解决数学问题

原文：Solving mathematical problems | What's new

我所发现的每一个真理，都成为一条法则，继而助我发现其他的真理。 (René Descartes，《谈谈方法》)

无论是课后作业还是未解之题，解决问题当然是数学的一个重要方面，虽然它并非数学的全部。在你日后的研究生涯中，你会发现问题的解决主要仰赖于知识（包括你自身领域的知识以及其他领域的知识）、经验、耐心和刻苦的努力；但对于在学校、大学或数学竞赛中遇到的那类问题，则需要一套略有不同的解题技巧。我确实写过一本关于如何在这个层面上解决数学问题的书；其中，第一章专门探讨了一般的解题策略。当然，市面上还有其他一些解题方面的书籍，例如波利亚的经典著作《怎样解题》，我本人在参加数学奥林匹克竞赛期间就曾从中获益匪浅。

完成课后作业是真正学好一门数学课程不可或缺的环节——它能检验你是否能够「学以致用」而非仅仅「夸夸其谈」，尤其能暴露出你在学习材料方面的具体薄弱之处。坚持不懈地去理解如何解决这些问题是值得的，这不仅仅是为了获得好成绩的短期目标；倘若你在课后作业中遇到的困难未能得到解决，那么它很可能在课程的后续阶段或将来的其他课程中给你带来更大的麻烦。

我发现，即便在解决了一个问题之后，对其进行「玩味」和探究，对于更深刻地理解解题方案的内在机制非常有帮助。例如，你可以尝试去掉某些假设条件，或者尝试证明一个更强的结论。请参阅「向自己提出看似愚笨的问题」。

同样需要谨记的是，获得解题方案仅仅是解决数学问题的短期目标，长期目标在于增进你对某一学科的理解。一个很好的经验法则是：如果你无法向同学清晰地解释某个问题的解法，那么你很可能并未真正理解这个解法，或许你需要对这个问题进行更深入的思考（例如，盖住答案再尝试一遍）。基于类似的理由，我们应当珍视在解决问题过程中取得的阶段性进展，将其视为通往完整解决方案的垫脚石（同时也是加深对该学科理解的重要途径）。

亦可参阅 Eric Schechter 的「本科数学学习中的常见错误」。我还有一篇关于实分析解题策略的博文。