持续挑战能力边界
原文：Continually aim just beyond your current range | What's new
一个成功的人，通常会将他的下一个目标设定在略高于他最近一次成就之上，但又不过高。如此，他便能稳步提升自己的抱负水准。 (Kurt Lewin)
在国际象棋棋手中，人们普遍认为，提升棋艺最有效的方法之一，便是持续与棋力略高于自己的对手对弈。在数学领域，我们的对手是那些尚未解决或未被完全理解的数学问题、概念和理论，而非其他数学家；但其原理大致相通。
每一位数学家，在任何特定时刻，都有其自身的「能力范围」；这是一个他或她能够运用现有知识、直觉、经验和「看家本领」有效应对的数学领域。对于这位数学家而言，此范围内的难题未必都微不足道、轻而易举或驾轻就熟，但他或她会清楚应如何着手，主要的难点何在，应从文献何处寻求指引，哪些方法有较大可能奏效，哪些则不然，诸如此类。相比之下，面对那些远超其能力范围的难题时，要判断各种不同解决路径的可行性，甚至仅仅是提出一个解决思路，都会变得困难得多。
研究型数学家常常容易陷入一种舒适区，习惯于只处理那些完全在其能力范围之内的难题；这样做能确保源源不断地产出虽不惊艳但尚可的论文，并使人免于学习新领域、新观点、新进展或新技术的辛劳。然而，尽管打磨已掌握的技能固然有其价值，并且撰写可发表的论文对职业生涯无疑具有短期助益，但若一味固守这种保守策略，则会付出长期的机会成本。数学的理解与技术在不断发展，其他领域或其他方法的新思想终将会在个人专长领域扮演日益重要的角色，尤其当你所研究的领域恰为他人所关注时。倘若不能认识并顺应这些发展，例如通过学习新的工具，那么从长远来看，一个人的看家本领可能会逐渐过时，其研究成果也可能失去现实意义，并日益被视为「乏善可陈」。
另一个极端则是，有人试图跳过对现有研究进行渐进式改进和完善的繁琐过程，转而直接挑战那些真正著名或艰深的未解难题，或是试图发展某种全新的激进理论，期望能获得数学领域如同「中大奖」般的成就。在这些方向上抱有适度的雄心是健康的；例如，若你或你的同事刚在该领域开发出一种前景广阔的新技术，那么重新审视那些曾被认为过于困难而无法触及的问题或概念，看看现在是否有可能取得突破性进展，这是合情合理的。但在许多情况下，追求如此宏大的目标往往为时过早，特别是当一个人对现有文献的熟悉程度尚不足以了解某些方法的局限性，或不清楚哪些部分成果已经问世、哪些是可行的、哪些才能代表实质性的新进展时。仅仅专注于最困难的问题也可能令人备受挫折，并且还伴随着因兴奋地宣布了一个错误的解决方案，最终却不得不尴尬地撤回那份备受瞩目的声明的风险。
[我们偶尔会看到一些杰出的数学家，在其职业生涯早期便取得了某些惊人的成就，但此后却感到有义务不断「超越」那一成就，于是便只专注于那些真正引人瞩目的重大难题，而不屑于从事那些能够稳步拓展其能力范围的渐进式工作。我感到，这可能是一种低效的人才培养方式；相反，取得有益且稳健的进展并不可耻，从长远来看，这至少与那些轰动一时的突破具有同等价值。]
我相信，发展个人才能的最佳途径，是在这两个极端之间寻求平衡，从而以审慎可控的方式为你的研究计划增添新的挑战与难度。此类研究目标包括：
-
审视那些你感兴趣的、但用现有工具尚不能完全驾驭的最简单问题，例如，通过对一个未解难题设定各种假设，以「排除」除某一难点之外的其他所有障碍；
-
选取一个已知的结论，并尝试「束缚手脚」般地重新证明它，即禁止自己使用某种对该结论有效、但难以推广至更复杂问题的方法；或者
-
选取一个已知的结论，并将其推广至这样一种情境：现有结论的标准证明中的大部分步骤看起来都可以沿用，但其中有一两个环节显得棘手，需要一些适度的新想法、技巧或洞察。
（亦可参阅「向自己提出看似愚笨的问题」。）不必担心由此产生的项目看起来太过浅显以至于你不好意思发表（尽管这类成果往往能成为极好的科普性札记，我建议将其公之于众）；这并非关乎发表论文的短期目标，而是关乎拓展你能力范围的长远目标。这在某种程度上类似于在长期投资中利用复利的力量；试想一下，倘若你能以每年（譬如说）10% 的速度拓展你的能力范围，几十年后你的数学能力将会达到何种境界。
[若要延续投资的类比，那么拥有一份多样化的「研究组合」亦不失为明智之举：将一部分研究时间投入到「低风险、低回报」类别、完全在个人能力范围之内的研究问题上；将更大一部分投入到「中等风险、中等回报」类别、略超出个人能力范围的问题上；并将一小部分投入到「高风险、高回报」类别、远超出个人能力范围的问题上。]
另一种我极力推荐的拓展个人能力范围的绝佳方法，便是与邻近领域的同行合作；我本人便是通过这种方式接触到许多不同的数学领域的。如果合作者与你拥有相当的经验，使得你们看待问题的层面大致相当，从而能够轻松地相互交流各自的见解、直觉和知识，那么这种方法似乎尤为有效。（亦可参阅「参加学术报告和会议，即便是那些与你本人工作不直接相关的」。）
第三种方法，我也认为非常有效，那就是教授一门你只部分理解的课程，这样当你真正需要向学生讲授时，它会迫使你对其有更透彻的掌握。（当然，如果某个主题变得过于困难、过于专业，或者过于依赖某些外部学科知识而难以在你的课堂上轻松讲授，那么在教学大纲的安排上必须保留一定的灵活性。）为这门课程投入时间撰写讲义可能非常有价值，无论对你自己、对你的学生，还是对将来希望理解该主题的其他数学家而言都是如此。（亦可参阅「勇于学习领域之外的知识」。）
同理：当试图运用一套既有技术来解决一个具有挑战性的问题时，我建议首先将该问题替换为一个更简单的问题（例如一个特例，或该问题的一个简化模型，或一个非正式版本的问题，其中允许使用各种非严格的「取巧手段」，比如，忽略任何你认为可以忽略的项，假定某些概率上的启发式推断即为定理，或者假设任何你原则上可以推导出来的、看似合理的代数恒等式确实成立），其目的在于找到那些你现有技术无法立即解决、但你相信仍应能用这些技术攻克的最简化版本的问题。这往往能使人专注于究竟需要哪些要素来拓展这些技术的适用范围，然后便可以由此逆向推演，逐步回归到最初的问题。一个特别适合运用此法的模型问题是，某个问题看起来刚好超出你预期技术的处理能力，但仍可用其他方法解决；在这种情况下，另一种方法的证明可以为你预期方法的推进提供宝贵的线索，并且还可以通过排除那些不可能奏效的证明策略（因为它们与另一种方法得出的结论相矛盾）来节省时间。