码写着「≈ 7π」。
  
• 在 The integrals of Lebesgue, Denjoy Perron, and Henstock[8] 中，你会看到与元建议结合的 c 笑话：

请看同一本书的这句话：「这个引理被称为维塔利覆盖引理，起初你可能会感到很奇怪，可能需要读几遍才能理解。在欣赏它之前，有必要多次观察该引理在实际操作中的应用。」

…提及了元认知的层面吗?

如何思考这个主题？哪些类比和图片会有帮助？

你目前的知识会不会干扰你即将学习的内容？

...有整洁的图像与布局吗？

我们应该知悉图片是否按比例绘制，以及它的局限性等等。

我喜欢教科书里的手绘图。它们看起来更直观。

• 一些生物学教科书关心的是尺度，等等。这很糟糕。与之相反的优雅的示例参见 Cell Biology by the Numbers。[9]
  
• 在《通向实在之路》[10]中，作者画了很多图。你可以了解作者对相关主题的感受。
  

...用的语言简单吗？

...提供了每一章的总结和重点吗？

• 《线性代数应该这样学》[13]中每一章节都总结了重点和动机。
  
• 在 Online notes for MAT237: Multivariable Calculus, 2018-9 的每一章中，作者 Robert Jerrard 都写了「基本技能」小结。
  

怎样的教材是优质的？

定义：当且仅当教材具备以上所有特点（至多不具备两个），它才是优质的。

定义：没达到优质标准的教科书就是垃圾。

再比如，我们可以将编写优质教材这件事本身作为一门科学来研究。

将解释作为科学：一些关于发展解释学的想法^[13]

在前一篇帖子^[14]中，我认为，把解释当作一个科学领域对待，是促进大众创建更多优质解释的最佳策略。然而，我尚未详细说明「把解释当作科学」是什么意思。所以在这篇帖子中，我会解释更多细节，主要是举例说明什么是促进优质解释的进步，以及一些进一步发展的想法。

这个列表没什么条理，可能要怪到我自己的想法也没什么条理。列表里有些条目，甚至和其他的条目都不属于同一「类别」。我希望在未来，我（或者其他人）能够为这个领域设计更好的分类法/分类/路线图。

（这篇文章的大部分章节可以独立阅读。有几处我提到了其他章节。）

选择一种解释类型（比如练习册的「参考答案」），尝试为其制作最佳版本，看看你可以发现什么技巧或学到什么教训

在 2020 年 3 月，我建了一个博客，为《陶哲轩实分析》写习题解答，这本书是面向本科生的实分析教材。开展这个项目的动机有很多，其中有一项是「为什么参考答案都这么烂？难道以目前最先进的技术，创作出『史上最佳的参考答案』不是应该很容易吗？」我为这本书中三分之一的练习写了参考答案，之后便搁置了这个项目，所以我并没有创作出「史上最佳的参考答案」。不过我觉得至少有 50 道题目的解答的平均水准是很高的。在数学解释的质量上，我觉得这些文章的水平挺不错的，但还没有达到无可匹敌的地步。

我想出了一系列「技巧」来写出更好的习题解答材料，包括：

• 将习题解答组织为博客，这样就可以通过网络搜索找到每道练习
  
• 给每道练习开评论区，这样读者可以提问或提交其他证明
  
• 如果练习可以有多种解法，那就给出各种不同的证明
  
• 规范化一些章节，最重要的是，我设置了「如何思考练习」这一小节，来谈谈我是如何想出解法的，而不是仅仅写出证明
  
• 付费获得独立评议，让读者了解解法的质量
  

上述想法的构想和实现都很容易，但参考答案这类材料尚未采纳过任何一条。（对于其中的某些想法，我甚至觉得无可替代。）

通过开展这个项目，我发现没什么人很在意怎样写好参考答案。（参考答案主要是为方便教授或助教给作业评分而写的，甚至没有惠及最能从中受益的受众。）

参考答案只是我选择的一种类型。我认为还有很多其他类型值得精进（比如教科书、录制课程、数学解释视频、概念发现故事（参见下文详细列表）、选择题、间隔重复卡片^[15]、个人思考问题的过程记录）。我觉得，探索这些材料的过程中，可以发现很多技巧，并提升创作一般解释材料的能力。

发现能够提升特定解释环节的技巧（比如：如何在解释数学时更好地举例）

在 Learning Subwiki 上，我写了一篇关于数学中的例子的页面，在那里我将例子划分为四类：显然正例、意外反例（译注：例如黑天鹅）、意外正例、显然反例。（我不会重复那篇文章的内容，但理解那些内容对下文很重要。）

就我的经验而言，大部分数学教科书在举例子时都不会给全四种例子，而是基本上只给出最显然的例子，偶尔会给出意外反例。我觉得，大部分教科书作者在写教科书举例子时，并没有这四种概念的意识。换句话说，他们不会想「我应该给全四种例子吗？我不会给出显然反例，因为我知道我的受众数学水平比较高，但我会给其他三种例子。」相反，他们只会这样想「啊对了，我应该给个例子。」然后就开干了。我觉得由于这种缺乏反思/缺乏正确概念，以及四种例子的做法没有更广泛地执行，导致数学材料对学生来说特别难以理解。

我刚刚就改善数学中的举例给了一个例子。有其他改善举例的办法吗？有更好描述定理的方法吗？证明呢？非数学解释材料里有类似的组成部分吗，我们如何改善这些组分呢？我觉得改善唾手可得，只要有心问问这些简单的问题。

有人可能会反驳，找出各种例子这个方法，本来就是好学生会做的事情，而且举例子应该是学生做的事，而不是解释者。我喜欢换个角度问一问：我们能不能找出好的学习者的做法，使其自动化，或者清晰地表述出来，这样即使是不太会学习的人也能完成？在这种角度下，这四种数学例子只是我发现的一种原则而已。还有什么原则？

可以与各种写作做类比，比如数学证明写作，程序写作，以及文学写作。数学证明有分类讨论和「不失一般性（译注：Without loss of generality，缩写：WLOG、WOLOG 或 w.l.o.g.）」；编程有各种循环结构，还有诸如模块化的各种思想，不同的编程范式等等；文学的技巧众多 [1]。那么，对于解释又有什么类似的技巧？

找出领域中的视角变换

有时候，人们会提出看待同一学科的不同视角，从而创作出前所未有的解释。我比较熟悉两个例子：

• Sheldon Axler 的《线性代数应该这样学》在解释线性代数时，尽可能推迟了行列式的引入。很多证明都要重写以避免提及行列式。
  
• Noson Yanofsky 的论文《A Universal Approach to Self-Referential Paradoxes, Incompleteness and Fixed Points》（以及 Lawvere 的先前作品，不过不容易获取）将很多计算理论和逻辑学中出现的对角化/自我指代结论结合在了一起，并说明「这些都是一回事」。
  

还有第三个例子值得提及：

• Tristan Needham 的《复分析可视化方法》一书，在解释复分析时使用了很多高质量的插图。我只读了一点点，但看起来很不错。

我觉得在数学和其他领域，肯定还有很多例子。找出这些例子当然很有帮助，但目前而言，更重要的的任务是制造出这样的例子。有哪些主题是太过难以理解的？有什么证明是容易忘记的？也许有一些子领域，通过一些截然不同的视角审视，理解和记忆会更加「自然」？

有一个有趣的问题，这项任务是解释者应该做的，还是「这个领域的研究者」应该做的？也许是两者都应该做的？也许应该合作？也许解释和研究之间没有什么差别？我目前只想出了这些容易想到的问题。

某种意义上，解释文章的最高境界就是视角变换：可能你用了每一项小「技巧」，但有件重要的事没做到，结果文章仍然难以理解。

有一种视角变换是创造新的符号系统。Adam Shimi 跟我分享了这个页面，上面分类了符号系统如何影响学科的思考方式。

发明新的解释类型或者解释风格（比如「概念发现故事」）

概念发现故事^[16]是一种解释风格，其中解释者要虚构一个故事，描述一个概念可能是如何被发现的。做得好的话，读者能清晰地了解概念的起源，为什么概念的原理是这样的等等。概念发现故事也能教授一点如何发现新概念的心理习惯。

多创作一些概念发现故事，弄清楚如何写出很好的概念发现故事是不错的做法。参见「考虑一类解释」一节。而本小节是关于创建一种新的类别，相当于「概念发现故事」，或者「习题答案手册」，或者「教科书」或者「可互动视频」，或者「嵌入了间隔重复卡片的文章」。我不指导怎么创建类别。我应该只做过一次。[2] 我觉得没有人知道如何可靠地创造新类别。但似乎有弄清楚的价值。

发明心理技巧来辅助解释写作（比如「像写儿童绘本一样解释这个话题」）

Jessica Taylor 写过《创作儿童插画书》，而 Eliezer Yudkowsky 之前写过《解释者要心怀高远，脚踏实地》，两篇文章都描述了一种用于提高解释材料质量的技术：想象自己解释的对象，是比实际受众背景知识更少的人。我怀疑有其他类似的「心理」技巧可以派上用场。这里「心理」技巧指的不是检查清单或者局部动作（比如我前文说过的四种数学例子），而是全局的「思维模式」或者「心境切换」，这会引起解释者行为的一系列变化。

将教学工具移植到其他领域，看看会有什么效果

编程这个领域有很多有意思的学习工具，比如 LeetCode，Exercism，Scrimba 等等。电子游戏社区有「直播实况」类视频，速通等等。如果将这些工具移植到其他领域会有什么？数学版 LeetCode 会是什么样？钢琴版 Scrimba 又会是什么样呢？诸如此类。

别急着把教科书塞满，而是写出更多解释材料的「攻略手册」或者「大纲」

我认为，解释主题的「攻略手册」或者草稿大纲，和完善的解释材料，是同等重要的。大部分实分析教材的作者会采取稍微不同的策略。但对于一些部分，他们的解释方法都应该是相同的。这里面有很多重复劳动。我觉得，如果能先讨论一下教科书解释，或者完成一些对立统一的合作，写出书的「大纲」，然后基于大纲进一步讨论，在课上教学，之后再写教科书，会好很多。

考察教科书，找出作者（或许是下意识）使用的模式和技巧

不同教科书的质量参差不齐。我们最终的目标是制作出不世出的高质量解释。但这个目标很难实现，所以有个办法是考察优质的教科书和劣质的教科书，看看什么办法有用，什么办法不行。我对《陶哲轩实分析》做了这样的考察。

更多小规模实验与原型

有人容易陷入这样的误区。他们认为，既然解释学的最终目的，是出品容易理解的解释材料，那么所有解释学的相关作品，都应该是通俗易懂的。然而，正如其他领域的一些材料，是其他领域的专家为彼此而撰写的一样，我认为，在「解释学」里，应该有一些原型，是面向熟悉解释学的人制作的。

创造更多像 X 的东西，然后看看会有什么效果

我比较感兴趣的 X：

• 非常细致的学习指导，比如 Teach Yourself Logic 指南。很多学习指南都比较简略。我想看到更多像 Teach Yourself Logic 这样的指南，而不是教科书。
  
• Youtube 的 HaskellRank 频道。
  
• 关于 Tricki 的文章。
  
• Tricki 网站本身。
  
• 量子国度。
  
• Tim Gowers 的 博客和上面的文章，还有一些老网页。
  
• Subwiki.
  

对读者的理解建立具体的模型，写作时努力让读者的理解达到理想状态

我觉得，很多解释不奏效的原因，是作者没有针对读者的理解建立足够细致的模型（比如他们没有考虑到读者的工作记忆容量有限^[17]，或者没发现有个地方很容易误解，或者没想到读者的参与度不够，或者读者会忽略某个地方的解释）。优秀的作者对读者的思考有不错的把握，并会由此预测读者会产生什么问题，并积极解决读者的误解。但是我觉得这些优秀的作者是靠直觉行事的，没有正式的模型。显式地考虑读者理解会更好吗？换句话说，我们能显式地建立读者阅读时的思想状态的模型，并利用这个模型写出更好的解释吗？能不能从「读者充分理解材料」的理想状态反推，让写解释像按图索骥一样容易呢？这里面很多问题的答案我都不知道，但我很好奇，想试着一一解答。

总而言之，我劝教材编写组务实一点，把写好解释的这个理念先搞懂。现在这个教材编得七零八落的，你倒告诉我怎么解释，脸都不要了。

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