对教学的思考：2

原文：Thoughts on Teaching: 2 - David Friedman’s Substack

发布于 2023 年 6 月 25 日

评分曲线：Gordon Tullock 的解决方案

理想情况下，一位教授所授课程的分数，应当代表与另一位教授所授课程的相同分数同等的学业成就水平。但实际情况往往并非如此，因为不同的教授有着不同的评分标准。对此，通常的解决方案是强制要求教授们采用评分曲线，即设定一个固定的分数分布比例，有时在细节上允许一些弹性。但这会导致在一门只有最优秀学生选修的课上很难拿到 A，而在另一门大多是基础较差学生选修的课上则很容易拿到 A。

我的朋友兼前同事 Gordon Tullock——我有幸认识的最具独创性的人物之一——对此问题提出了一个解决方案。该方法始于某种对学生能力的衡量标准；例如在法学院，可以使用所有学生都必须修读的第一学年各门课程的成绩。在第二学年开始时，每门课程的评分曲线将基于选修该特定课程的学生的第一学年成绩分布来设定。此后的每一个学期，都根据上一学期各门课程的成绩信息重新计算学生的能力评估值，并重复此过程。

大多数本科院校在第一学年并没有统一要求所有学生修读相同课程，因此需要采用其他方式来启动这一流程，或许可以使用 SAT 分数或高中 GPA。另一种方法是，可以从让所有学生处于同一起跑线开始，给所有第一学期的课程设定相同的评分曲线，然后利用学生获得的成绩来逐步建立和改进对学生能力的衡量标准。从技术操作层面来说，在当今计算机和电子表格程序普及的时代，实现这一方案应该相当容易，但据我所知，还没有任何学校采用过这种方法。

Adam Smith 关于课堂使用笔记本电脑的看法

对于学生在课堂上使用笔记本电脑，教授们的看法不一。它们既是记笔记和（连接互联网后）快速查阅课堂讨论相关资料的有用工具，也可能被用来收发邮件或即时消息、玩游戏、看书，或是做其他各种与课堂无关、分散注意力的事情。

几年前，我有幸旁听了一位同事的课。他讲授的内容通常被认为不那么引人入胜，但他却极其出色地抓住了学生们——以及我本人——的兴趣和注意力。我当时坐在教室后排，因此能看到许多学生的笔记本电脑屏幕。除了一两次短暂的例外，这些屏幕上几乎没有彩色内容，我据此判断他们是在用电脑记笔记，而非浏览网页或玩游戏。

是否允许学生在课堂上使用联网的笔记本电脑，可以说是那个老问题——课堂出勤是否应当强制——的一个新变种。因为互联网使得一个人可以身在此处，心在彼处，一边上着课，一边和朋友聊天或者看新闻。当然，以前也有其他方法可以做到这一点——我们有些人还记得在无聊的高中课堂上偷看藏起来的书，或者神游天外，想着与学习内容毫不相干的事情——但新技术为此提供了更为便捷的工具。

关于强制出勤这一议题，亚当·斯密的论述已是至理名言，我无法做出更好的阐述：

对于真正值得听的讲座，从来不需要任何纪律来强制要求出勤，这一点在任何开设此类讲座的地方都是众所周知的。毫无疑问，强制和约束，在一定程度上对于强迫儿童或非常年幼的男孩学习那些被认为在他们生命早期必须掌握的教育内容是必要的；但在十二三岁之后，只要教师克尽职责，那么强制或约束对于推行任何部分的教育来说，就几乎都无必要了。

（《国富论》第五卷第一章第三部分第二条）

正如我那位同事的课堂所证明的那样。

如何不教数学（或经济学）

我曾经和小儿子有过一次对话，他对自己的大学数学课程感到沮丧，这让我想起了我对于数学——以及就此而言，经济学——通常教学方式由来已久的异议。定理的证明过程往往追求一种远超学生实际需求的严谨性——尤其是在经济学领域，严谨的证明只有结合了不严谨的模型才能应用于现实世界。这种严谨性不仅超出了学生的需要，也超出了除最顶尖学生外大多数人的理解能力。按部就班地跟下一个证明的步骤是一回事，而将整个证明融会贯通并理解其所以然，则是另一回事，也困难得多。

我通常用微积分教学中的一个失败案例来说明这个问题：未能向学生解释清楚基本定理——即积分和求导是互逆运算——为何成立。其实，大约只需五分钟，就可以给出一个虽不严谨但直观且具说服力的证明，任何理解这两种运算含义的学生都能跟上，并且很有可能记住。我博客上的一位评论者用 38 个词[1]就做到了，不过若配上图示会更容易理解。

据我所知，很少有学习微积分的学生，即使是在好学校，曾经接触过这个（直观）证明；如果学完一年后，能复现出他们大概学过的那个更严谨证明的学生比例能超过五十分之一，我会感到惊讶。为了印证前一个看法，我询问了我妻子的经历。她回答说自己学过两次微积分，第一次是在一所不错的郊区高中，但老师不称职，第二次是在一所顶尖的文理学院。据她回忆，两次似乎都从未接触过这个证明。我从面试申请哈佛的高中毕业生的经历中获得了更近期的证据，作为校友志愿者，我参与过几次这样的面试。这些申请者都是聪颖的学生，许多人修读了 AP 微积分并获得高分。我问他们能否向我解释清楚为何积分和求导是互逆运算，为何一个函数的积分的导数就是该函数本身。似乎至今还没有人能够做到。

在好学校里，人们常常抱怨「食谱式数学」——即死记硬背解决问题的步骤，却从未理解其原理。但我认为，一个几乎同样严重的错误是，将数学的某个分支，以专业数学家在该领域所有原创工作完成后构建出的最终形式来呈现。这种形式不仅几乎没有非数学专业资质的学生能够理解，而且它还高度误导性地呈现了数学或其他理论形式实际是如何产生的。

我不是数学家，但我是经济学家，我通过亲身观察知道自己原创性工作是如何完成的。这个过程并非始于按部就班的证明，而是始于一种直觉——关于某些想法如何融洽地组合在一起，关于一个问题的解决方案应该具备哪些特征。只有在我摸索出（希望是）正确答案之后，我或其他人才会回过头去，将论证变得严谨。在我第一本书出版大约四十年后，我撰写了第三版。其中一部分工作就是填补空白，更深入、更细致地阐述那些我当时已领会其精髓、并且至今仍相信（在大多数情况下）是正确的想法。

阿尔弗雷德·马歇尔（Alfred Marshall），这位可以说对新古典经济学的创立贡献最大的人物，在一封信中评论了他所在领域中数学论证与文字论证的关系：

但我知道，在我研究该学科的晚年，我越发感觉到，一个处理经济学假设的优良数学定理，却极不可能是好的经济学：于是我越来越遵循以下规则——（1）将数学用作一种速记语言，而非探究引擎。（2）坚持使用数学直到推演完成。（3）将其翻译成英文（自然语言）。（4）然后用现实生活中的重要实例加以阐释。（5）烧掉数学推导过程。（6）如果第 4 步做不到，那就烧掉第 3 步（即文字表述）。这最后一步我经常做。[2]

马歇尔的那套做法很有道理。数学是比英语更精确的语言，但同时也是一种离我们几乎所有人的直觉更远的语言。如果你掌握了数学推导，却无法将其翻译（成自然语言），或者想不到它在现实世界中对应着什么，那么你很可能并未真正理解它。

我有时会评审期刊文章。偶尔我会遇到这样的文章：如果把其中的数学推导翻译成文字，会发现它毫无意义，甚至可以说荒谬绝伦。文章的作者很可能拥有他们写作领域的博士学位。但他们只是在操纵符号，而非思想。

我女儿在欧柏林学院读了两年后转学到芝加哥大学时，曾认真考虑主修经济学。但上了一门经济学课程后，她决定选择她的备选专业。原因并非她不喜欢经济学；她在家接受高中教育期间旁听过我的好几门课，我的一篇文章中有一个观点，我在脚注里注明了是她的贡献，而且大学毕业后她还编辑过我的几本书。原因是那门课主要讲的是数学，而非经济学。

我与该大学一位我非常尊敬的教授讨论过她的经历，这位教授属于那种少数的、当他们不同意我时会让我认真反思自己是否可能犯了错的人。他也有个女儿在同一所学校读经济学。他同意我女儿的判断，认为那些课程教的是数学的严谨性，而非经济学的直觉。

重要的不是记住，而是理解。如果你记住了证明过程，却无法解释其结论为何成立，那你一直在浪费时间。

「筌者所以在鱼，得鱼而忘筌；蹄者所以在兔，得兔而忘蹄；言者所以在意，得意而忘言。吾安得夫忘言之人而与之言哉！」（庄子）

货物崇拜式教学

我们朋友的一个儿子被老师要求每天花二十分钟阅读，并汇报完成情况。这背后的理论大概是：既然规律阅读与理想的结果相关联，那么获得这些结果的方法就是强迫孩子们阅读。然而，既然遵守规则的孩子会把阅读任务切割成一个个二十分钟的片段来完成，而不是一气呵成地读下去，那么很可能的结果就是教会他：阅读是一项只有在强制下才需完成的苦差事。

经过再三思考，这比货物崇拜更为糟糕。建造假飞机并不会增加太平洋岛民获得西方物资的可能性，但至少也不会降低这种可能性。（而强制阅读却可能扼杀阅读兴趣）。

多年前，我们在不同的情境下观察到类似的错误。我们那位在家接受教育的女儿，当时正考虑将图书管理员作为职业方向，便自愿去当地一家大型图书馆做无偿义工。一周后，图书馆方面感谢了她，并告知她的志愿服务期已结束。很明显，他们的假设是，她做志愿服务要么是高中学业要求，要么是为了给大学申请材料添上一笔履历；现在该轮到别人了。

为了做些有意义的事情而自愿服务，这本身就是可贵个性品质的体现。而仅仅因为会得到某种回报才去做志愿服务，则不然。她后来找到了一家真正需要她服务的小型图书馆，并在那里工作了几年。

再举第三个例子，可以看看我在参与「创造性时代重现协会」（Society for Creative Anachronism, SCA）的历史重现活动中观察到的一个问题。在 SCA 中，人们常常将追求历史准确性视为一种因为他人压力或为了获得奖励与地位才去做的事情。结果就是所谓的「文献考证」，其目的并非弄清某个事物在那个时代是如何完成的，而是找些借口来证明你想做的事情（或至少是模糊相似的事情）在那个时代确实存在过。

每种情况下的错误都是相同的：试图在缺乏其真正原因的情况下凭空制造结果。这是一种弄虚作假。

我博客上的一位评论者回应道：

试图通过追求结果来获得原因，是《阿特拉斯耸耸肩》(Atlas Shrugged) 中反派人物的典型行为特征之一，无论是在经济领域还是性领域。

正确做法：芝加哥大学的 Scav

每年，芝加哥大学都有相当一部分学生会花费好几天的大部分时间，投身于一场号称是全球规模最大的寻宝游戏（Scavenger Hunt，简称 Scav）。活动伊始，会公布一份包含大约两三百项需要寻找、完成或解决的物品/任务清单。活动以团队形式竞争，团队通常（但不总是）以某个宿舍楼为单位，典型规模为一到两百人——包括学生、校友、朋友及各路盟友——大家分工合作，攻克清单上的各项挑战。

往届 Scav 活动的任务清单都可以在网上找到。例如，1999 年的清单里有这么一项：

任务 240. 在棚屋里建造一个增殖反应堆，并拿到证明此项成就的童子军徽章。[500 分]

结果，一对物理系学生真的把它完成了。

当然，大多数项目并没有那么难。

例如：

我们的植物听《Plantasia》这张专辑已经好几个月了，但我们担心它们听腻了。录制 5 分钟的《我的球茎，我的球茎和我》（My Bulblet, My Bulblet and Me），这是一档由植物制作、为植物服务的建议播客。在最终评审（Judgment）前提交至 mbmbam@uchicago.edu。[6 分]

找一位篮球运动员来执行一次洗礼。宝贝，准备好被扣篮吧（Get dunked on, baby）。[大学生篮球运动员得 8 分，NBA/WNBA 篮球运动员得 21 分]
我们听说所有的宿舍管理员（RA）都可以选择在夏天以 500 美元的低价住在 Vue53 公寓。我们还听说这意味着整个夏天就只有一群 RA 单独住在一个宿舍楼里。令我们失望的是，居然没有人抓住这个机会，拍一个关于这些 RA 同居生活的《老大哥》（Big Brother）式的真人秀。[8 分]

有些项目必须在芝加哥市外完成，因此团队需要组织公路旅行小分队。例如：

在卢·华莱士书房与博物馆（Lew Wallace Study and Museum）[位于印第安纳州克劳福兹维尔]，让「旅行马戏团」（Traveling Circus）为家里带回两件纪念品：「扁平卢」（Flat Lew，）和来自馆外图书馆的种子包。[8 分]

有些是需要通过研究才能解决的谜题：

根据 1987 年吉文斯城堡（Givins Castle）的一则招租广告，这座城堡可以租给学校或哪种其他需要大场地的机构？[4 分]

没有分数，没有教学大纲，没有课堂。只有人们纯粹为了乐趣而行动——而这些行动中的许多最终却被证明是富有教育意义的。

[1] 「一个人可以从黎曼的导数定义开始，在曲线下方绘制小矩形，并证明在极限情况下，对累积积分求导等同于观察曲线在该点的高度。」

[2] 这让我不禁思考，有多少本该属于下个世纪的经济学理论最终被马歇尔扔进了壁炉。