数学天花板：你的认知极限在哪里？

Ben Orlin Reflections April 8, 2015 4 Minutes

某天下午，我的系主任在教工休息室叫住我，抛出了一个耐人寻味的问题。

（后来他承认，他只是好奇能否像木偶师一样摆布这个博客的内容。答案是响亮的「能」：我也乐意当一回木偶演一回戏。）

那么，我们真有天花板吗？

传统的正统观念认为：「绝对有。」有人就是智商高，有人就是智商低，有人就是「数学料子」，也有人就不是「数学料子」。有些孩子就是「开窍」，有些孩子就是不上路子。

问问看成年人们接受数学教育的经历吧：他们一谈起它，就像是在谈论某种残酷的体育淘汰赛。比赛中每个人最终都会淘汰出局，问题仅仅在于能坚持多久。「我搞不定代数学」意味着首轮淘汰。「我学到多元微积分就停了」意味着「嘿，虽说没夺冠，但我好歹能坚持到四强。」

但一种新的正统观念，一种广为认可的智慧在教师群体中出现了，认为：「绝对没有。」

你不得不佩服这种乐观主义和平民主义精神。（这是真的，人人都能搞范畴论！）但我觉得，你多半跟我的朋友 Karen 持一样的怀疑论调。

我们真的有天花板吗，Karen？

Karen 学习刻苦，勤于提问，信心十足，但她仍然觉得某些数学知识超出了她的能力范围，在她的天花板之上。

学生（「每个人都有极限」）和老师（「任何人能做成任何事！」）之间的鸿沟似乎难以逾越。老师可能会说「你能行的！」作为鼓励，但在一个受挫的学生听来，这话可能像是对他们不够努力的指控（或者是一句完全脱离现实的谎言）。有什么方法可以调和这些矛盾吗？

我相信有，那便是：坏掉的沙发床定律。

上大学时，我和室友从朋友那里买了一张二手的折叠沙发床（才用了几个月）。他们住在一楼，我们住在四楼。他们好心地帮我们把它搬上了楼。

他们刚上到三楼平台，就听到了一声断裂的脆响。一根沙发床上的小金属条折断了。我们都仔细检查了一番，但甚至搞不清楚这块零件是从哪掉下来的。不过既然沙发床看起来没问题，我们就耸耸肩，抛问题于脑后了。

在我们房间里放了一周后，这张沙发床开始往下塌了。「它之前就一直这样吗？」我们互相问道。

一个月后，它已经塌得惨不忍睹。哪怕你坐在最边上，沙发的弧度也会叫你（以及其他所有人）滑到中间，挤成一沓叠罗汉。

到了学期末，它彻底塌成一坨，瘫在了满是灰尘的宿舍地板上。曾经风光无限的沙发床，沦为了一具破碎的骨架。

话说回来，宜家家具就像是客厅里的果蝇：出了名的短命。我们的沙发床寿命无疑也有个天花板，也许是三四年。但这一张仅仅撑了八个月。

事后看来，很明显那块断掉的零件至关重要。没有它，沙发床看起来还行。但日复一日，随着每一个新的屁股坐上坐下，重量压在了那些本不该单独承受负荷的结构部件上。框架逐渐变形，压力不断累积，支撑难以维系。沙发床的寿命静静倒数，直到缺乏支撑造成的后果变得不可收拾，整体轰然倒塌。

而遗憾的是，数学课上也是如此。

假设你在八年级成绩优异，能以完美的流畅度和精确度绘制线性方程的图像，还能够计算斜率，确定坐标点，绘制平行线和垂直线。

但如果你缺失了一个简单的理解——即这些图像仅仅是满足方程的 x-y 坐标对的集合——那么你就是一张坏掉的沙发床。你缺失了未来学习赖以为继的一块拼图。二次方程会像幽灵一样缠着你；正弦曲线会叫你不明所以；之后你可能会在学完微积分后缴械投降，并安慰自己说：「嗐，至少我的天花板比有些人高嘛。」

你可能会问：「既然我现在很好，能不能等到以后真正需要的时候，再补上那块缺失的拼图呢？」有时可以，但这要难得多。你已经在没有那块关键拼图的情况下度过了好几年。你开发出了一些捷径和零碎的方法来蒙混过关。这些方法起效了一阵子，但它们扭曲了知识的框架，如今你开始力不从心了。为了前进，你必须忘掉你的变通方法——这相当于要把沙发床掰回原来的形状——然后才能继续。但要放弃那些让你走到这一步的策略，几乎是不可能的。

以后再补上缺失的拼图，意味着等到损害已经发生再诉诸行动，那时已经极难挽回了。

我相信，这就是许多学生所经历的天花板，并非是他们神经系统某种与生俱来的局限，而是我们人为的造物。我们筑造了它，一言一行间：「你不理解没关系。只要照着这些步骤做，然后核对后面的答案就行了。」我们筑造了它，说：「只有聪明的学生才会懂这个；至于其他人，我只想确保他们能做出来。」我们筑造了它，说：「好吧，他们现在不理解，但最终他们会自己搞明白的。」

这样做，我们也许成功地把沙发床搬上了楼。但在过程中，有些东西丢失了。让我们的学生在没有关键理解的情况下继续前进，就像让他们在上战场时不带备用弹药。当然，他们能打几发，但等到他们意识到缺少东西时，想补救已经太晚了。

一个能回答问题却不理解原理的学生，是一个有保质期的学生。

编辑于 2015年4月15日：多么热烈的反响！下方的评论区简直是精彩无限。这就像是在我梦寐以求的咖啡馆里旁听。我真希望有时间能一一回复；请知悉，我阅读并享受了大家深思熟虑的回复和讨论。