高等数学教材与课堂教学通常与学习认知科学脱节
作者：Justin Skycak 发表于 2024 年 7 月 8 日
研究表明，提升任何领域解题能力的最佳途径，就是掌握该领域更多的基础技能。提升思维跃迁能力的方法，并非通过提升跳跃能力本身，而是通过搭建桥梁来缩短所需跳跃的距离。然而，高等数学教材与课堂教学似乎侧重于训练跳跃能力，而非搭建桥梁。
为何如此多的人在高等数学上举步维艰？
原因之一在于，高等数学教材与课堂教学通常与（甚至常常直接违背）数十年来关于学习认知科学的研究成果相脱节。
并非说如果教法得当，高等数学就会变得「轻而易举」。而是说，能学会它的人会比现在多得多。
高等数学对「g 因子」（一般智力因素）的要求很高，这给许多学生设置了认知门槛。引导式教学（或称「脚手架式」教学）的目标就是帮助学生跨越这一门槛。
当然，教材提供的引导/脚手架越多，编写工作量就越大，呈指数级增长。因此，实践中能提供的辅助程度是有限的，尤其是当教材仅由一位作者编写时。
但大多数教材甚至远未达到单个作者所能提供的理论极限，更不用说由内容编写团队所能达到的理论极限了。
任何尝试通过教材自学数学的人都曾遇到过这种令人沮丧的情境：书中的例题演示了某个特例，但随后的练习题却需要一次未被明确讲解过的逻辑跳跃。
有趣的是，许多人认为解决之道在于「摒弃例题，专注于传授通用的解题技巧」，但这其实行不通。
在认知科学文献中，有如山铁证表明，你可以增加学生知识库中的例题和解题经验数量，但缺乏证据证明你能提升学生从这些范例中进行归纳推广的能力。
（简要概述见 Sweller, Clark, & Kirschner, 2010: Teaching General Problem-Solving Skills Is Not a Substitute for, or a Viable Addition to, Teaching Mathematics）
换言之，研究表明，提升任何领域解题能力的最佳途径，就是掌握该领域更多的基础技能。
提升思维跃迁能力的方法，并非提升跳跃能力本身，而是通过搭建桥梁来缩短所需跳跃的距离。
然而，高等数学教材与课堂教学似乎侧重于训练跳跃能力，而非搭建桥梁——尤其是在进入如实分析（Real Analysis）和抽象代数（Abstract Algebra）这类核心数学专业课程之后。
实践中真正有效的方法其实很简单：提供更多精心组织的例题，并在学生进入涵盖稍难情况的下一个例题之前，让他们针对每个例题进行配套练习。
这种方法能让你走得非常非常远，但大多数教育资源要么对此浅尝辄止，要么早早放弃，因为这要求的工作量太 TM 多了！;)